Hiperesfera

La hiperesfera (del otro griego ὑπερ- “ super- ” + σφαῖρα “bola”) es una hipersuperficie en - espacio euclidiano dimensional , formada por puntos equidistantes de un punto dado, llamado centro de la esfera . $norte$

en , la hiperesfera degenera en dos puntos equidistantes del centro ; $n=1$
cuando es un círculo ; $n=2$
cuando una hiperesfera es una esfera . $n=3$
cuando la hiperesfera es una 3-esfera . $n=4$
cuando la hiperesfera es una 4 esferas . $n=5$

…

cuando la hiperesfera es una 7-esfera . La 7-esfera es notable porque esta dimensión es la primera en la que hay esferas exóticas , es decir, variedades que son homeomorfas a la 7-esfera estándar pero no difeomorfas. $n=8$

La distancia desde el centro de la hiperesfera hasta su superficie se llama radio de la hiperesfera . Una hiperesfera es una subvariedad bidimensional en un espacio bidimensional , todas las normales a las que se cruzan en su centro. $(n-1)$ $norte$

Ecuaciones

Una hiperesfera de radio centrada en un punto se define como el lugar geométrico de los puntos que satisfacen la condición: $R$ $a=\izquierda\{a_{1},a_{2},\puntos a_{n}\derecha\}$

(x_{1}-a_{1})^{2}+(x_{2}-a_{2})^{2}+\cdots +(x_{n}-a_{n})^{2} =R^{2}

Coordenadas hiperesféricas

Como sabes, las coordenadas polares se describen de la siguiente manera:

x=\rho \cdot \cos \alpha

y=\rho \cdot \sin \alpha

y coordenadas esféricas como esta:

{\ Displaystyle x = \ rho \ cdot \ cos \ alpha \ cdot \ cos \ beta}

y=\rho \cdot \sin \alpha \cdot \cos \beta

z=\rho \cdot\sin\beta

Una bola n-dimensional se puede parametrizar mediante el siguiente conjunto de coordenadas hiperesféricas :

x_{1}=\rho \cdot \cos \alpha _{1}\cdot \cos \alpha _{2}\cdot \ldots \cdot \cos \alpha _{n-1)

{\displaystyle x_{2}=\rho \cdot \sin \alpha _{1}\cdot \cos \alpha _{2}\cdot \ldots \cdot \cos \alpha _{n-1))

{\displaystyle x_{3}=\rho \cdot \sin \alpha _{2}\cdot \cos \alpha _{3}\cdot \ldots \cdot \cos \alpha _{n-1))

\ldots

{\displaystyle x_{n}=\rho \cdot \sin \alpha _{n-1))

donde y . $\alpha _{2},\alpha _{3},\ldots,\alpha _{n-1}\in \left[-{\frac {\pi }{2}),{\frac { \pi {2}}\derecho]$ ${\ estilo de visualización \ alfa _ {1} \ en [0,2 \ pi)}$

El jacobiano de esta transformación es

J=\rho ^{n-1}\cos \,\alpha _{2}\cdot \cos ^{2}\,\alpha _{3}\cdot \ldots \cdot \cos ^{n -2}\,\alfa _{n-1}

En otra variante,

x_{1}=\rho \cdot \sin \alpha _{1}\cdot \sin \alpha _{2}\cdot \ldots \cdot \sin \alpha _{n-1}

x_{2}=\rho \cdot \cos \alpha _{1}\cdot \sin \alpha _{2}\cdot \ldots \cdot \sin \alpha _{n-1}

{\displaystyle x_{3}=\rho \cdot \cos \alpha _{2}\cdot \sin \alpha _{3}\cdot \ldots \cdot \sin \alpha _{n-1))

\ldots

x_{n}=\rho \cdot \cos \alpha _{{n-1}}

donde y . ${\ estilo de visualización \ alfa _ {2}, \ alfa _ {3}, \ ldots, \ alfa _ {n-1} \ en [0, \ pi]}$ ${\ estilo de visualización \ alfa _ {1} \ en [0,2 \ pi)}$

El jacobiano en esta forma es

J=\rho ^{n-1}\sin \,\alpha _{2}\cdot \sin ^{2}\,\alpha _{3}\cdot \ldots \cdot \sin ^{n -2}\,\alfa _{n-1}

Área y volumen

El espacio euclidiano indimensional para una hiperesfera de su dimensión, el área de la superficie y el volumen delimitado por él (el volumen de una bola n-dimensional ) se pueden calcular utilizando las fórmulas [1] [2] : $norte$ $norte$ $S_{{n-1}}$ $V_{n}$

S_{n-1}=nC_{n}R^{n-1}

V_{n}=C_{n}R^{n}

dónde

C_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\displaystyle \Gamma \left({n \over 2}+1\right)))

a es la función gamma . A esta expresión se le puede dar otra forma: $\gamma (x)$

C_{{2k}}={\frac {\pi ^{k}}{k!)}}

C_{{2k+1}}={\frac{2^{{k+1}}\pi ^{k}}{(2k+1)!!}}

Aquí está el factorial doble . $¡¡norte!!$

Porque

V_{n}/S_{n-1}=R/n

S_{n+1}/V_{n}=2\piR

entonces los volúmenes de las bolas satisfacen la relación recurrente

V_{n}={\frac{2\pi R^{2}}{n}}V_{{n-2}}

y sus áreas superficiales están relacionadas como

S_{n}={\frac{2\pi R^{2}}{n-1}}S_{n-2}

La siguiente tabla muestra que la esfera unitaria y la bola toman un volumen extremo para y , respectivamente. $S_{{6}}$ $V_{{5}}$

Áreas y volúmenes de hiperesferas e hiperbolas con radio unitario

Dimensión	1 (longitud)	2 (área)	3 (volumen)	cuatro	5	6	7	ocho
único esfera ( ) $S_{n}$	$2\pi$	$4\pi$	$2\pi ^{2}$	${\frac{8}{3}}\pi^{2}$	$\pi^{3}$	${\frac{16}{15}}\pi^{3}$	${\frac{1}{3}}\pi^{4}$	${\frac{32}{105}}\pi^{4}$
Decimal entrada	6.2832	12.5664	19.7392	26.3189	31.0063	33.0734	32.4697	29.6866
Unidad pelota ( ) $V_{n}$	$2$	$\Pi$	${\frac{4}{3}}\pi$	${\frac{1}{2}}\pi^{2}$	${\frac{8}{15}}\pi^{2}$	${\frac{1}{6}}\pi^{3}$	${\frac{16}{105}}\pi^{3}$	${\frac{1}{24}}\pi^{4}$
Decimal entrada	2.0000	3.1416	4.1888	4.9348	5.2638	5.1677	4.7248	4.0587

La fila "dimensión" de la tabla contiene la dimensión de la superficie de la figura geométrica, y no la dimensión del espacio en el que se encuentra. Para una bola bidimensional, la dimensión de su "volumen" también es , y la dimensión de su "área" es . $norte$ $norte$ ${\ estilo de visualización n-1}$

Cabe señalar que la relación entre el volumen de la esfera bidimensional y el volumen del cubo circunscrito a su alrededor disminuye rápidamente al aumentar , más rápido que . $norte$ $V_{n}=C_{n}R^{n}$ $norte$ ${\ estilo de visualización 2^{n}R^{n}}$ $norte$ ${\ estilo de visualización 2^{-n))$

Topología de la hiperesfera

En esta sección, por esfera nos referimos a una hiperesfera n-dimensional, por bola nos referimos a una hiperesfera n-dimensional, es decir , , , . $S_{n}$ $B_{n}$ $S_{n}\hookrightarrow \mathbb{R} ^{{n+1}}$ $B_{n}\hookrightarrow \mathbb{R} ^{n}$

La esfera es homeomorfa a la factorización de la bola por su contorno . $S_{n}$ $B_{{n}}$
La pelota es homeomorfa a la factorización . $B_{n}$ $B_{n}\simeq (S_{{n-1}}\veces [0,1])/(S_{{n-1}}\veces \{1\})$
La esfera es un espacio celular . La descomposición celular más simple consta de dos celdas, homeomorfas y . Se obtiene directamente de la construcción de una esfera como espacio factorial de una bola cerrada. Una partición de celda también se puede construir por inducción, dividiéndose a lo largo del ecuador en dos celdas n-dimensionales, homeomorfas y una esfera , que es su límite común. $B_{0}={\matemáticas {pt}}$ $B_{n}$ $S_{n}$ $B_{n}$ $S_{{n-1}}$

Notas

↑ Vinogradov I. M. Enciclopedia matemática. — M .: Nauka, 1977, — v. 5, p. 287, artículo "Esfera" - la fórmula para el volumen de una esfera n-dimensional
↑ L. A. Maksimov, A. V. Mikheenkov, I. Ya. Polishchuk. Conferencias sobre física estadística. Dolgoprudny, 2011. - pág. 35, derivación de la fórmula para el volumen de una esfera n-dimensional a través de la integral de Euler-Poisson-Gauss

Véase también

Enlaces

Hypersphere (proyecto d'Amateur). Programas de modelado de aproximación de meridianos y hiperesferas 4D Archivado el 19 de enero de 2008 en Wayback Machine .
Hypersphere Imagination Trainer: Rubik's Cube in 4 or More Dimensions Archivado el 25 de enero de 2018 en Wayback Machine .

Dimensión del espacio
Espacios por dimensión	Cero-dimensional unidimensional 2D 3D cuatro dimensiones cinco dimensiones Sixdimensional Seven-dimensional octal Nueve dimensiones n-dimensional Dimensión negativa
Politopos y figuras	símplex hipercubo teseracto Hiperrectángulo (ortotopo) Semihipercubo politopo cruzado hiperesfera
tipos de espacios	espacio de dimensión finita espacio euclidiano espacio afín espacio proyectivo Módulo gratuito Colector Dimensión de una variable algebraica tiempo espacial
Otros conceptos dimensionales	Dimensión Krull Dimensión de Lebesgue Dimensión inductiva Dimensión fraccionaria (dimensión de Minkowski , dimensión de Hausdorff ) dimensión fractal Grados de libertad
Matemáticas