En matemáticas , una sustitución trigonométrica es una sustitución de funciones trigonométricas por otras expresiones. En cálculo, la sustitución trigonométrica es un método para calcular integrales. Además, se pueden usar identidades trigonométricas para simplificar algunas integrales que contienen una expresión radical [1] [2] . Al igual que con otros métodos de integración por sustitución, al calcular la integral definida , puede ser más fácil derivar completamente la antiderivada antes de aplicar los límites de integración.
Let , y usa la identidad .
En integral
puede ser usado
Después
El paso anterior requiere que y . Podemos elegir como raíz principal e imponer una restricción utilizando la función seno inversa .
Para una integral definida, necesita averiguar cómo cambian los límites de integración. Por ejemplo, si cambia de a , entonces cambia de a , entonces cambia de a . Después
Se requiere cierto cuidado al elegir los límites. Debido a que la integración anterior requiere que , el valor solo puede cambiar de a . Si se ignora esta restricción, se podría optar por ir de a , lo que en realidad daría como resultado un valor negativo.
Alternativamente, uno puede evaluar completamente las integrales indefinidas antes de aplicar las condiciones de contorno. En este caso, la antiderivada da
como antes.
Ejemplo 2Integral
puede evaluarse presentando
donde , por lo que y sobre el rango del arcoseno , por lo que y .
Después
Para una integral definida, los límites cambian después de realizar la sustitución y se determinan usando una ecuación con valores en el rango . O puede aplicar los términos de los límites directamente a la fórmula de la antiderivada.
Por ejemplo, la integral definida
se puede estimar sustituyendo , con estimaciones definidas por , y .
Después
Por otro lado, una aplicación directa de los términos de contorno a la fórmula obtenida previamente para antiderivadas da
como antes.
En integral
puedes escribir
por lo que la integral se convierte en
proporcionado _
Para una integral definida, los límites cambian después de realizar la sustitución y se determinan usando una ecuación con valores en el rango . O puede aplicar los términos de los límites directamente a la fórmula de la antiderivada.
Por ejemplo, la integral definida
se puede estimar sustituyendo , con estimaciones definidas por , y .
Después
Mientras tanto, una aplicación directa de los términos de contorno a la fórmula para antiderivadas da
justo como antes.
Ejemplo 2Integral
puede evaluarse presentando
donde , por lo que y sobre el rango del arco tangente , por lo que y .
Después
La integral secante al cubo se puede calcular usando integración por partes . Como resultado
Deje y use la identidad
Tipo integrales
también se puede calcular mediante fracciones parciales en lugar de sustituciones trigonométricas. Sin embargo, la integral
esta prohibido En este caso, una sustitución adecuada sería:
donde , tal y , suponiendo , tal y .
Después
Puedes calcular la integral de la función secante multiplicando el numerador y el denominador por y la integral de la secante al cubo por partes [3] . Como resultado
Si , lo que sucede cuando con un rango dado de arcsecant , entonces , lo que en este caso significa .
La sustitución se puede utilizar para eliminar funciones trigonométricas.
Por ejemplo,
La última sustitución se conoce como la sustitución de Weierstrass , que utiliza fórmulas de tangente de medio ángulo .
Por ejemplo,
Las sustituciones de funciones hiperbólicas también se pueden utilizar para simplificar integrales [4] .
En la integral , se puede hacer una sustitución ,
Luego, usando las identidades y
disponible
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