Las matemáticas modernas estudian estructuras abstractas de una naturaleza completamente diferente (conjuntos, enunciados, lenguajes lógicos, funciones), pero su principal objeto de estudio fueron inicialmente los conceptos de número natural y figura geométrica que surgieron de la actividad práctica humana [1] .
Y aunque se cree que las matemáticas , como ciencia sistemática , aparecieron solo en la Antigua Grecia [2] , su historia comienza con la aparición de estos conceptos.
Los conceptos de número natural y figura geométrica surgieron mucho antes del advenimiento de la escritura, ya que las culturas en las que apareció por primera vez ( Sumer , Antiguo Egipto ) tenían una colección bastante extensa de conocimientos matemáticos adquiridos por la experiencia [3] .
Algunos animales ya tienen la capacidad de distinguir el número , el tamaño , la forma y la estructura de los objetos [4] . El hombre primitivo también poseía tales habilidades. Por ejemplo, las personas de algunas tribus salvajes son muy buenas para determinar el número de objetos por ojo sin contarlos [5] .
En relación con el progreso tecnológico, surgió la necesidad de un conteo más preciso de objetos [6] . La primera etapa en el desarrollo del conteo fue el establecimiento de una correspondencia biunívoca entre el conjunto de objetos contados y el conjunto de estándares. El tipo más popular de tal cuenta es la cuenta con la ayuda de los dedos de manos y pies [7] .
En algún momento, el número fue percibido como una propiedad de un conjunto de objetos, al igual que su color, forma, tamaño, estructura [8] . Se utilizaron diferentes numerales para diferentes objetos [9] . Pero gradualmente el número fue abstraído de los objetos contados. Aparecieron los nombres de los números [10] .
Las operaciones aritméticas también surgieron por necesidades prácticas, como reflejo de hechos reales: la unión de conjuntos, la separación de una parte de un conjunto, etc.
Casi al mismo tiempo que los números, el hombre abstrajo formas planas y espaciales, que generalmente recibieron los nombres de objetos reales similares a ellos [10] .
No todas las culturas avanzan al mismo ritmo científico y tecnológico. Algunos, en cierta medida, han conservado el sistema tribal y las costumbres antiguas, por lo que uno puede juzgar su pasado lejano y obtener información sobre la época en que aún no existía la escritura. Por ejemplo, uno puede comparar el sistema numérico de la tribu Bakairi en Brasil, que tiene nombres solo para números hasta el 6, y el sistema numérico de la tribu Yoruba en Nigeria, que se basa en un principio sustractivo complejo, y así comprender cómo se desarrolló la manera de nombrar los números.
Los colonizadores europeos a menudo pudieron tratar a tales culturas de una manera bárbara, sin respeto por sus tradiciones. Muchos fueron destruidos, otros tuvieron que integrarse al sistema político y económico existente. Cuando los científicos se dieron cuenta gradualmente de que tales culturas podían proporcionar un material rico para estudiar la historia del mundo primitivo, algunas de ellas ya habían desaparecido.[ ¿neutralidad? ] .
A finales del siglo XX apareció una rama de la ciencia: las etnomatemáticas , que estudian las matemáticas como parte de la cultura tradicional [11] . Se empiezan a hacer estudios, en el curso de los cuales se va conociendo, como creen, muestran, nombran y registran los números de los pueblos primitivos.
Cierta información es proporcionada por excavaciones arqueológicas. Un hueso con muescas numerables fue encontrado en el sitio de Ishango en África , cuya edad se estima entre 20 y 40 años. miles de años, lo que brindó extenso material para estudio y conclusiones [12] . Otro artefacto, un hueso radial de un lobo joven con 55 muescas, se encontró en el sitio del Paleolítico Superior de Dolni Vestonice (República Checa). Mikel Alberti en su libro "Mathematical Planet. Journey Around the World" da ejemplos de otros artefactos [13] .
Si sistematizamos el conocimiento obtenido como resultado de la investigación etnomatemática y arqueológica, podemos recrear aproximadamente el proceso de surgimiento de las matemáticas. .
Varios experimentos muestran que los animales, en cierto sentido, pueden sentir la cantidad de objetos sin contarlos. El biólogo inglés John Lubbock creía que los animales ya tenían conocimientos básicos de aritmética:
Leroy <...> menciona un caso en el que un hombre necesitaba dispararle a un cuervo. “Para despistar a esta sospechosa ave se decidió enviar a su nido a dos personas, una de las cuales pasaría y la otra se quedaría. Pero el cuervo las contó y se mantuvo a distancia. Al día siguiente fueron tres, y de nuevo se dio cuenta de que solo quedaban dos. Resultó que era necesario enviar a cinco o seis personas para ganarle en los cálculos. El cuervo, pensando que todos habían pasado, no tardó en volver al nido". De esto deduce que el cuervo puede contar hasta cuatro. Lichtenberg habla de un ruiseñor que contaba hasta tres. Todos los días le dio tres gusanos, uno a la vez. Habiendo terminado uno, el ruiseñor volvió por otro, pero después del tercero supo que la cena había terminado <...> Hay un detalle divertido y sugerente en los Cuentos de un explorador de la Sudáfrica tropical del Sr. Galton . Después de describir la debilidad de la tribu africana Demara para contar, dice: "Una vez, cuando estaba mirando a un africano que intentaba desesperadamente contar algo, noté que Dinah, mi spaniel, que estaba cerca, también estaba perpleja; Dinah estaba junto a media docena de sus recién nacidos". cachorros, que constantemente se alejaban de ella, estaba muy preocupada y trataba de averiguar si estaban todos allí, o faltaba alguien, los miraba desconcertada, pero no podía entender nada, obviamente tenía una vaga idea de \u200b\u200bel conteo, pero aquí el número era demasiado grande para su cerebro. Si comparamos a los dos, un hombre y un perro, entonces el hombre está en desventaja<...> "<... > Por lo tanto, tenemos razones para suponer que los animales tienen suficiente inteligencia para distinguir tres de cuatro [4] .
Texto original (inglés)[ mostrarocultar] Leroy<...>menciona un caso en el que un hombre estaba ansioso por dispararle a un cuervo. "Para engañar a esta sospechosa ave, se pensó en enviar a dos hombres a la caseta de vigilancia, uno de los cuales pasó y el otro se quedó; pero el cuervo contó y se mantuvo a distancia. Al día siguiente fueron tres, y nuevamente ella percibió que sólo se retiraron dos. En fin, se vio necesario enviar cinco o seis hombres a la casa de guardia para sacarla en su cálculo. El cuervo, creyendo que había pasado este número de hombres, no tardó en volverse. De esto infirió que los cuervos podían contar hasta cuatro. Lichtenberg menciona un ruiseñor que se decía que contaba hasta tres. Todos los días le daba tres gusanos de la harina, uno a la vez. Cuando hubo terminado uno volvió por otro, pero después del tercero supo que el festín había terminado<...>Hay un comentario divertido y sugerente en Mr. La interesante narrativa de Galton sobre un explorador en la Sudáfrica tropical. Después de describir la debilidad de Demara en los cálculos, dice: "Una vez, mientras observaba a Demara que se tambaleaba desesperadamente en un cálculo a un lado de mí, observé a "Dinah", mi perro de aguas, igualmente avergonzada al otro; ella estaba mirando a la mitad de un una docena de sus cachorros recién nacidos, que le habían quitado dos o tres veces, y su ansiedad era excesiva, tratando de averiguar si estaban todos presentes, o si aún faltaba alguno. , pero no pudo satisfacerse a sí misma. Evidentemente, tenía una vaga noción de contar, pero la figura era demasiado grande para su cerebro. , si un nido contiene cuatro huevos, se puede tomar uno con seguridad; pero si se quitan dos, el pájaro generalmente deserta. Aquí, entonces, parecería como si tuviéramos alguna razón para suponer que hay suficiente inteligencia para distinguir tres de cuatro.Las personas primitivas heredaron esta habilidad. Entonces, según las memorias de un misionero estadounidense, los cazadores de una tribu salvaje de indios, que solo tienen nombres para los números 1, 2 y 3, miran alrededor de una gran jauría de perros antes de cazar, y si falta al menos uno, se dan cuenta de esto y comienzan a llamarla. Este fenómeno se conoce como " sentido numérico " [5] y " conteo sensorial " [14] .
En muchos idiomas se mantuvieron los nombres de los números que, según los investigadores, aparecían incluso antes de contar con los dedos [15] . Estos nombres están asociados con el conocimiento de que siempre hay el mismo número de ciertos objetos en la naturaleza (un sol en el cielo, dos ojos en una persona, cinco dedos en una mano, etc.). Algunos números comenzaron a llamarse los nombres de tales objetos. Entonces, en el antiguo sistema numérico verbal indio, encontramos los siguientes nombres de números:
El número 40 (según la versión más común) proviene del nombre de un fardo de pieles [16] .
Si hay un conjunto de ocho piedras y un conjunto de ocho conchas, puede organizarlos de modo que haya una concha frente a cada piedra. Así se dio el proceso de comercio entre las dos tribus primitivas. Frente a cada producto de la primera tribu, se colocó un producto de la segunda tribu y, como resultado, las tribus intercambiaron entre sí la misma cantidad de bienes [17] .
Tal proceso, cuando cada elemento de un conjunto (colección) se asocia con un elemento de otro conjunto, se denomina en matemáticas el establecimiento de una correspondencia uno a uno entre dos conjuntos [18] .
Con el establecimiento de una correspondencia biunívoca entre el conjunto de objetos contables y el conjunto de normas de conteo, comenzó la siguiente etapa en el desarrollo del conteo.
De todos los estándares de conteo, el más conveniente y que está “siempre contigo” son los dedos de manos y pies e incluso otras partes del cuerpo [15] .
Para recordar cuántos animales mató mientras cazaba, un hombre primitivo simplemente tenía que recordar en qué dedo de la mano o del pie dejaba de contar. Podría ser el segundo dedo del segundo pie, el último dedo de la primera mano o todos los dedos. En algunos idiomas, los números se han vuelto así llamados. Aquí hay unos ejemplos:
Cuando no había suficientes dedos, se utilizaban otras partes del cuerpo, los dedos de otras personas o la extensión de dedos ya doblados.
El explorador de Nueva Guinea , N. N. Miklukho-Maclay , sugirió que los papúes contaran el número de días hasta el regreso de la corbeta Vityaz cortando tiras de papel para ello.
“El primero, extendiendo pedazos de papel sobre su rodilla, repetía “nare, nare” (uno) con cada corte; el otro repetía la palabra “nare” y al mismo tiempo doblaba su dedo primero sobre uno, luego sobre el otro mano". Contando hasta diez y doblando los dedos de ambas manos, bajó ambos puños sobre sus rodillas, diciendo: ... "dos manos", y el tercer papú dobló el dedo de la mano. Lo mismo se hizo con el segundo diez, y el tercer papú dobló el segundo dedo; lo mismo se hizo con la tercera decena; los restantes pedazos de papel no constituyeron la cuarta docena y continuaron a un lado. [21]
A menudo, los pueblos primitivos llevaban consigo patrones especiales de conteo: palos o pelotas [22] .
Cuando el arte de contar se desarrolló gradualmente, el concepto de número era inseparable de los objetos contados. El número no podría existir por sí solo. Dependiendo de lo que se considere, los números podrían llamarse de manera diferente [10] . Algunas tribus hasta el día de hoy tienen una división de numerales según el tipo de objetos considerados. Por ejemplo, el idioma Tsimshian tiene siete tipos diferentes de números:
Pasó mucho tiempo antes de que apareciera el propio concepto de número, separado de los objetos.
Teóricamente, se puede contar cualquier número de objetos. Su número puede ser expresado por un número que nunca antes se ha visto (por ejemplo, 723945186 - setecientos veintitrés millones novecientos cuarenta y cinco mil ciento ochenta y seis), pero sin embargo, será posible que una persona quien escucha este numero que se imagine cuanto es aproximadamente. No hay límite en el número de elementos que se pueden contar. Para cualquier número entero de objetos, existe un número natural bien definido. Este fenómeno se llama secuencia numérica continua .
Sin embargo, la secuencia numérica en el idioma no siempre fue continua . Hasta el momento, existen tribus en cuyas lenguas solo existen dos numerales: uno y muchos . El nivel de su vida no requiere ninguna otra palabra numérica. Pero debido al desarrollo tecnológico estas palabras se hacen necesarias.
La aparición de una palabra para el número dos es un gran paso en el desarrollo de la secuencia numérica. Después de la aparición de la palabra para el número tres , la secuencia numérica se expande más y más. Los nombres de los números menores de diez aparecen gradualmente .
Hasta hace unos siglos, la mayoría de las personas no necesitaban usar números mayores de mil . Para designar números grandes se usaban las palabras "monstruo", "infinito", "ya no puedes contar". Entonces, el prefijo "-tera", que denota la multiplicación de la unidad original por 10 12 , es decir, por un billón (por ejemplo, terabyte) proviene de la palabra romana "monstruo", es decir, es la misma raíz que la palabra " terror". El antiguo nombre ruso para el número 10.000 es oscuridad . El nombre del número millón significa en italiano antiguo "mil grande".
En el idioma ruandés, 10 000 se llama "elefante" y 20 000 se llama "dos elefantes". En Nigeria, el número 160.000 se llama "400 se encuentra con 400", y el nombre del número 10.000.000 se puede traducir aproximadamente como "Hay tantas cosas aquí que su número es inmenso" [24] .
La similitud de los numerales entre varios pueblos indoeuropeos muestra que aparecían incluso cuando estos pueblos hablaban el mismo idioma, es decir, se refiere al período prehistórico:
| Número | latín | Griego | inglés | Alemán | Francés | ruso |
|---|---|---|---|---|---|---|
| una | uno | mononucleosis infecciosa | una | ein | Naciones Unidas | una |
| 2 | dúo | dia | dos | zwei | deux | dos |
Hay idiomas que están completamente (o casi completamente) desprovistos de números. En la obra del matemático estadounidense Levi Konent se dan como ejemplos las lenguas de las tribus bolivianas Chiquita y Takana [25] .
En ciencia, los números que subyacen a los nombres de otros reciben el nombre de " nodal ". Los números cuyos nombres consisten en otros reciben el nombre de " algorítmicos " [26] . Entonces los números tres, seis, diez, cuarenta, cien son clave, ya que sus nombres no se pueden desarmar por composición. El número sesenta es algorítmico, ya que su nombre consiste en los nombres de los números nodales seis y diez. Los números algorítmicos se pueden formar a partir de números de nodo de diferentes maneras. Los siguientes son ejemplos de tales formaciones.
Principio aditivoLos primeros sistemas numéricos usaban el principio aditivo . Se encuentra en el hecho de que los nombres de los números algorítmicos se forman a partir de números nodales por adición , como el nombre del número diecisiete . La tabla muestra como ejemplo el sistema numérico de la tribu Gumulgel que vive en las Islas del Estrecho de Torres y la tribu Bakairi.
| Sistema numérico de la tribu Gumulgel | Sistema numérico de la tribu Bakairi | |||
|---|---|---|---|---|
| Número | Nombre | Número | Nombre | |
| una | Urapun | una | tokale | |
| 2 | Okoza | 2 | Ahage | |
| 3 | Okoza-urapun | 3 | ahage-tokale | |
| cuatro | Okoz-okoz | cuatro | ahage-ahage | |
| 5 | Okoza-okoza-urapun | 5 | ahage-ahage-tokale | |
| 6 | Okoz-okoz-okoz | 6 | Ahage-ahage-ahage | |
Como puede ver, solo los números 1 y 2 tienen nombres propios, el resto de los números tienen nombres derivados. Para números mayores de 7, estas tribus tienen una sola palabra, lo que significa muchos.
Principio sustractivoLos sistemas numéricos más complejos también utilizaron el principio sustractivo . Esto significa que los nombres de algunos números algorítmicos podrían formarse a partir de números nodales por sustracción .
El principio sustractivo se ve, por ejemplo, en el sistema de numeración romano, donde el número 9 se escribe como IX , es decir, como 10-1. La tribu yoruba africana utilizó un sistema numérico sustractivo bastante complejo con base 20 :
| Sistema numérico del pueblo yoruba | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Número | Nombre | Decodificación de nombres | Número | Nombre | Decodificación de nombres | |
| una | kan | una | 31 | mokonlel ogbon | +1+30 | |
| 2 | meji | 2 | 32 | mejilel ogbón | +2+30 | |
| 3 | meta | 3 | 33 | metalel ogbon | +3+30 | |
| cuatro | merino | cuatro | 34 | merinlel ogbón | +4+30 | |
| 5 | marun | 5 | 35 | maruundinl ogoji | -5+20×2 | |
| 6 | mefa | 6 | 36 | merindinl ogoji | -4+20×2 | |
| 7 | meje | 7 | 37 | metadinl ogoji | -3+20×2 | |
| ocho | mejo | ocho | 38 | mejidinl ogoji | -2+20×2 | |
| 9 | Mesano | 9 | 39 | mokondinl ogoji | -1+20×2 | |
| diez | mewa | diez | 40 | ogoji | 20x2 | |
| once | mokon laa | +1+10 | 41 | mokonl ogoji | +1+20×2 | |
| 12 | meji laa | +2+10 | 42 | mejil ogoji | +2+20×2 | |
| 13 | meta laa | +3+10 | 43 | ogoji de metal | +3+20×2 | |
| catorce | merin laa | +4+10 | 44 | merinl ogoji | +4+20×2 | |
| quince | conoce a ogun | -5+20 | 45 | maruundinla adota | -5-10+20×3 | |
| dieciséis | merindinl ogun | -4+20 | 46 | merindinla adota | -4-10+20×3 | |
| 17 | metadinl ogun | -3+20 | 47 | metadinla adota | -3-10+20×3 | |
| Dieciocho | mejidinl ogun | -2+20 | 48 | mejidinla adota | -2-10+20×3 | |
| 19 | mokondinl ogun | -1+20 | 49 | mokondinla adota | -1-10+20×3 | |
| veinte | ogún | veinte | cincuenta | adota | -10+20×3 | |
| 21 | mokonlel ogun | +1+20 | 51 | mokonlela adota | +1-10+20×3 | |
| 22 | ogun mejilel | +2+20 | 52 | mejila adota | +2-10+20×3 | |
| 23 | metalel ogun | +3+20 | 53 | metala adota | +3-10+20-×3 | |
| 24 | merinlel ogun | +4+20 | 54 | merinla adota | +4-10+20×3 | |
| 25 | conoce a ogbon | -5+30 | 55 | maruundinlogota | -5+20×3 | |
| 26 | Merindinl ogbon | -4+30 | Fuente: Dirk Huylebrouck. Matemáticas en África central antes de la colonización. Matemáticas tribales de África Central . Archivado el 7 de febrero de 2012 en Wayback Machine . | |||
| 27 | metadinl ogbon | -3+30 | ||||
| 28 | mejidinl ogbon | -2+30 | ||||
| 29 | mokondinl ogbon | -1+30 | ||||
| treinta | ogbón | treinta | ||||
El principio multiplicativo radica en el hecho de que los nombres de algunos números algorítmicos pueden formarse a partir de números nodales mediante la multiplicación . Es visible en los nombres de números como "setenta", "trescientos", "cuatrocientos", etc.
Para contar, necesita tener modelos matemáticos de eventos tan importantes como la unión de varios conjuntos en uno o, por el contrario, la separación de una parte de un conjunto. Así aparecieron las operaciones de suma y luego resta [27] . Para el caso en que muchas veces necesite sumar varios conjuntos idénticos, aparece una nueva operación: la multiplicación [28] .
Otra acción práctica importante, la división en partes, finalmente se resumió en la cuarta operación aritmética, la división [29] . Las propiedades de las operaciones aritméticas fueron descubiertas gradualmente.
Un gran "empuje" al uso de las operaciones aritméticas fue el desarrollo de las medidas . Las unidades de medida se asociaban principalmente a partes del cuerpo con las que era fácil tomarlas (medidas) ( pie (pierna), codo, etc.).
El concepto de fracción, como tal, no existía incluso después del advenimiento de la escritura. Sin embargo, en la vida cotidiana se utilizaban los conceptos " mitad ", " tercero ", " cuarto ". Tales "fracciones" de fracciones generalmente tenían un denominador de 2, 3, 4, 8 o 12. Por ejemplo, entre los romanos, la fracción estándar era una onza ( 1/12 ) . Los sistemas monetarios y de medición medievales tienen una clara huella de los antiguos sistemas no decimales: 1 centavo inglés \u003d 1/12 chelín , 1 pulgada \u003d 1/12 pie , 1 pie \u003d 1/3 de yarda , docena \u003d 12 unidades, etc. Las fracciones decimales , convenientes en cálculos complejos, se generalizaron en Europa recién en el siglo XVI [30] .
En su actividad práctica, una persona se encontraba con formas y cuerpos geométricos específicos. Gradualmente, tuvo lugar su idealización: las personas se abstrajeron de los defectos de objetos específicos, creando ideas ideales. Así aparecieron los conceptos de polígonos regulares y poliedros, pirámides, prismas y cuerpos de revolución. La mayoría de los nombres comunes de las figuras geométricas son del griego antiguo [20] .
| concepto | origen del nombre |
|---|---|
| rombo | del griego antiguo ρόμβος - peonza |
| trapezoide | del griego antiguo τραπέζιον - mesa |
| esfera | del griego antiguo σφαῖρα - bola |
| cilindro | del griego antiguo κύλινδρος - rodillo |
| cono | del griego antiguo κώνος - piña |
| pirámide | del nombre de las pirámides egipcias "Purama" |
| prisma | del griego antiguo πρίσμα - algo aserrado |
| línea | del latín linea - hilo de lino |
| punto | del verbo to poke |
| centro | del griego antiguo κέντρον - el nombre de un palo puntiagudo (patas de la brújula) |
| Fuente: E. I. Berezkina, B. A. Rosenfeld. Tiempos prehistóricos // Historia de las matemáticas. Desde la antigüedad hasta el comienzo de los tiempos modernos / Ed. A. P. Yushkevich . - Moscú: Nauka, 1970-1972. - Pág. 10-16. — 353 pág. - 7200 copias. | |
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