Diferenciación de funciones trigonométricas

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Función	Derivado
$\sin(x)$	${\ estilo de visualización \ cos (x)}$
${\ estilo de visualización \ cos (x)}$	$-\sin(x)$
${\ estilo de visualización \ bronceado (x)}$	${\ estilo de visualización \ segundo ^ {2} (x)}$
${\ estilo de visualización \ cuna (x)}$	${\ estilo de visualización - \ csc ^ {2} (x)}$
${\ estilo de visualización \ sec (x)}$	${\ estilo de visualización \ sec (x) \ bronceado (x)}$
${\ estilo de visualización \ csc (x)}$	${\ estilo de visualización - \ csc (x) \ cot (x)}$
${\ estilo de visualización \ arcsin (x)}$	${\frac{1}{{\sqrt {1-x^{2))))}$
$\arccos(x)$	$-{\frac{1}{{\sqrt {1-x^{2))))}$
${\ estilo de visualización \ arctan (x)}$	${\frac{1}{x^{2}+1}}$
${\ estilo de visualización \ nombre del operador {arccot} (x)}$	$-{\frac{1}{x^{2}+1}}$
${\ estilo de visualización \ nombre del operador {arcsec} (x)}$	${\frac{1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$
${\ estilo de visualización \ nombre del operador {arccsc} (x)}$	$-{\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$

La diferenciación de funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar la derivada de una función trigonométrica o su tasa de cambio con respecto a una variable. Por ejemplo, la derivada de la función seno se escribe como sin′( a ) = cos( a ), lo que significa que la tasa de cambio de sin( x ) en un cierto ángulo x = a está dada por el coseno de ese ángulo .

Todas las derivadas de funciones trigonométricas circulares se pueden encontrar a partir de las derivadas de sin( x ) y cos( x ) usando la regla del cociente aplicada a funciones como tan( x ) = sin( x )/cos( x ). Conociendo estas derivadas, uno puede encontrar derivadas de funciones trigonométricas inversas usando diferenciación implícita .

Todas estas funciones son continuas y derivables en su dominio de definición [1] .

Pruebas de derivadas de funciones trigonométricas

El límite de sen(θ)/θ cuando θ tiende a 0

El diagrama de la derecha muestra un círculo con centro en O y radio r = 1. Sean dos radios OA y OK que formen un arco en θ radianes. Dado que estamos considerando el límite cuando θ tiende a cero, podemos suponer que θ es un número positivo pequeño, digamos 0 < θ < ½ π en el primer cuadrante.

En el diagrama, sea R 1 el triángulo OAK , R 2 el sector circular OAK y R 3 el triángulo OAL . Entonces el área del triángulo ROBLE :

\mathrm {Área} (R_{1})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |OB|\sin \theta ={\tfrac {1}{2}}\sin \theta\,.

El área del sector circular OAK es , y el área del triángulo OAL se define como $\mathrm {Área} (R_{2})={\tfrac {1}{2}}\theta$

\mathrm {Área} (R_{3})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |AC|={\tfrac {1}{2}}\tan \theta \, .

Como cada objeto está contenido en el siguiente, tenemos:

{\text{Área}}(R_{1})<{\text{Área}}(R_{2})<{\text{Área}}(R_{3})\iff {\tfrac { 1}{2}}\sin \theta <{\tfrac {1}{2}}\theta <{\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.

Además, dado que sen θ > 0 en el primer cuadrante, podemos dividir por ½ sen θ para obtener:

1<{\frac {\theta }{\sin \theta }}<{\frac {1}{\cos \theta }}\implica 1>{\frac {\sin \theta }{\theta } }>\cos\theta\,.

En el último paso, recuperamos los tres términos positivos cambiando la desigualdad.

Concluimos que para 0 < θ < ½ π, la expresión sin( θ )/ θ siempre será menor que 1 y siempre mayor que cos(θ). Por lo tanto, cuanto más cerca está θ de 0, más se " aprieta " sin( θ )/ θ entre el techo a la altura 1 y el suelo a la altura cos θ , que tiende a 1; por tanto, sin( θ )/ θ tiende a 1 cuando θ tiende a 0 en el lado positivo:

$\lim _{\theta \to 0^{+}}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1\,.$

Para el caso en que θ es un número negativo pequeño -½ π <θ < 0, usamos el hecho de que el seno es una función impar :

\lim _{\theta \to 0^{-}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ \lim_{\theta \to 0^{+}} \!{\frac {\sin(-\theta )}{-\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {-\sin \theta }{ -\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ 1\,.

Límite (cos(θ)-1)/θ cuando θ tiende a 0

La última sección hace que sea relativamente fácil para nosotros calcular este nuevo límite. Esto se hace con un simple truco. En este cálculo, el signo de θ no es importante.

\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim_{\theta \to 0}\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)\!\!\left({\frac {\cos \theta +1}{\cos \theta +1}}\right)\ =\ \ lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos ^{2}\!\theta -1}{\theta \,(\cos \theta +1))).

Usando cos 2 θ – 1 = –sen 2 θ , el hecho de que el límite de un producto es el producto de los límites y el límite resultante de la sección anterior, encontramos que:

\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim_{\theta \to 0}\,{\frac { -\sin ^{2}\theta }{\theta (\cos \theta +1)))\ =\ \left(-\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{ \theta }}\right)\!\left(\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\right)\ =\ (- 1)\izquierda({\frac{0}{2}}\derecha)=0\,.

Limitar tan(θ)/θ cuando θ tiende a 0

Usando el límite de la función seno y el hecho de que la función tangente es impar y el límite del producto es el producto de los límites, encontramos:

\lim_{\theta \to 0}{\frac {\tan \theta}}{\theta}}\ =\ \left(\lim_{\theta \to 0}{\frac {\sin \ theta }{\theta }}\right)\!\left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {1}{\cos \theta }}\right)\ =\ (1)(1) \ =\ 1\,.

La derivada de la función seno

Calculamos la derivada de la función seno a partir de la definición del límite :

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin(\ theta +\delta )-\sin \theta }{\delta )).

Usando las fórmulas de suma de ángulos sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α , tenemos:

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin \theta \cos \delta +\sin \delta \cos \theta -\sin \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\sin \delta }{\delta }}\cos \theta +{\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\sin \theta \right).

Usando límites para funciones seno y coseno :

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =(1)\cos \theta +(0)\sin \theta =\cos \theta\,.

La derivada de la función coseno

De la definición de un derivado

Volvemos a calcular la derivada de la función coseno a partir de la definición del límite:

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos(\ theta +\delta )-\cos \theta }{\delta )).

Usando la fórmula de suma de ángulos cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β , tenemos:

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos \theta \cos \delta -\sin \theta \sin \delta -\cos \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\cos \delta -1}{ \delta }}\cos \theta \,-\,{\frac {\sin \delta }{\delta }}\sin \theta \right).

Usando límites para funciones seno y coseno :

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =(0)\cos \theta -(1)\sin \theta =-\ sin\theta\,.

De la regla de la cadena

Para calcular la derivada de la función coseno a partir de la regla de la cadena, primero tenga en cuenta los siguientes tres hechos:

\cos \theta =\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)

\sin \theta =\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)

{\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \theta =\cos \theta

La primera y la segunda son identidades trigonométricas , y la tercera se demuestra arriba. Usando estos tres hechos, podemos escribir lo siguiente:

{\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta ={\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)

Podemos diferenciar esto usando la regla de la cadena . Poniendo , tenemos: $f(x)=\sin x,\ \ g(\theta )={\tfrac {\pi }{2}}-\theta$

{\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}f\!\left(g\!\left(\theta \right)\right)=f^{\ primo }\!\left(g\!\left(\theta \right)\right)\cdot g^{\prime }\!\left(\theta \right)=\cos \left({\tfrac {\ pi }{2}}-\theta \right)\cdot (0-1)=-\sin \theta

Así, hemos probado que

{\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta =-\sin \theta

La derivada de la función tangente

De la definición de un derivado

Para calcular la derivada de la función tan θ , usamos primeros principios . Por definición:

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\ tan(\theta +\delta )-\tan \theta }{\delta }}\right).

Usando la conocida fórmula angular tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β) , tenemos:

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left[{\frac {{ \frac {\tan \theta +\tan \delta }{1-\tan \theta \tan \delta }}-\tan \theta }{\delta }}\right]=\lim _{\delta \to 0 }\left[{\frac {\tan \theta +\tan \delta -\tan \theta +\tan ^{2}\theta \tan \delta }{\delta \left(1-\tan \theta \tan \delta\derecho)}}\derecho].

Usando el hecho de que el límite de un producto es el producto de los límites:

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\tan \delta }{\delta }}\times \lim _{\delta \to 0}\left({\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan \theta \tan \delta }}\ Correcto).

Usando el límite de la función tangente y el hecho de que tan δ tiende a 0 cuando δ tiende a 0:

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1\times {\frac {1+\tan ^{2}\theta } {1-0}}=1+\tan ^{2}\theta .

Inmediatamente vemos que:

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{ \cos^{2}\theta}}=\sec^{2}\theta\,.

De la regla del cociente

También es posible calcular la derivada de la función tangente usando la regla del cociente :

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\tan \theta ={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\left(\sin \theta \right)^{\prime }\cdot \cos \theta -\sin \theta \ cdot \left(\cos \theta \right)^{\prime }}{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos^{2}\theta}}

El numerador se puede simplificar a 1 usando la identidad de Pitágoras , lo que nos da:

{\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta

Como consecuencia,

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta

Pruebas de derivadas de funciones trigonométricas inversas

Las siguientes derivadas se pueden encontrar ajustando la variable y a la función trigonométrica inversa , de la que queremos sacar la derivada. Usando la diferenciación implícita y luego resolviendo para dy / dx , la derivada de la función inversa se encontrará en términos de y . Para volver a convertir dy / dx en términos x , podemos dibujar un triángulo de referencia en el círculo unitario, igualando θ a y . Usando el teorema de Pitágoras y la definición de funciones trigonométricas ordinarias, finalmente podemos expresar dy / dx en términos de x .

Diferenciación de la función arcoseno

Dejar

y=\arcsen x\ ,

dónde

-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}.

Después

{\ estilo de visualización \ pecado y = x \.}

Tomando la derivada de en ambos lados y resolviendo para , tenemos: $X$ $dy/dx$

{d \sobre dx}\sin y={d \sobre dx}x,

\cos y\cdot {dy \over dx}=1\ .

Sustituyendo desde arriba , tenemos: $\cos y={\sqrt {1-\sin^{2}y))$

{\sqrt {1-\sin ^{2}y}}\cdot {dy \over dx}=1

Sustituyendo desde arriba , tenemos: ${\ estilo de visualización x = \ sen y}$

{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy\over dx}=1

{dy \over dx}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2))))

Diferenciación de la función arcocoseno

Dejar

y=\arccos x\,\!

dónde

{\ estilo de visualización 0 \ leq y \ leq \ pi}

Después

{\ estilo de visualización \ cos y = x \, \!}

Tomando la derivada de en ambos lados y resolviendo para , tenemos: $X$ $dy/dx$

{d \sobre dx}\cos y={d \sobre dx}x

-\sin y\cdot {dy\over dx}=1

Sustituyendo desde arriba , obtenemos: $\sin y={\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\,\!$

-{\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\cdot {dy \over dx}=1

Sustituyendo desde arriba , obtenemos: $x=\cos y\,\!$

-{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy\over dx}=1

{dy \over dx}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2))))

Alternativamente, una vez que se establece la derivada de, la derivada de es seguida inmediatamente por la diferenciación de la identidad de modo que . $\arcsen x$ $\ arccos x$ $\arcsen x+\arccos x=\pi /2$ $(\arccos x)'=-(\arcsen x)'$

Diferenciación de la función arco tangente

Dejar

y=\arctan x\,\!

dónde

-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}

Después

\tan y=x\,\!

Tomando la derivada de en ambos lados y resolviendo para , tenemos: $X$ $dy/dx$

{d \sobre dx}\tan y={d \sobre dx}x

Lado izquierdo:

{\displaystyle {d \over dx}\tan y=\sec ^{2}y\cdot {dy \over dx}=(1+\tan ^{2}y){dy \over dx))

, utilizando la identidad pitagórica

Lado derecho:

{d\sobre dx}x=1

Como consecuencia,

(1+\tan ^{2}y){dy \over dx}=1

Sustituyendo desde arriba , obtenemos: $x=\tan y\,\!$

(1+x^{2}){dy \over dx}=1

{\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{1+x^{2))))

Derivación de la función tangente inversa

Dejar

y=\operatorname {arccot} x

donde entonces ${\ estilo de visualización 0 <y <\ pi}$

\cot y=x

Tomando la derivada de en ambos lados y resolviendo para , tenemos: $X$ $dy/dx$

{\frac {d}{dx}}\cot y={\frac {d}{dx}}x

Lado izquierdo:

{\displaystyle {d \over dx}\cot y=-\csc ^{2}y\cdot {dy \over dx}=-(1+\cot ^{2}y){dy \over dx))

, utilizando la identidad pitagórica

Lado derecho:

{d\sobre dx}x=1

Como consecuencia,

-(1+\cot ^{2}y){\frac {dy}{dx}}=1

Sustituyendo , obtenemos: $x=\cot y$

-(1+x^{2}){\frac {dy}{dx}}=1

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{1+x^{2))))

Diferenciación de la función arcosecante

Usando diferenciación implícita

Dejar

y=\operatorname {arcsec} x\ \ |x|\geq 1

Después

x=\sec y\ \ y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2)),\ pi\derecho]

{\frac {dx}{dy}}=\seg y\tan y=|x|{\sqrt {x^{2}-1}}

(El valor absoluto en la expresión es necesario porque el producto de la secante y la tangente en el intervalo y siempre es no negativo, y el radical siempre es no negativo por definición de la raíz cuadrada principal , por lo que el factor restante también debe ser no negativo, que se logra usando el valor absoluto de x ). ${\sqrt {x^{2}-1))$

{\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}

Usando la regla de la cadena

Alternativamente, la derivada de la arcosecante se puede derivar de la derivada del arcocoseno usando la regla de la cadena .

Dejar

y=\operatorname {arcsec} x=\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)

dónde

{\ estilo de visualización | x | \ geq 1}

y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2)),\pi \right]

Entonces, aplicando la regla de la cadena a , tenemos: $\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)$

{\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\cdot \left (-{\frac {1}{x^{2}}}\right)={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2} )))))))={\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}}}}} = {\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x ^ {2}-1}}}}

Diferenciación de la función arcocosecante

Usando diferenciación implícita

Dejar

y=\operatorname {arccsc} x\ \ |x|\geq 1

Después

x=\csc y\ \ \ y\in \left[-{\frac {\pi }{2)),0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2 }}\Correcto]

{\frac {dx}{dy}}=-\csc y\cot y=-|x|{\sqrt {x^{2}-1}}

(El valor absoluto en la expresión es necesario porque el producto de la cosecante y la cotangente en el intervalo y siempre es no negativo, y el radical siempre es no negativo por definición de la raíz cuadrada principal , por lo que el factor restante también debe ser no negativo, que se logra usando el valor absoluto de x ). ${\sqrt {x^{2}-1))$

{\frac {dy}{dx}}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}

Usando la regla de la cadena

Alternativamente, la derivada de la arcocosecante se puede derivar de la derivada del arcoseno usando la regla de la cadena .

Dejar

y=\operatorname {arccsc} x=\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)

dónde

{\ estilo de visualización | x | \ geq 1}

y\in \left[-{\frac {\pi }{2)),0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2))\right]

Entonces, aplicando la regla de la cadena a , tenemos: $\arcsen \left({\frac {1}{x}}\right)$

{\frac {dy}{dx))={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x)))^{2))))\cdot \left( -{\frac {1}{x^{2}}}\right)=-{\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2} )))))))=-{\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}}}} } =-{\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}=-{\frac {1}{|x|{\ sqrt {x^{2}-1}}}}}

Véase también

Notas

↑ Derivadas de funciones trigonométricas . matemáticas24.ru . Matemáticas24. Consultado el 7 de julio de 2021. Archivado desde el original el 9 de julio de 2021. (Ruso)

Literatura

Handbook of Mathematical Functions , editado por Abramowitz y Stegun, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series, 55 (1964)
Courant R. Un Curso de Cálculo Diferencial e Integral . - 4. - Moscú: Nauka, 1970. - T. 1. - 672 p. (Ruso)

Trigonometría
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