Homomorfismo de grupo

En matemáticas , dados dos grupos ( G , ∗) y ( H , •), un homomorfismo de grupo de ( G , ∗) a ( H , •) es una función h  : G → H tal que para todo u y v de G _

donde la operación de grupo a la izquierda del signo "=" se refiere al grupo G , y la operación a la derecha se refiere al grupo H.

De esto podemos deducir que h mapea el elemento neutro e G del grupo G al elemento neutro e H del grupo H , y también mapea inversas a inversas en el sentido de que

Por lo tanto, se puede decir que h "preserva la estructura del grupo".

En trabajos anteriores, h ( x ) podría denotarse como x h , aunque esto puede generar confusión con los índices. Recientemente, ha habido una tendencia a omitir los paréntesis cuando se escribe un homomorfismo, de modo que h ( x ) se convierte simplemente en xh . Esta tendencia es especialmente notable en áreas de la teoría de grupos donde se aplica la automatización , ya que está en mejor acuerdo con la lectura de izquierda a derecha de las palabras convencionales en los autómatas.

En áreas de las matemáticas donde los grupos están dotados de estructuras adicionales, un homomorfismo a veces se entiende como un mapeo que conserva no solo la estructura del grupo (como se indicó anteriormente), sino también la estructura adicional. Por ejemplo, a menudo se supone que un homomorfismo de grupos topológicos es continuo.

Concepto

El objetivo de definir un homomorfismo de grupo es crear funciones que preserven la estructura algebraica. Una definición equivalente de un homomorfismo de grupo: Una función h  : G → H es un homomorfismo de grupo si a ∗ b = c implica h ( a ) ⋅ h ( b ) = h ( c ). En otras palabras, el grupo H es en cierto sentido similar a la estructura algebraica de G y el homomorfismo h la conserva.

Imagen y núcleo

Definimos el kernel h como el conjunto de elementos de G que se asignan a un elemento neutral en H

y la imagen h como

El kernel h es un subgrupo normal de G , y la imagen de h es un subgrupo de H :

Un homomorfismo h es inyectivo (y se llama monomorfismo de grupo ) si y solo si ker( h ) = { e G }.

El núcleo y la imagen de un homomorfismo pueden entenderse como la medida de qué tan cerca está un homomorfismo de un isomorfismo. El primer teorema del isomorfismo establece que la imagen de un homomorfismo del grupo h ( G ) es isomorfa al cociente grupo G /ker h .

Ejemplos

Para cualquier número complejo u , la función f u  : G → C se define como: es un homomorfismo. es un homomorfismo.

Categorías de grupos

Si h  : G → H y k  : H → K son homomorfismos de grupo, entonces k o h  : G → K también es un homomorfismo. Esto muestra que la clase de todos los grupos, junto con los homomorfismos de grupo como morfismos, forman la categoría .

Tipos de mapeos homomórficos

Si el homomorfismo h es una biyección , entonces se puede demostrar que la aplicación inversa también es un homomorfismo de grupo, y entonces h se llama isomorfismo . En este caso, los grupos G y H se denominan isomorfos : difieren solo en la designación de elementos y operaciones y son idénticos para el uso práctico.

Si h : G → G es un homomorfismo de grupo, lo llamamos endomorfismo de G . Si además es biyectiva, y por lo tanto es un isomorfismo, se le llama automorfismo . El conjunto de todos los automorfismos del grupo G con la composición de funciones como una operación en sí forma un grupo, el grupo de automorfismos de G. Este grupo se denota como Aut( G ). Como ejemplo, el automorfismo de grupo ( Z , +) contiene solo dos elementos (transformación de identidad y multiplicación por −1), y es isomorfo a Z /2 Z .

Un epimorfismo es un homomorfismo sobreyectivo , es decir, un homomorfismo en . Un monomorfismo es un homomorfismo inyectivo , es decir, un homomorfismo uno a uno .

Homomorfismos de grupos abelianos

Si G y H son grupos abelianos (es decir, conmutativos), entonces el conjunto Hom( G , H ) de todos los homomorfismos de G a H es en sí mismo un grupo abeliano: la suma h + k de dos homomorfismos se define como

( h + k )( tu ) = h ( tu ) + k ( tu ) para todos los u de G .

Se necesita la conmutatividad de H para probar que h + k es nuevamente un homomorfismo de grupo.

Además, los homomorfismos son compatibles con la composición de homomorfismos en el siguiente sentido: si f pertenece a Hom( K , G ), h , k son elementos de Hom( G , H ), y g pertenece a Hom( H , L ), entonces

( h + k ) o f = ( h o f ) + ( k o f ) y    g o ( h + k ) = ( g o h ) + ( g o k ).

Esto muestra que el conjunto End( G ) de todos los endomorfismos de un grupo abeliano forma un anillo , el anillo de endomorfismos [ del grupo G. Por ejemplo, el anillo de endomorfismo de un grupo abeliano, que consiste en la suma directa m copias de Z / n Z , es isomorfo al anillo de m × m matrices con elementos de Z / n Z . La compatibilidad mencionada anteriormente también muestra que la categoría de todos los grupos abelianos con homomorfismos forma una categoría preaditiva . La existencia de sumas directas y núcleos con comportamiento bien condicionado hace de esta categoría un ejemplo de categoría abeliana .

Véase también

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