Función gaussiana

La función gaussiana ( Gaussian , Gaussian , Gaussian function ) es una función real descrita por la siguiente fórmula:

g\left(x\right)=ae^{-{\frac {(xb)^{2}}{2c^{2}}}}

donde los parámetros son números reales arbitrarios . Introducido por Gauss en 1809 como una función de la densidad de la distribución normal , y es de la mayor importancia en esta capacidad, en este caso los parámetros se expresan en términos de desviación estándar y expectativa matemática : $a B C$ $\sigma$ $\mu$

a={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi ))))

. . .

{\ estilo de visualización b = \ mu}

{\ estilo de visualización c = \ sigma}

El gráfico de la función gaussiana en y es una curva en forma de campana , el parámetro determina la altura máxima del gráfico: el pico de la campana, es responsable del cambio del pico desde cero (en - el pico está en cero), y afecta el ancho (rango) de la campana. $a>0$ $c\neq 0$ $a$ $b$ $b=0$ $C$

Hay generalizaciones multidimensionales de la función . Además de aplicaciones en teoría de probabilidad , estadística y otras numerosas aplicaciones en función de la densidad de la distribución normal, la Gaussiana tiene un valor independiente en análisis matemático , física matemática , teoría de procesamiento de señales.

Propiedades

Las propiedades de la función gaussiana están relacionadas con su construcción a partir de una función exponencial y una función cuadrática cóncava , el logaritmo de la función gaussiana es una función cuadrática cóncava.

El parámetro está relacionado con la mitad del ancho de la campana del gráfico de la siguiente manera: $C$

w=2{\sqrt {2\ln 2}}\ c\approx 2{,}35482\cdot c

La función gaussiana se puede expresar en términos de la mitad del ancho de la campana del gráfico de la siguiente manera: $w$

g(x)=ae^{-{\frac {4\ln(2)(xb)^{2}}{w^{2}}}}

Las inflexiones son dos puntos donde . $g(x)$ ${\ estilo de visualización x = b \ pm c}$

La función gaussiana es analítica , tiende a cero en el límite de ambos infinitos :

\lim _{x\to \pm \infty}g(x)=0

Al estar compuesta por una función exponencial y operaciones aritméticas, la Gaussiana es elemental , pero su antiderivada no lo es ; Integral de función gaussiana:

\int \limits _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t

es (hasta un factor constante) la función de error , que es una función especial . En este caso, la integral a lo largo de toda la recta numérica (debido a las propiedades de la función exponencial) es una constante [1] :

\int_{-\infty}^{\infty}ae^{-{(xb)^{2} \over 2c^{2))}\,dx=ac\cdot {\sqrt {2\ Pi}}

Esta integral se vuelve unidad solo bajo la condición:

a={\frac {1}{c{\sqrt {2\pi ))))

y esto da exactamente el caso cuando la Gaussiana es una función de la densidad de la distribución normal de una variable aleatoria con media y varianza . ${\ estilo de visualización \ mu = b}$ ${\ estilo de visualización \ sigma ^ {2} = c ^ {2}}$

El producto de gaussianas es una función gaussiana; la convolución de dos funciones gaussianas da una función gaussiana, además, el parámetro de convolución se expresa a partir de los parámetros correspondientes de las gaussianas incluidas en él: . El producto de dos funciones de densidad de distribución normal, al ser una función gaussiana, generalmente no da una función de densidad de distribución normal. $C$ ${\ estilo de visualización c^{2}=c_{1}^{2}+c_{2}^{2))$

Generalizaciones multidimensionales

Un ejemplo de una versión bidimensional de una función gaussiana:

{\displaystyle g(x,y)=A\cdot e^{\left(-\left({\frac {(x-x_{0})^{2}}{2\sigma _{x}^{ 2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{2\sigma_{y}^{2}}}\right)\right)))

aquí establece la altura de la campana, determina el desplazamiento del pico de la campana desde el cero de abscisas y es responsable del alcance de la campana. El volumen bajo tal superficie es: $A$ $(x_0, y_0)$ ${\ estilo de visualización (\ sigma _ {x}, \ sigma _ {y})}$

V=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}g(x,y)\,dx\,dy=2\pi A\sigma _ {x} \ sigma _ {y}

En su forma más general, una gaussiana bidimensional se define de la siguiente manera:

g(x,y)=A\exp \left(-\left(a(x-x_{0})^{2}+2b(x-x_{0})(y-y_{0} )+c(y-y_{0})^{2}\right)\right)

donde esta la matriz:

\left[{\begin{matriz}a&b\\b&c\end{matriz}}\right]

se define positivamente .

Variante de la función gaussiana en el espacio euclidiano bidimensional : $norte$

g(x)=\exp(-x^{T}Ax)

donde es un vector columna de componentes, es una matriz definida positiva de tamaño y es la operación de transposición en . ${\ estilo de visualización x = (x_{1}, \ puntos, x_ {n})}$ $norte$ $A$ $n\veces n$ ${\ estilo de visualización x ^ {T}}$ $X$

La integral de tal función gaussiana sobre todo el espacio : $\mathbb{R} ^{n}$

\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp(-x^{T}Ax)\,dx={\sqrt {\frac {\pi ^{n}}{\det A }}}

Es posible definir una versión -dimensional con un cambio: $norte$

g(x)=\exp(-x^{T}Ax+s^{T}x)

donde es el vector de desplazamiento y la matriz es simétrica ( ) y definida positiva. $s=(s_{1},\dots,s_{n})$ $A$ $A^{T}=A$

Función súper gaussiana

La función supergaussiana es una generalización de la función gaussiana en la que el argumento del exponente se eleva a la potencia de: $PAGS$

sg(x)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{o})^{2}}{2\sigma _{x}^{2}}}\ derecha)^{P}\derecha)

que se ha utilizado para describir las propiedades de las vigas gaussianas [2] . En el caso bidimensional, la función supergaussiana se puede considerar con diferentes potencias en los argumentos y [3] : $P_{x}$ ${\ Displaystyle P_ {y}}$

sg(x,y)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{o})^{2}}{2\sigma _{x}^{2}} }\right)^{P_{x}}-\left({\frac {(y-y_{o})^{2}}{2\sigma _{y}^{2}}}\right)^ {P_{y}}\derecho)

Aplicaciones

La principal aplicación de las funciones gaussianas y las generalizaciones multivariadas está en el papel de la función de densidad de probabilidad de la distribución normal y la distribución normal multivariada . La función tiene un significado independiente para una serie de ecuaciones de la física matemática , en particular, las gaussianas son funciones de Green para la ecuación de difusión homogénea e isotrópica (respectivamente, para la ecuación del calor ), y la transformación de Weierstrass es una operación de convolución de una función generalizada que expresa las condiciones iniciales de la ecuación, con función gaussiana. También la Gaussiana es la función de onda del estado fundamental de un oscilador armónico cuántico .

En química computacional , los llamados orbitales gaussianos se utilizan para determinar los orbitales moleculares , que son combinaciones lineales de funciones gaussianas.

Las funciones gaussianas y sus contrapartes discretas (como el núcleo gaussiano discreto ) se utilizan en el procesamiento de señales digitales, procesamiento de imágenes , síntesis de sonido [4] ; en particular, el filtro gaussiano y el desenfoque gaussiano se definen en términos de gaussianas . Las funciones gaussianas también participan en la definición de ciertos tipos de redes neuronales artificiales .

Notas

↑ Campos, 2014 , pág. 1-2.
↑ A. Parent, M. Morin, P. Lavigne. Propagación de distribuciones de campo supergaussianas // Electrónica óptica y cuántica. - 1992. - Nº 9 . - Pág. S1071-S1079.
↑ Manual de comandos del software óptico GLAD, Entrada en el comando GAUSSIAN . Investigación en Óptica Aplicada (15 de diciembre de 2016). Archivado desde el original el 10 de junio de 2017. (indefinido)
↑ C.R. Popa. Estructuras de sintetizador de funciones no lineales analógicas en modo actual . - Springer Suiza, 2013. - P. 59. - 198 p. - ISBN 983-3-319-01035-9.

Literatura

LMBC Campos. 1.1. Evaluación de Integrales de Funciones Gaussianas // Cálculo Generalizado con Aplicaciones a la Materia y Fuerzas. - Boca Ratón: CRC Press, 2014. - 823 p. — ISBN 978-1-4200-7115-3 .

Enlaces

Weisstein, Eric W. Gaussian Function (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Integrando la Curva de Campana / MathPages