Constantes trigonométricas

Este artículo proporciona expresiones algebraicas exactas para algunos números trigonométricos . Tales expresiones pueden ser necesarias, por ejemplo, para llevar los resultados de expresiones con funciones trigonométricas a una forma radical , lo que hace posible una mayor simplificación.

Cualquier número trigonométrico es algebraico . Algunos números trigonométricos se pueden expresar en radicales complejos , pero no siempre en reales: en particular, entre los valores de las funciones trigonométricas en ángulos expresados en grados enteros , solo se pueden expresar valores en aquellos de ellos. expresado en radicales reales , el número de grados en que es múltiplo de tres. Pero por el teorema de Abel , también los hay que son indecidibles en radicales.

Según el teorema de Niven , el valor de un seno con un argumento racional en grados es irracional o igual a uno de los números entre , , , , . ${\ estilo de visualización 0}$ ${\frac{1}{2))$ $una$ $-\frac{1}{2}$ $-una$

Según el teorema de Baker , si el seno , el coseno o la tangente en un punto dado da un número algebraico , entonces su argumento en grados es racional o trascendental . En otras palabras, si el argumento en grados es algebraico e irracional , entonces los valores de todas las funciones trigonométricas de este argumento serán trascendentales .

Criterios de inclusión

Los valores de las funciones trigonométricas de un argumento conmensurable son expresables en radicales reales solo si el denominador de la fracción racional reducida obtenida al dividirla por es una potencia de dos multiplicada por el producto de varios números primos de Fermat (ver el teorema de Gauss-Wanzel ). Esta página está dedicada principalmente a los ángulos expresados en radicales reales. $\Pi$ $\Pi$

Usando la fórmula del medio ángulo , se pueden obtener expresiones algebraicas para los valores de las funciones trigonométricas en cualquier ángulo para el que ya se hayan encontrado, divididos por la mitad. En particular, para ángulos que se encuentran en el intervalo de a , las fórmulas son verdaderas ${\ estilo de visualización 0}$ ${\ frac {\ pi} {2}}$

\sin {\alpha \over 2}={\sqrt {1-\cos \alpha \over 2))

, y .

\cos {\alpha \over 2}={\sqrt {1+\cos \alpha \over 2))

\operatorname {tg} {\alpha \over 2}={\sqrt {1-\cos \alpha \over 1+\cos \alpha }}

Las expresiones a continuación también permiten obtener expresiones en radicales complejos para los valores de las funciones trigonométricas en aquellos ángulos en los que no se expresan en reales. Por ejemplo, dada la fórmula para el ángulo, la fórmula para $\ theta$ $\ theta$ 3se puede obtener resolviendo la siguiente ecuación de tercer grado :

4\cos ^{3}{\frac {\theta }{3}}-3\cos {\frac {\theta }{3}}=\cos \theta ,

Sin embargo, en su solución general pueden surgir números no reales complejos (este caso se denomina casus irreducibilis ).

Tabla de algunos ángulos comunes

Hay varias unidades para medir ángulos , por ejemplo, grados , radianes , revoluciones , grados (gons) .

1\,{\text{giro completo))=360^{\circ }=2\pi (\mathrm {rad} )=400(\mathrm {gon} ).

Esta tabla muestra las conversiones de una medida a otra y los valores de las funciones trigonométricas desde los ángulos más comunes:

pérdidas de balón	grados	radianes	Graduados (gons)	Seno	Coseno	Tangente
0	0°	0	0	0	una	0
una12	30°	$\Pi$ 6	33una	una2	√ 32	√ 33
unaocho	45°	$\Pi$ cuatro	cincuenta	√2 _2	√2 _2	una
una6	60°	$\Pi$ 3	662	√ 32	una2	√ 3
unacuatro	90°	$\Pi$ 2	100	una	0
una3	120°	2 $\Pi$ 3	133una	√ 32	−una2	− √ 3
3ocho	135°	3 $\Pi$ cuatro	150	√2 _2	−√2 _2	−1
512	150°	5 $\Pi$ 6	1662	una2	−√ 32	−√ 33
una2	180°	$\Pi$	200	0	−1	0
712	210°	7 $\Pi$ 6	233una	−una2	−√ 32	√ 33
5ocho	225°	5 $\Pi$ cuatro	250	−√2 _2	−√2 _2	una
23	240°	cuatro $\Pi$ 3	2662	−√ 32	−una2	√ 3
3cuatro	270°	3 $\Pi$ 2	300	−1	0
56	300°	5 $\Pi$ 3	333una	−√ 32	una2	− √ 3
7ocho	315°	7 $\Pi$ cuatro	350	−√2 _2	√2 _2	−1
once12	330°	once $\Pi$ 6	3662	−una2	√ 32	−√ 33
una	360°	2 $\Pi$	400	0	una	0

Otros ángulos

Los valores de funciones trigonométricas en ángulos que no están en el intervalo de a simplemente se derivan de los valores en los ángulos de este intervalo utilizando las fórmulas de reducción . Todos los ángulos se escriben en grados y radianes , siendo el recíproco del factor delante de la expresión para un ángulo dado el único número en el símbolo de Schläfli de un polígono regular (posiblemente estrellado) con un ángulo externo igual al dado. $0^{\círculo}$ $45^{\círculo}$ $\Pi$

0° = 0 (rad)

{\ estilo de visualización \ pecado 0 = 0 \,}

{\ estilo de visualización \ cos 0 = 1 \,}

{\ estilo de visualización \ nombre del operador {tg} 0 = 0 \,}

\operatorname {ctg} 0=\infty\,

1.5°=(1/120)π (rad)

\sin \left({\frac {\pi }{120}}\right)=\sin \left(1.5^{\circ }\right)={\frac {\left({\sqrt {2 +{\raíz cuadrada {2}}}}\derecha)\izquierda({\raíz cuadrada {15}}+{\raíz cuadrada {3}}-{\raíz cuadrada {10-2{\raíz cuadrada {5}}}}\derecha )-\left({\sqrt {2-{\sqrt {2))))\right)\left({\sqrt {30-6{\sqrt {5))))+{\sqrt {5)) +1\derecho)}{16}}

\cos \left({\frac {\pi }{120}}\right)=\cos \left(1.5^{\circ }\right)={\frac {\left({\sqrt {2 +{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}+1\right)+\left({ \sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}} }}\derecho)}{16}}

1.875°=(1/96)π (rad)

\sin \left({\frac {\pi }{96}}\right)=\sin \left(1.875^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3)))))))))))))

\cos \left({\frac {\pi }{96}}\right)=\cos \left(1.875^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3)))))))))))))

2,25°=(1/80)π (rad)

{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{80}}\right)=\sin \left(2.25^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5))}{2))))))))))))

{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{80}}\right)=\cos \left(2.25^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2))))))))))))

2.8125°=(1/64)π (rad)

\sin \left({\frac {\pi }{64}}\right)=\sin \left(2.8125^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2)))))))))))))

\cos \left({\frac {\pi }{64}}\right)=\cos \left(2.8125^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2)))))))))))))

3°=(1/60)π (rad)

\sin \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\sin \left(3^{\circ }\right)={\frac {2\left(1-{\ sqrt {3}}\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}\right)\left({\ sqrt {3}}+1\right)}{16}}\,

\cos \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\cos \left(3^{\circ }\right)={\frac {2\left(1+{\ sqrt {3}}\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}\right)\left({\ sqrt {3}}-1\right)}{16}}\,

\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\operatorname {tg} \left(3^{\circ }\right)={\frac {\left [\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2-{\sqrt {10-2{\ sqrt {5}}}}\right]}{4}}\,

\operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\operatorname {ctg} \left(3^{\circ }\right)={\frac {\left [\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2+{\sqrt {10-2{\ sqrt {5}}}}\right]}{4}}\,

3.75°=(1/48)π (rad)

\sin \left({\frac {\pi }{48}}\right)=\sin \left(3.75^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3))))))))))

\cos \left({\frac {\pi }{48}}\right)=\cos \left(3.75^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3))))))))))

4.5°=(1/40)π (rad)

\sin \left({\frac {\pi }{40}}\right)=\sin \left(4.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ raíz cuadrada {2-{\raíz cuadrada {2+{\raíz cuadrada {\frac {5+{\raíz cuadrada {5}}}{2}}}}}}}

\cos \left({\frac {\pi }{40}}\right)=\cos \left(4.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ raíz cuadrada {2+{\raíz cuadrada {2+{\raíz cuadrada {\frac {5+{\raíz cuadrada {5}}}{2}}}}}}}

5.625°=(1/32)π (rad)

\sin \left({\frac {\pi }{32}}\right)=\sin \left(5.625^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2))))))))))

\cos \left({\frac {\pi }{32}}\right)=\cos \left(5.625^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2))))))))))

6°=(1/30)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{30}}=\sin 6^{\circ }={\frac ({\sqrt {30-{\sqrt {180))))-{\sqrt { 5}}-1}{8}}\,

\cos {\frac {\pi }{30}}=\cos 6^{\circ }={\frac ({\sqrt {10-{\sqrt {20))))+{\sqrt { 3))+{\raíz cuadrada {15}}}{8}}\,

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{30}}=\operatorname {tg} 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {10-{\sqrt {20}}} }+{\raíz cuadrada {3}}-{\raíz cuadrada {15}}}{2}}\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{30}}=\operatorname {ctg} 6^{\circ }={\frac ({\sqrt {27}}+{\sqrt {15} }+{\sqrt {50+{\sqrt {2420}}}}}{2}}\,

7.5°=(1/24)π (rad)

\sin \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\sin \left(7.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ raíz {2-{\raíz {2+{\raíz {3}}}}}}={\frac {1}{4}}{\raíz {8-2{\raíz {6}}-2{\ sqrt {2}}}}

\cos \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\cos \left(7.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ raíz {2+{\raíz {2+{\raíz {3}}}}}}={\frac {1}{4}}{\raíz {8+2{\raíz {6}}+2{\ sqrt {2}}}}

\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\operatorname {tg} \left(7.5^{\circ }\right)={\sqrt {6} }-{\raíz cuadrada {3}}+{\raíz cuadrada {2}}-2\ =\izquierda({\raíz cuadrada {2}}-1\derecha)\izquierda({\raíz cuadrada {3}}-{\raíz cuadrada {2}}\derecho)

\operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\operatorname {ctg} \left(7.5^{\circ }\right)={\sqrt {6} }+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}+2\ =\left({\sqrt {2}}+1\right)\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}\derecho)

9°=(1/20)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{20}}=\sin 9^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {\frac {5 +{\raíz cuadrada {5}}}{2}}}}}

\cos {\frac {\pi }{20}}=\cos 9^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5 +{\raíz cuadrada {5}}}{2}}}}}

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{20}}=\operatorname {tg} 9^{\circ }={\sqrt {5}}+1-{\sqrt {5+2{ \sqrt {5}}}}\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{20}}=\operatorname {ctg} 9^{\circ }={\sqrt {5}}+1+{\sqrt {5+2{ \sqrt {5}}}}\,

11.25°=(1/16)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{16}}=\sin 11,25^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\ sqrt {2}}}}}}}

\cos {\frac {\pi }{16}}=\cos 11,25^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\ sqrt {2}}}}}}}

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{16}}=\operatorname {tg} 11,25^{\circ }={\sqrt {4+2{\sqrt {2))))-{ \sqrt {2}}-1

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{16}}=\operatorname {ctg} 11,25^{\circ }={\sqrt {4+2{\sqrt {2))))+{ \sqrt {2}}+1

12°=(1/15)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{15}}=\sin 12^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {2\left(5+{ \sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right]\,

\cos {\frac {\pi }{15}}=\cos 12^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {6\left(5+{ \sqrt {5}}\derecho)}}+{\sqrt {5}}-1\derecho]\,

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{15}}=\operatorname {tg} 12^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[3{\sqrt { 3}}-{\sqrt {15}}-{\sqrt {2\left(25-11{\sqrt {5}}\right)))\,\right]\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{15}}=\operatorname {ctg} 12^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {15 ))+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)))\,\right]\,

15°=(1/12)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{12}}=\sin 15^{\circ }={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}

\cos {\frac {\pi }{12}}=\cos 15^{\circ }={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{12}}=\operatorname {tg} 15^{\circ }=2-{\sqrt {3}}\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{12}}=\operatorname {ctg} 15^{\circ }=2+{\sqrt {3}}\,

18°=(1/10)π (rad) [1]

\sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right )\,

\cos {\frac {\pi }{10}}=\cos 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2\left(5+{\sqrt { 5}}\derecha)}}\,

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{10}}=\operatorname {tg} 18^{\circ }={\tfrac {1}{5}}{\sqrt {5\left( 5-2{\sqrt {5}}\right)}}\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{10}}=\operatorname {ctg} 18^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5))))\,

21°=(7/60)π (rad)

\sin {\frac {7\pi }{60}}=\sin 21^{\circ }={\frac {1}{16}}\left(2\left({\sqrt {3} }+1\right){\sqrt {5-{\sqrt {5))))-\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)\left(1+{\ sqrt {5}}\derecho)\derecho)\,

\cos {\frac {7\pi }{60}}=\cos 21^{\circ }={\frac {1}{16}}\left(2\left({\sqrt {3} }-1\right){\sqrt {5-{\sqrt {5))))+\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)\left(1+{\ sqrt {5}}\derecho)\derecho)\,

\operatorname {tg} {\frac {7\pi }{60}}=\operatorname {tg} 21^{\circ }={\frac {1}{4}}\left(2-\left (2+{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)\right)\left(2-{\sqrt {2\left(5+{\sqrt { 5}}\derecho)}}\derecho)\,

\operatorname {ctg} {\frac {7\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 21^{\circ }={\frac {1}{4}}\left(2-\left (2-{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)\right)\left(2+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt { 5}}\derecho)}}\derecho)\,

22,5°=(1/8)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{8}}=\sin 22,5^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}} },

\cos {\frac {\pi }{8}}=\cos 22,5^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}} }\,

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{8}}=\operatorname {tg} 22.5^{\circ }={\sqrt {2}}-1\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{8}}=\operatorname {ctg} 22,5^{\circ }={\sqrt {2}}+1=\delta _{S}\,

, sección de plata

24°=(2/15)π (rad)

\sin {\frac {2\pi }{15}}=\sin 24^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {15}}+{\ sqrt {3}}-{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)))\right]\,

\cos {\frac {2\pi }{15}}=\cos 24^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left({\sqrt {6\left(5- {\sqrt {5}}\derecha)}}+{\sqrt {5}}+1\derecha)\,

\operatorname {tg} {\frac {2\pi }{15}}=\operatorname {tg} 24^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt { 50+22{\raíz cuadrada {5}}}}-3{\raíz cuadrada {3}}-{\raíz cuadrada {15}}\derecha]\,

\operatorname {ctg} {\frac {2\pi }{15}}=\operatorname {ctg} 24^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt { 15}}-{\raíz cuadrada {3}}+{\raíz cuadrada {2\izquierda(5-{\raíz cuadrada {5}}\derecha)))\derecha]\,

27°=(3/20)π (rad)

\sin {\frac {3\pi }{20}}=\sin 27^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-{\raíz cuadrada {2}}\;\izquierda({\raíz cuadrada {5}}-1\derecha)\derecha]\,

\cos {\frac {3\pi }{20}}=\cos 27^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5))))+{\raíz cuadrada {2}}\;\izquierda({\raíz cuadrada {5}}-1\derecha)\derecha]\,

\operatorname {tg} {\frac {3\pi }{20}}=\operatorname {tg} 27^{\circ }={\sqrt {5}}-1-{\sqrt {5-2 {\sqrt {5}}}}\,

\operatorname {ctg} {\frac {3\pi }{20}}=\operatorname {ctg} 27^{\circ }={\sqrt {5}}-1+{\sqrt {5-2 {\sqrt {5}}}}\,

30°=(1/6)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{6}}=\sin 30^{\circ }={\frac {1}{2}}\,

\cos {\frac {\pi }{6}}=\cos 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{6}}=\operatorname {tg} 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{3}}={\frac {1}{\raíz cuadrada {3}}}\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{6}}=\operatorname {ctg} 30^{\circ }={\sqrt {3}}\,

33°=(11/60)π (rad)

\sin {\frac {11\pi }{60}}=\sin 33^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left({\sqrt {3} }-1\right){\sqrt {5+{\sqrt {5))))+{\sqrt {2}}\left(1+{\sqrt {3}}\right)\left({\sqrt {5}}-1\derecho)\derecho]\,

\cos {\frac {11\pi }{60}}=\cos 33^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left({\sqrt {3} }+1\right){\sqrt {5+{\sqrt {5))))+{\sqrt {2}}\left(1-{\sqrt {3}}\right)\left({\sqrt {5}}-1\derecho)\derecho]\,

\operatorname {tg} {\frac {11\pi }{60}}=\operatorname {tg} 33^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-\left (2-{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)\right]\left[2+{\sqrt {2\left(5-{\sqrt { 5}}\derecho)}}\,\derecho]\,

\operatorname {ctg} {\frac {11\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 33^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-\left (2+{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)\right]\left[2-{\sqrt {2\left(5-{\sqrt { 5}}\derecho)}}\,\derecho]\,

36°=(1/5)π (rad)

[una]

\sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }={\frac {1}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}} }}

\cos {\frac {\pi }{5}}=\cos 36^{\circ }={\frac ({\sqrt {5}}+1}{4}}={\frac {\ varfi {2}},

donde esta la seccion dorada ;

\varphi

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{5}}=\operatorname {tg} 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5))))\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{5}}=\operatorname {ctg} 36^{\circ }={\frac {1}{5}}{\sqrt {25+10{ \sqrt {5}}}}}

39°=(13/60)π (rad)

\sin {\frac {13\pi }{60}}=\sin 39^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left(1-{\sqrt { 3}}\right){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}+1\right)\left({\sqrt {5}}+1\derecho)\derecho]\,

\cos {\frac {13\pi }{60}}=\cos 39^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left(1+{\sqrt { 3}}\right){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}-1\right)\left({\sqrt {5}}+1\derecho)\derecho]\,

\operatorname {tg} {\frac {13\pi }{60}}=\operatorname {tg} 39^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[\left(2 -{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2-{\sqrt {2\left(5+{\sqrt { 5}}\derecho)}}\,\derecho]\,

\operatorname {ctg} {\frac {13\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 39^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[\left(2 +{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt { 5}}\derecho)}}\,\derecho]\,

42°=(7/30)π (rad)

\sin {\frac {7\pi }{30}}=\sin 42^{\circ }={\frac ({\sqrt {30+6{\sqrt {5))))-{\ raíz cuadrada {5}}+1}{8}}\,

\cos {\frac {7\pi }{30}}=\cos 42^{\circ }={\frac ({\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}+{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}}{8}}\,

\operatorname {tg} {\frac {7\pi }{30}}=\operatorname {tg} 42^{\circ }={\frac ({\sqrt {15}}+{\sqrt {3 }}-{\raíz cuadrada {10+2{\raíz cuadrada {5}}}}}{2}}\,

\operatorname {ctg} {\frac {7\pi }{30}}=\operatorname {ctg} 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {50-22{\sqrt {5} ))}+3{\raíz cuadrada {3}}-{\raíz cuadrada {15}}}{2}}\,

45°=(1/4)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{4}}=\sin 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,

\cos {\frac {\pi }{4}}=\cos 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{4}}=\operatorname {tg} 45^{\circ }=1\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{4}}=\operatorname {ctg} 45^{\circ }=1\,

54°=(3/10)π (rad)

\sin {\frac {3\pi }{10}}=\sin 54^{\circ }={\frac ({\sqrt {5}}+1}{4}}\,\!

\cos {\frac {3\pi }{10}}=\cos 54^{\circ }={\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5)))){4}}

\operatorname {tg} {\frac {3\pi }{10}}=\operatorname {tg} 54^{\circ }={\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}} }}{5}}\,

\operatorname {ctg} {\frac {3\pi }{10}}=\operatorname {ctg} 54^{\circ }={\sqrt {5-{\sqrt {20))))\,

60°=(1/3)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{3}}=\sin 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,

\cos {\frac {\pi }{3}}=\cos 60^{\circ }={\frac {1}{2}}\,

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{3}}=\operatorname {tg} 60^{\circ }={\sqrt {3}}\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{3}}=\operatorname {ctg} 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{3}}={\frac {1}{\raíz cuadrada {3}}}\,

67.5°=(3/8)π (rad)

\sin {\frac {3\pi }{8}}=\sin 67,5^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}} }}\,

\cos {\frac {3\pi }{8}}=\cos 67,5^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}} }}\,

\operatorname {tg} {\frac {3\pi }{8}}=\operatorname {tg} 67,5^{\circ }={\sqrt {2}}+1\,

\operatorname {ctg} {\frac {3\pi }{8}}=\operatorname {ctg} 67,5^{\circ }={\sqrt {2}}-1\,

72°=(2/5)π (rad)

\sin {\frac {2\pi }{5}}=\sin 72^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\derecho)}}\,

\cos {\frac {2\pi }{5}}=\cos 72^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\ derecha)={\frac {\varphi}{2)),

donde esta la seccion dorada ;

\varphi

\operatorname {tg} {\frac {2\pi }{5}}=\operatorname {tg} 72^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5))))\ ,

\operatorname {ctg} {\frac {2\pi }{5}}=\operatorname {ctg} 72^{\circ }={\tfrac {1}{5}}{\sqrt {5\left (5-2{\sqrt {5}}\derecha)}}\,

75°=(5/12)π (rad)

\sin {\frac {5\pi }{12}}=\sin 75^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\ sqrt {2}}\derecha)\,

\cos {\frac {5\pi }{12}}=\cos 75^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\ sqrt {2}}\derecha)\,

\operatorname {tg} {\frac {5\pi }{12}}=\operatorname {tg} 75^{\circ }=2+{\sqrt {3}}\,

\operatorname {ctg} {\frac {5\pi }{12}}=\operatorname {ctg} 75^{\circ }=2-{\sqrt {3}}\,

90°=(1/2)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{2}}=\sin 90^{\circ }=1\,

\cos {\frac {\pi }{2}}=\cos 90^{\circ }=0\,

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{2}}=\operatorname {tg} 90^{\circ }=\infty \,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{2}}=\operatorname {ctg} 90^{\circ }=0\,

Lista de valores de funciones trigonométricas con argumento igual a 2π/n

Solo se dan fórmulas que no usan raíces de un grado mayor que . Dado que (por el teorema de Moivre ) en el conjunto de números complejos, extraer la raíz de un grado entero n conduce a n valores diferentes, entonces para las raíces de los grados 3 y 5 de números no reales que aparecen en esta sección a continuación, uno debe tomar el valor principal igual a la raíz con mayor parte real: siempre es positivo. Por tanto, las sumas de las raíces de 3º o 5º grado de los números complejos conjugados que aparecen en la tabla también son positivas. La tangente se da en los casos en que se puede escribir mucho más fácilmente que la relación de los registros de seno y coseno. $5$

En algunos casos a continuación, se utilizan dos números que tienen la propiedad de que . $\omega_{3}={\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},\omega_{5}={\tfrac {1}{4}}(- 1+{\raíz cuadrada {5}}+i{\raíz cuadrada {10+2{\raíz cuadrada {5}}}}}$ $\omega _{3}^{3}=\omega _{5}^{5}=1$ ${\begin{array}{r|l|l|l}n&\sin \left({\frac {2\pi }{n))\right)&\cos \left({\frac {2 \pi }{n}}\right)&\operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{n}}\right)\\\hlínea 1&0&1&0\\\hlínea 2&0&-1&0\\\hlínea 3&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&-{\frac {1}{2}}&-{\sqrt {3}}\\\hline 4&1&0&\pm \infty \\ \hline 5&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{4}}\left({ \sqrt {5}}-1\right)&{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\\\hlínea 6&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}} &{\frac {1}{2}}&{\sqrt {3}}\\\hlínea 7&{\frac {1}{6}}{\sqrt {3\left(7-{\overline {\omega _ {3}}}{\raíz cuadrada[{3}]{\frac {7+21i{\raíz cuadrada {3}}}{2}}}-\omega_{3}{\raíz cuadrada[{3}]{ \frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right)}}&{\frac {1}{6}}\left(-1+{\sqrt[{3}]{ \frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right )&\\\hlínea 8&{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}&{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}&1\\\hlínea 9&{\ fracción {i}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\overline {\omega _{3))))-{\sqrt[{3}]{\omega _{3}}} \right)&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\omega _{3}}}+{\sqrt[{3}]{\overline { \omega _{3}}}}\right)&\\\hlínea 10&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right) &{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}+1\right)&{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\\\hlínea 11&&&\\ \hline 12&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\ \\hline 13&{\frac {1}{12}}{\sqrt {6\left(13-{\sqrt {13}}-{\sqrt[{3}]{4(26-5{\sqrt { 13}}-3i{\raíz cuadrada {39}})))}-{\raíz cuadrada[{3}]{4(26-5{\raíz cuadrada {13}}+3i{\raíz cuadrada {39}}))) }\ derecha)))&{\frac {1}{12}}\izquierda(-1+{\sqrt {13}}+{\sqrt[{3}]{4(26-5{\sqrt {13 }} -3i{\raíz cuadrada {39))))}}+{\raíz cuadrada[{3}]{4(26-5{\raíz cuadrada {13}}+3i{\raíz cuadrada {39}})))\ derecha)& \\\hlínea 14&{\frac {1}{6}}{\sqrt {3\left(7-{\sqrt[{3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}} {2 ))}-{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right)))&{\frac {1}{6} }\left (1-\omega_{3}{\sqrt[{3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}-{\overline {\omega_{3 }}} {\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right)&\\\hlínea 15&{\frac {1}{8}} \left( {\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{8}}\ izquierda(1 +{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{2}}\izquierda(-3{\raíz cuadrada {3}}-{\raíz cuadrada {15}}+{\raíz cuadrada {50+22{\raíz cuadrada {5}}}}\derecha)\\\ hline 16&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)&{\sqrt {2}}-1\\\hlínea 17&&{\frac {1}{16}}\left(-1+{\sqrt { 17))+{\raíz cuadrada {34-2{\raíz cuadrada {17})))+2{\raíz cuadrada {17+3{\raíz cuadrada {17}}-{\raíz cuadrada {34-2{\raíz cuadrada {17} ))}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17))))))\right)&\\\hline 18&{\frac {i}{2))\left({\sqrt[{ 3}]{-\omega _{3))}-{\sqrt[{3}]{-{\overline {\omega _{3))))}\right)&{\frac {1}{2 }}\left({\sqrt[{3}]{-\omega _{3}}}+{\sqrt[{3}]{-{\overline {\omega _{3}}}}}\right )&\\\hlínea 19&&&\\\hlínea 20&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)&{\frac {1}{4}}\left ({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{5}}\left({\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}} \right)\\\hlínea 21&&&\\\hlínea 22&&&\\\hlínea 23&&&\\\hlínea 24&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2} }\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)&2-{\sqrt {3}}\\\hlínea 25& {\frac {i}{2}}({\sqrt[{5}]{\overline {\omega _{5}}}}-{\sqrt[{5}]{\omega _{5}} })&{\frac {1}{2}}({\sqrt[{5}]{\omega _{5}}}+{\sqrt[{5}]{\overline {\omega _{5} }}})&\end{matriz}}$

Prueba

Uno de los métodos comunes y visuales para derivar fórmulas para ( n y o son números enteros) es resolver la ecuación x n = 1, es decir, encontrar las raíces complejas de 1 . En este caso , el coseno y el seno son iguales y, respectivamente . Este método está justificado por el teorema de De Moivre : $x=\cos {\tfrac {2\pi o}{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi o}{n}}$ ${\tfrac{x+1/x}{2}}$ ${\ estilo de visualización {\ tfrac {x-1/x} {2i}}}$

si es un módulo y es un argumento de un número complejo, entonces todas las raíces de un grado entero desde se expresan mediante números por los que pasa el conjunto de enteros $r>0$ $\alpha \in {\mathbb {R}}$ ${\ estilo de visualización n \ neq 0}$ $r(\cos \alpha +i\sin \alpha )$ ${\sqrt[{n}]{r}}[\cos({\tfrac {\alpha }{n}}+{\tfrac {2\pi o}{n}})+i\sin( {\tfrac {\alpha {n))+{\tfrac {2\pi o}{n)))),$ $o$ $\mathbb{Z}.$

A su vez, este teorema se prueba con la afirmación de que cuando se multiplican números complejos, se multiplican sus módulos y se suman los argumentos (estos últimos equivalen a identidades trigonométricas para la suma ):

$[r(\cos \alpha +i\sin \alpha )]\cdot [s(\cos \beta +i\sin \beta )]=(rs)\cdot [\cos(\alpha +\beta )+i\sin(\alpha +\beta )].$

Entre las raíces de grado natural n de 1 hay aquellas que no son raíces de ningún otro grado natural m < n de 1 - se llaman raíces antiderivadas , o primitivas , de grado n de 1 . Y un polinomio que contiene sólo radicales primitivos de 1 como raíces, y con multiplicidad unitaria, se llama circular . Para raíces enésimas de 1, el grado del polinomio circular es igual a φ ( n ), donde φ es la función de Euler , y es necesariamente par para n ≥ 3, ya que para n ≥ 3 todas las raíces primitivas (entre las que no hay más largos ±1) no son reales y forman pares conjugados complejos.

Para n ≥ 2, el polinomio circular es simétrico , es decir, todos sus coeficientes se reflejan con respecto a la potencia φ ( n )/2. Si n ≥ 3, entonces para resolver una ecuación con un polinomio circular s φ(n) ( x ) = 0 de grado par φ(n) , el polinomio simétrico s φ(n) ( x ) debe dividirse por x φ( n) /2 , y luego agrupar por potencias del número x + 1/ x (esto es posible por simetría), que por coincidencia resulta ser el coseno buscado multiplicado por 2.

Ejemplo 1: n = 3

Método 1 - solución de la ecuación de segundo grado según el método general

El polinomio se descompone en factores circulares y el primero de ellos tiene raíz igual a 1, y el segundo es un polinomio de 2º grado. Y en el caso general, para resolver una ecuación cuadrática, necesitas dividir el polinomio por el coeficiente principal (aquí es igual a 1), y luego seleccionar el cuadrado exacto para deshacerte del término monomio del grado que es menor que el grado del polinomio en 1, es decir, llevar la ecuación del polinomio a la forma canónica : $x^{3}-1$ $x-1$ ${\ estilo de visualización x^{2}+x+1,}$

${\ estilo de visualización x^{2}+x=-1,}$

$(x+{\tfrac {1}{2)))^{2}=-{\tfrac {3}{4)),$

$(x+{\tfrac {1}{2}})^{2}+{\tfrac {3}{4}}=0$ ( vista canónica ).

Como resultado, junto con la ecuación , resulta que ${\ estilo de visualización x-1 = 0}$

$x=1$ o $x={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}.$

Método 2 - reducción de la ecuación a la ecuación de 1er grado

En lugar de resolver la ecuación como cuadrática, el polinomio simétrico se puede dividir por x , agrupado alrededor de x + 1/ x , dado que x + 1/ x es el coseno requerido multiplicado por 2: ${\ estilo de visualización x^{2}+x+1=0}$ $x^{2}+x+1$

$(x+{\tfrac{1}{x)))+1=0,$

$x+{\tfrac {1}{x}}=-1,$

$x={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}.$

Ejemplo 2: n = 5

Un polinomio circular es igual a y para hallar sus raíces se debe dividir por x 2 , agrupar por las potencias de x + 1/ x (reducido a un polinomio cuadrado) e igualar a 0: $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1,$

$x^{2}+x+1+x^{-1}+x^{-2}=0,$

$(x+{\tfrac {1}{x)))^{2}+(x+{\tfrac {1}{x)))-1=0,$

$x+{\tfrac {1}{x}}={\tfrac {-1\pm {\sqrt {5}}}{2}}$ (el coseno deseado multiplicado por 2),

$x={\frac {-1\pm _{1}{\sqrt {5}}}{4}}\pm _{2}{\frac {i}{4}}{\sqrt {10 \pm_{1}2{\sqrt {5}}}}.$

Ejemplo 3: n = 7

simbolos _ denotar como $\cos {\tfrac {2\pi }{n}}+i\sen {\tfrac {2\pi }{n}}$ ${\ estilo de visualización \ omega _ {n}.}$

Paso 1 - llevar la ecuación a la forma canónica

Habiendo realizado transformaciones con un polinomio circular similar a los presentados para n \u003d 5, obtenemos una ecuación de grado 3. Además, como en el caso de una ecuación cuadrática, esta ecuación debe llevarse a la forma canónica, es decir, dividir ambas partes de la ecuación por el coeficiente principal (uno) y luego seleccionar el cubo exacto, eliminando el término del grado que es menor que el grado del polinomio por 1: ${\ estilo de visualización x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}$ $(x+{\tfrac {1}{x)))^{3}+(x+{\tfrac {1}{x)))^{2}-2(x+{\tfrac {1}{x }})-1=0.$

$(x+{\tfrac {1}{x)))^{3}+(x+{\tfrac {1}{x)))^{2}=2(x+{\tfrac {1}{x }})+1,$

$[(x+{\tfrac {1}{x)))+{\tfrac {1}{3}}]^{3}={\tfrac {7}{3}}[(x+{\tfrac {1}{x)))+{\tfrac {1}{3}}]+{\tfrac {7}{27}}),$

$(x+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{x}})^{3}-{\tfrac {7}{3}}(x+{\tfrac {1} {3}}+{\tfrac{1}{x}})-{\tfrac {7}{27}}=0$ ( forma canónica ).

Paso 2 - Método del Ferro

El método para resolver ecuaciones cúbicas canónicas pasó a la historia con el nombre de Gerolamo Cardano , pero fue descubierto por primera vez por Scipio del Ferro . Consiste en lo siguiente: reemplazar la variable requerida ( ) con la suma : $x+{\tfrac {1}{3}}+x^{-1}$ ${\ estilo de visualización v + w}$

$(v^{3}+3v^{2}w+3vw^{2}+w^{3})-{\tfrac {7}{3}}(v+w)-{\tfrac { 7}{27}}=0,$

y luego establezca la relación entre v y w de modo que la ecuación se pueda reducir a menos de la tercera potencia. Entonces resulta que en el número el factor debe ser igualado a cero. En este caso, y (el propio coseno), y la propia ecuación cúbica se reduce a una cuadrática: $3v^{2}w+3vw^{2}-{\tfrac {7}{3}}(v+w)=(3vw-{\tfrac {7}{3}})(v+w )$ $3vw-{\tfrac{7}{3))$ $w={\tfrac {7}{9v}}$ ${\tfrac {1}{2}}(x+x^{-1})={\tfrac {1}{2}}({\tfrac {-1}{3}}+v+w )={\tfrac {1}{2}}({\tfrac {-1}{3}}+v+{\tfrac {7}{9v}})$

$v^{3}-{\tfrac {7}{3^{3}}}+{\tfrac {7^{3}}{3^{6}}}v^{-3}=0 ,$

$v^{3}={\tfrac {7}{2\cdot 3^{3}}}\pm i{\sqrt {{\tfrac {7^{3}}{3^{6}} }-{\tfrac {7^{2}}{2^{2}3^{6}}}}}={\tfrac {7\pm 7i{\sqrt {2^{2}7-1}} {2\cdot 3^{3}}}={\tfrac {7\pm 21i{\sqrt {3}}}{2\cdot 3^{3}}},$

y teniendo en cuenta los principales valores de raíces cúbicas, resulta:

$v={\tfrac {\omega _{3}^{m)){3)){\sqrt[{3}]{\tfrac {7\pm 21i{\sqrt {3))}{2 }}),{\tfrac {7}{9v}}={\tfrac {\omega _{3}^{-m}}{3}}{\sqrt[{3}]{\tfrac {7\mp 21i{\raíz cuadrada {3}}}{2}}},$ dónde $m\en \mathbb {Z} ,$

$\cos {\frac {2\pi o}{7}}={\frac {1}{6}}\left(-1+\omega _{3}^{-m}{\sqrt[ {3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}+\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i {\sqrt {3}}}{2}}}\derecho),$

donde o = 1 ( o = 6) corresponde a m = 0, o = 2 ( o = 5 ) corresponde a m = 1 y o = 3 ( o = 4 ) corresponde a m = 2.

Paso 3 - seno [2]

Es mejor buscar el seno no por la identidad trigonométrica básica, sino por la fórmula del medio ángulo, de lo contrario aparecerán cuadrados de números y la simplificación no será obvia. Como resultado, todas las séptimas raíces primitivas de 1 son iguales $\sin {\tfrac {2\pi o}{7}}=\pm {\sqrt ({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}\cos {\ tfrac {4\pi o}{7}}}},$ ${\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}(7\pm 21i{\sqrt {3}})))),$

${\frac {1}{6}}\left[-1+w+{\overline {w}}\pm i{\sqrt {3\left(7-{\overline {\omega _{3} }}w-\omega _{3}{\overline {w}}\right)}}\right],$

dónde $2w^{3}=7+21i{\sqrt {3)).$

Ejemplo 4: n = 3 2 = 9

símbolo _ denotar como $\cos {\tfrac {2\pi }{n}}+i\sen {\tfrac {2\pi }{n}}$ ${\ estilo de visualización \ omega _ {n}.}$

El número 9 se factoriza en factores primos como 3 2 , por lo que el polinomio se puede factorizar en factores circulares como Las raíces del último de estos son las raíces terceras de los números (las raíces del polinomio ), que, a su vez, son las raíces primitivas de 3° grado de 1, es decir, las raíces 9° primitivas de 1 son ${\ estilo de visualización x^{9}-1}$ ${\ estilo de visualización (x-1) (x ^ {2} + x + 1) (x ^ {6} + x ^ {3} + 1).}$ ${\ estilo de visualización x^{2}+x+1}$

$x=\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{\omega _{3}^{\pm 1))},$ dónde ${\ estilo de visualización m \ en \ {0,1,2\}.}$

Entonces (teniendo en cuenta los valores principales de las raíces cúbicas) los cosenos y senos "primitivos" se expresan como

${\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)={\frac {1}{2}}\left(\omega _{3} ^{m}{\sqrt[{3}]{\omega _{3}^{\pm 1}}}+\omega _{3}^{-m}{\sqrt[{3}]{\omega _ {3}^{\mp 1}}}\derecha),$

${\frac {1}{2i}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right)={\frac {i}{2}}\left(\omega _{3 }^{-m}{\raíz cuadrada[{3}]{\omega _{3}^{\mp 1}}}+\omega _{3}^{m}{\raíz cuadrada[{3}]{\ omega _{3}^{\pm 1}}}\derecha),$

Ejemplo 5: n = 2 7 = 14

Símbolo: $\omega _{n}:=\cos {\tfrac {2\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{n}}.$

El polinomio tiene factores circulares: ${\ estilo de visualización x^{14}-1=(x^{7}-1)(x^{7}+1)}$

${\ estilo de visualización x-1}$ (polinomio circular de 1er grado);
${\ estilo de visualización x+1}$ (polinomio circular de 2º grado);
${\ estilo de visualización x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}$ (para el 7º grado);
${\ estilo de visualización x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1}$ (para el grado 14).

Las raíces de un polinomio son exactamente opuestas a las raíces de un polinomio (esto se puede probar cambiando una variable por su opuesta o usando el teorema de Vieta ), y por lo tanto se ven así: ${\ estilo de visualización x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1}$ ${\ estilo de visualización x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}$

${\frac {1}{6}}\left[1-w-{\overline {w}}\pm i{\sqrt {3\left(7-{\overline {\omega _{3} }}y-\omega _{3}{\overline {w}}\right)}}\right],$

dónde $2w^{3}=7+21i{\sqrt {3)).$

Ejemplo 6: n = 3 5 = 15

El polinomio circular no es muy simple, y en lugar de buscar sus raíces, es mejor expandir el ángulo ( o es un número entero) como una suma donde o 1 y o 2 son números enteros. ${\ estilo de visualización x^{8}-x^{7}+x^{5}-x^{4}+x^{3}-x+1}$ ${\tfrac {2\pi o}{3\cdot 5}}$ ${\tfrac {2\pi }{3}}o_{1}+{\tfrac {2\pi }{5}}o_{2},$

nota _ A diferencia del 15, la factorización del número 9 implica el mismo factor de doble multiplicidad y, a diferencia del ángulo , no siempre es posible expandirse en la forma ( o , o 1 y o 2 son números enteros). ${\tfrac {2\pi o}{3\cdot 5}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2\pi o}{3^{2))))$ ${\tfrac {2\pi o_{1}}{3}}+{\tfrac {2\pi o_{2}}{3}}$

Al expandir el ángulo a la suma de los ángulos, puedes calcular el coseno y el seno:

$\cos({\tfrac {2\pi o_{1}}{3}}+{\tfrac {2\pi o_{2}}{5}})+i\sin({\tfrac {2 \pi o_{1}}{3}}+{\tfrac {2\pi o_{2}}{5}})=$

$=(\cos {\tfrac {2\pi o_{1}}{3}}+i\sin {\tfrac {2\pi o_{1}}{3}})(\cos {\tfrac {2\pi o_{2}}{5}}+i\sin {\tfrac {2\pi o_{2}}{5}})=$

$=\left({\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)^{o_{1}}\left[{\tfrac {1}{4}} (-1+{\sqrt {5}}+i{\sqrt {10+2{\sqrt {5))))\right]^{o_{2)).$

Por ejemplo, si o = 1, puede elegir −1 y 2 como o 1 y o 2 , respectivamente. Después

$\cos {\tfrac {2\pi }{15}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{15}}={\tfrac {1}{8}}(-1-i{ \sqrt {3)))(-1-{\sqrt {5}}+i{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}})=$

$={\tfrac {1}{8}}[1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}+i({\sqrt {3} }+{\raíz cuadrada {15}}-{\raíz cuadrada {10-2{\raíz cuadrada {5)))))))]$

Ejemplo 7: n = 17

Paso 1

Dado que este número de Fermat es primo, entonces, como en el caso de n = 3, n = 5 y n = 7, primero que nada, necesitamos dividir el polinomio circular por x 8 y reemplazarlo con alguna variable b = x + 1/ x — obtenemos $x^{16}+\cdots +x+1$ $b^{8}+b^{7}+\cdots -4b+1.$

Símbolo. Denotamos las raíces del polinomio como $b^{8}+b^{7}+\cdots -4b+1$ $b_{o/17}=2\cos {\tfrac {2\pi o}{17)).$

Paso 2 [3]

Las raíces de un polinomio se encuentran mejor no a través de sus coeficientes, sino usando el hecho de que sus raíces son cosenos duplicados. Para hacer esto, necesitas distribuir de alguna manera todas sus raíces sobre dos sumas S 1 y S 2 , encontrar S 1 + S 2 y S 1 S 2 y, usando el teorema de Vieta, derivar una ecuación para S 1 y S 2 , resolviendo que obtenemos S 1 y S 2 . $b^{8}+b^{7}+\cdots -4b+1$

Más precisamente, las raíces del polinomio deben distribuirse en potencias de dos : $b^{8}+b^{7}+\cdots -4b+1$

$S_{1}=b_{2^{0}/17}+b_{2^{1}/17}+b_{2^{2}/17}+b_{2^{3}/17 }=b_{1/17}+b_{2/17}+b_{4/17}+b_{8/17};$
$S_{2}=b_{3\cdot 2^{0}/17}+b_{3\cdot 2^{1}/17}+b_{3\cdot 2^{2}/17}+ b_{3\cdot 2^{3}/17}=b_{3/17}+b_{6/17}+b_{5/17}+b_{7/17}.$

La suma S 1 + S 2 es igual a la suma de todas las raíces , lo que significa que según el teorema de Vieta es igual a −1, y el producto se encuentra por la fórmula del coseno del producto $b^{8}+b^{7}+\cdots -4b+1,$ $(2\cos \alpha )(2\cos \beta )=[2\cos(\alpha +\beta )]+[2\cos(\pm \alpha \mp \beta )]\colon$

${\ estilo de visualización (b_{1/17}+b_{2/17}+b_{4/17}+b_{8/17})(b_{3/17}+b_{6/17}+b_{5 /17}+b_{7/17})=}$

$=\underbrace {(b_{1/17}b_{3/17})+\cdots +(b_{8/17}b_{7/17})}_{\text{16 términos))= \underbrace {(b_{4/17}+b_{2/17})+\cdots +(b_{15/17}+b_{1/17})} _{\text{32 términos incluidos los paréntesis internos} }$ (según la fórmula del coseno del producto)

$=2\underbrace {(b_{1/17}+b_{2/17}+\cdots +b_{15/17}+b_{16/17})}_{\text{16 términos)) =4(S_{1}+S_{2})=-4.$

Entonces obtenemos una ecuación cuadrática con raíces, y se distribuyen de la siguiente manera: ${\ estilo de visualización S ^ {2} + S-4 = 0}$ ${\tfrac {-1\pm {\sqrt {17}}}{2}},$

$S_{1}=b_{1/17}+b_{2/17}+b_{4/17}+b_{8/17}={\tfrac {-1+{\sqrt {17)) {2}};$
$S_{2}=b_{3/17}+b_{6/17}+b_{5/17}+b_{7/17}={\tfrac {-1-{\sqrt {17)) {2}}.$

Paso 3

Los términos encerrados en S 1 y S 2 deben distribuirse nuevamente por la mitad por las sumas, además, por las potencias de los cuatro, y se forman cuatro números:

$T_{1.1}=b_{2^{0}/17}+b_{2^{2}/17}=b_{1/17}+b_{4/17};$
$T_{1.2}=b_{2^{1}/17}+b_{2^{3}/17}=b_{2/17}+b_{8/17};$
$T_{2.1}=b_{3\cdot 2^{0}/17}+b_{3\cdot 2^{2}/17}=b_{3/17}+b_{5/17};$
$T_{2.2}=b_{3\cdot 2^{1}/17}+b_{3\cdot 2^{3}/17}=b_{6/17}+b_{7/17}.$

La suma (donde m pasa por el conjunto {1, 2}) es igual y el producto (según la misma fórmula ) es igual a −1 (para m = 1 y para m = 2), lo que significa que aquí, por el teorema de Vieta, obtenemos una ecuación cuadrática para T : $T_{m.1}+T_{m.2}$ $S_{m}={\tfrac {-1\pm {\sqrt {17}}}{2}},$ $T_{m.1}T_{m.2}$ $\cos \alpha \cos \beta ={\tfrac {1}{2}}[\cos(\alpha +\beta )+\cos(\pm \alpha \mp \beta )]$ $T_{m}^{2}-S_{m}T_{m}-1=0$

$T_{1.1}={\tfrac {1}{4}}(-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}});$
$T_{1.2}={\tfrac {1}{4}}(-1+{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}});$
$T_{2.1}={\tfrac {1}{4}}(-1-{\sqrt {17}}+{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}});$
$T_{2.2}={\tfrac {1}{4}}(-1-{\sqrt {17}}-{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}).$

Paso 4

En las etapas 2 y 3, cada vez "dividimos" las cantidades por la mitad. Aquí haremos lo mismo y así ya llegaremos a las propias raíces (números b o /17 ). Las cantidades son:

$b_{1/17}+b_{4/17}=T_{1.1};$
$b_{2/17}+b_{8/17}=T_{1.2};$
$b_{3/17}+b_{5/17}=T_{2.1};$
$b_{6/17}+b_{7/17}=T_{2.2},$

y las obras correspondientes:

$b_{1/17}b_{4/17}=b_{5/17}+b_{3/17}=T_{2.1};$
$b_{2/17}b_{8/17}=b_{10/17}+b_{6/17}=T_{2.2};$
$b_{3/17}b_{5/17}=b_{8/17}+b_{2/17}=T_{1.2};$
$b_{6/17}b_{7/17}=b_{13/17}+b_{1/17}=T_{1.1}.$

Habiendo compilado todas las ecuaciones cuadráticas requeridas, obtenemos los cosenos deseados :

${\ estilo de visualización b_ {1/17}/2}$ o - ${\ estilo de visualización b_ {4/17}/2}$ ${\tfrac {1}{16}}(16-N+{\sqrt {2N}}\pm 2{\sqrt {2M-N-{\sqrt {2N}}-2{\sqrt {2M} }}});$
${\ estilo de visualización b_ {2/17}/2}$ o - ${\ estilo de visualización b_ {8/17}/2}$ ${\tfrac {1}{16}}(16-N-{\sqrt {2N}}\pm 2{\sqrt {2M-N+{\sqrt {2N}}+2{\sqrt {2M} }}});$
$b_{3/17}/2,b_{5/17}/2$ — ${\tfrac {1}{16}}(16-M+{\sqrt {2M}}\pm 2{\sqrt {2N-M-{\sqrt {2M}}+2{\sqrt {2N} }}});$
$b_{6/17}/2,b_{7/17}/2$ — ${\tfrac {1}{16}}(16-M-{\sqrt {2M}}\pm 2{\sqrt {2N-M+{\sqrt {2M}}-2{\sqrt {2N} }}});$

donde $M=17+{\sqrt {17)),N=17-{\sqrt {17}}$ _

Ejemplo 8: n = 13

Necesitamos dividir el polinomio circular por x 6 y reemplazar x + 1/ x con alguna variable b - obtenemos números primos del polinomio y, en segundo lugar, los grados de los polinomios (que corresponde a n = 13) y ( n = 17) son números compuestos; por lo tanto, existe tal sospecha de que las raíces del polinomio deben encontrarse de acuerdo con el mismo principio que en el séptimo ejemplo: y aquí primero debe derivar y resolver la ecuación cuadrática, y solo entonces, la cúbica . $x^{12}+\cdots +x+1$ $b^{6}+b^{5}-5b^{4}-4b^{3}+6b^{2}+3b-1.$ $b^{6}+b^{5}-5b^{4}-4b^{3}+6b^{2}+3b-1$ $b^{8}+b^{7}+\cdots -4b+1$ $b^{6}+b^{5}-5b^{4}-4b^{3}+6b^{2}+3b-1$

símbolo _ Denotamos las raíces del polinomio como $b^{6}+b^{5}-5b^{4}-4b^{3}+6b^{2}+3b-1$ $b_{o/13}=2\cos {\tfrac {2\pi o}{13)).$

Paso 1

Distribuimos las seis raíces del polinomio indicado sobre dos sumas S 1 , S 2 y sobre las potencias del triple:

$S_{1}=x_{3^{0}/13}+x_{3^{1}/13}+x_{3^{2}/13}=x_{1/13}+x_{ 3/13}+x_{4/13};$
$S_{2}=x_{2\cdot 3^{0}/13}+x_{2\cdot 3^{1}/13}+x_{2\cdot 3^{2}/13}= x_{2/13}+x_{6/13}+x_{5/13}$

y calcula las siguientes cantidades usando la identidad $(2\cos \alpha )(2\cos \beta )=[2\cos(\alpha +\beta )]+[2\cos(\pm \alpha \mp \beta )]\colon$

$S_{1}+S_{2}=-1;$
${\begin{alineado}S_{1}S_{2}&=(b_{1/13}+b_{3/13}+b_{4/13})(b_{2/13}+b_ {6/13}+b_{5/13})\\&=b_{1/13}b_{2/13}+b_{1/13}b_{6/13}+b_{1/13}b_ {5/13}\\&+b_{3/13}b_{2/13}+b_{3/13}b_{6/13}+b_{3/13}b_{5/13}\\& +b_{4/13}b_{2/13}+b_{4/13}b_{6/13}+b_{4/13}b_{5/13}\\&=(b_{3/13} +b_{1/13})+(b_{7/13}+b_{5/13})+(b_{6/13}+b_{4/13})\\&+(b_{5/13}) }+b_{1/13})+(b_{9/13}+b_{3/13})+(b_{8/13}+b_{2/13})\\&+(b_{6/ 13}+b_{2/13})+(b_{10/13}+b_{2/13})+(b_{9/13}+b_{1/13})\\&=3(b_{ 1/13}+b_{2/13}+b_{3/13}+b_{4/13}+b_{5/13}+b_{6/13})=3(S_{1}+S_{ 2})=-3,\\\end{alineado}}$

habiendo recibido la ecuación , resolviendo la cual obtenemos: ${\ estilo de visualización S^{2}+S-3=0}$ $S_{1}=b_{1/13}+b_{3/13}+b_{4/13}={\tfrac {-1+{\sqrt {13}}}{2}},$ $S_{2}=b_{2/13}+b_{6/13}+b_{5/13}={\tfrac {-1-{\sqrt {13}}}{2}}.$

Paso 2

Se conocen S 1 y S 2 ; ahora, con la ayuda de ellos, necesita derivar ecuaciones cúbicas para b . Para demostrarlo, elegimos, por ejemplo, las raíces incluidas en la suma S 1 . Entonces necesitas encontrar las siguientes cantidades:

$b_{1/13}+b_{3/13}+b_{4/13}=S_{1}={\tfrac {-1+{\sqrt {13))}{2));$
$b_{1/13}b_{3/13}+b_{3/13}b_{4/13}+b_{4/13}b_{1/13}=b_{4/13}+b_ {2/13}+b_{7/13}+b_{1/13}+b_{5/13}+b_{3/13}=S_{1}+S_{2}=-1;$
$b_{1/13}b_{3/13}b_{4/13}=(b_{4/13}+b_{2/13})b_{4/13}=b_{4/13} ^{2}+b_{2/13}b_{4/13}=(2+b_{8/13})+(b_{6/13}+b_{2/13})=2+S_{2 }={\tfrac {3-{\sqrt {13}}}{2}},$

para obtener la ecuación por el teorema de Vieta. Si junto a las raíces incluidas en S 1 , se suman las raíces incluidas en S 2 , el resultado es una ecuación . $b^{3}-{\tfrac {-1\pm {\sqrt {13}}}{2}}b^{2}-b+{\tfrac {-3\pm {\sqrt {13} }}{2}}=0$

Paso 3 - canonicalización

$(b-{\tfrac {-1\pm {\sqrt {13))}{6)))^{3}+{\tfrac {-13\pm {\sqrt {13))}{6 }}(b-{\tfrac {1\pm {\sqrt {13}}}{6}})+{\tfrac {-26\pm 5{\sqrt {13}}}{27}}=0$ ( forma canónica ) $|\cdot 6^{3},$

$[6b-(-1\pm {\sqrt {13)))]^{3}+6(-13\pm {\sqrt {13)))[6b-(-1\pm {\sqrt {13}})]+8(-26\pm 5{\sqrt {13}})=0$ (de modo que en la respuesta el denominador se eliminó inmediatamente de debajo de la raíz).

El paso 4 es la solución a la ecuación canónica

${\begin{alineado}6b-(-1\pm {\sqrt {13)))&=\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{-{\tfrac { 8(-26\pm 5{\raíz cuadrada {13}})}{2}}-{\raíz cuadrada {{\tfrac {8(-26\pm 5{\raíz cuadrada {13}})}{2}}^ {2}+{\tfrac {6(-13\pm {\sqrt {13)))}{3}}^{3}}}}}\\&+\omega _{3}^{-m} {\sqrt[{3}]{-{\tfrac {8(-26\pm 5{\sqrt {13)))}{2))+{\sqrt {{\tfrac {8(-26\pm 5 {\sqrt {13)))}{2}}^{2}+{\tfrac {6(-13\pm {\sqrt {13}})}{3}}^{3}}}}}\ \&=\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{4(26\mp 5{\sqrt {13}}-3i{\sqrt {39))))}}+\ omega _{3}^{-m}{\sqrt[{3}]{4(26\mp 5{\sqrt {13}}+3i{\sqrt {39}})))),\\\end {alineado}}$

donde m pasa por {0, 1, 2} y $\omega _{n}=\cos {\tfrac {2\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{n}}.$

Varios

Úselo para calcular otras constantes

Por ejemplo, el volumen de un dodecaedro regular con una longitud de arista se puede dar mediante la fórmula: $a$

V={\frac {5a^{3}\cos 36^{\circ }}{\tan ^{2}{36^{\circ }}}}.

Si usamos expresiones

\cos 36^{\circ }={\frac ({\sqrt {5}}+1}{4)),\,

\tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5))))),\,

la fórmula se puede simplificar a

V={\frac {a^{3}\left(15+7{\sqrt {5}}\right)}{4}}.\,

Derivación a través de triángulos

La derivación de los valores de seno , coseno y tangente en forma radical se basa en la posibilidad de construir polígonos regulares utilizando un compás y una regla .

Aquí, los triángulos rectángulos formados por secciones a lo largo de los ejes de simetría de los polígonos regulares se utilizan para calcular las razones trigonométricas fundamentales. En cada uno de los triángulos rectángulos, los vértices son:

Centro de polígono
vértice del polígono
El punto medio del lado que contiene este vértice.

Un n -gon regular se puede dividir en 2n triángulos con esquinas180norte.90 180norte, 90 grados para n mayor o igual a 3. La posibilidad de construir con compás y regla un triángulo, cuadrado, de cinco y de quince ágonos - en la base, bisectrices de ángulos también permite polígonos con un número de lados igual a una potencia de dos, multiplicada por el número de lados de un polígono dado.

Se puede construir con compás y regla
- 3 × 2 n -gons regulares, donde n = 0, 1, 2, 3, …
  - 30°-60°-90°: triángulo rectángulo
  - 60°-30°-90°: Hexágono regular
  - 75°-15°-90°: Dodecágono Regular
  - 82,5°-7,5°-90°: veinticuatro regulares
  - 86,25°-3,75°-90°: normal de 48 gon
  - 88.125°-1.875°-90°: Regular 96-gon
  - 89.0625°-0.9375°-90°: Regular 192-gon
  - 89.53125°-0.46875°-90°: Regular 384-gon
  - …
- 4 × 2 n - gons
  - 45°-45°-90°: Cuadrado
  - 67,5°-22,5°-90°: octágono regular
  - 78,75°-11,25°-90°: Hexágono regular
  - 84.375°-5.625°-90°: regular de 32 gon
  - 87,1875°-2,8125°-90°: normal de 64 gon
  - 88.09375°-1.40625°-90°: Regular 128-gon
  - 89.046875°-0.703125°-90°: Regular 256-gon
  - …
- 5 × 2 n - gons
  - 54°-36°-90°: Pentágono regular
  - 72°-18°-90°: Decágono regular
  - 81°-9°-90°: Hexágono regular
  - 85,5°-4,5°-90°: octágono regular
  - 87,75°-2,25°-90°: octágono regular
  - 88.875°-1.125°-90°: Regular 160-gon
  - 89.4375°-0.5625°-90°: Regular 320-gon
  - …
- 15 × 2 n - gons
  - 78°-12°-90°e: pentágono regular
  - 84°-6°-90°: Tiragón regular
  - 87°-3°-90°: Hexágono Regular
  - 88,5°-1,5°-90°: Normal 120
  - 89,25°-0,75°-90°: normal de 240 gon
- …

También hay polígonos regulares que se pueden construir con compás y regla: 17 , 51, 85, 255, 257 , 353, 449, 641, 1409, 2547, ..., 65535, 65537 , 69481, 73697, .. ., 4294967295. )

No se puede construir con compás y regla (con ángulos de medio grado o enteros) - No hay formas radicales finitas para las proporciones resultantes de los lados de los triángulos, incluidos los números reales, lo que significa que los polígonos con un número de lados igual a un No se puede quitar la potencia de dos veces el número de lados de un polígono dado.
- 9 × 2 n - gons
  - 70°-20°-90°: nonágono regular
  - 80°-10°-90°: octágono regular
  - 85°-5°-90°: regular de 36 gon
  - 87,5°-2,5°-90°: normal de 72 gon
  - …
- 45 × 2 n - gons
  - 86°-4°-90°: Cuarenta pentágono regular
  - 88°-2°-90°: nonágono regular
  - 89°-1°-90°: Regular 180-gon
  - 89,5°-0,5°-90°: Regular 360
  - …

Valores calculados de seno y coseno

Cantidades triviales

El seno y el coseno de 0, 30, 45, 60 y 90 grados se pueden calcular a partir de los triángulos rectángulos correspondientes utilizando el teorema de Pitágoras.

Cuando se usan radianes, el seno y el coseno / 2 n se pueden expresar en forma radical aplicando recursivamente las siguientes fórmulas: $\Pi$

2\cos \theta ={\sqrt {2+2\cos 2\theta }}={\sqrt {2+{\sqrt {2+2\cos 4\theta }}}}={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+2\cos 8\theta ))))))}

; etc.

2\sin \theta ={\sqrt {2-2\cos 2\theta }}={\sqrt {2-{\sqrt {2+2\cos 4\theta }}}}={\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+2\cos 8\theta ))))))}

; etc.

Por ejemplo:

\cos {\frac {\pi }{2^{1}}}={\frac {0}{2}}

\cos {\frac {\pi }{2^{2}}}={\frac {\sqrt {2+0}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{2^{2}}}={\frac {\sqrt {2-0}}{2}}

\cos {\frac {\pi }{2^{3))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2)))){2))

;

\sin {\frac {\pi }{2^{3))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2)))){2))

\cos {\frac {\pi }{2^{4))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2)))))){2} }

;

\sin {\frac {\pi }{2^{4))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2)))))){2} }

\cos {\frac {\pi }{2^{5))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2))} }}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{2^{5))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2))} }}}}}}{2}}}

\cos {\frac {\pi }{2^{6}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\ sqrt {2}}}}}}}}}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{2^{6}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\ sqrt {2}}}}}}}}}}{2}}

etc.

Forma radical, seno y coseno $\Pi$ (3× 2n )

\cos {\frac{2\pi}{3}}={\frac{-1}{2}}

\cos {\frac {\pi }{3\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2-1}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{3\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2+1}}{2}}

\cos {\frac {\pi }{3\times 2^{1}}}={\frac {\sqrt {2+1}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{3\times 2^{1}}}={\frac {\sqrt {2-1}}{2}}

\cos {\frac {\pi }{3\times 2^{2))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3)))){2))

;

\sin {\frac {\pi }{3\times 2^{2))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {3)))){2))

\cos {\frac {\pi }{3\times 2^{3))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3)))))) ) {2}}

;

\sin {\frac {\pi }{3\times 2^{3))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {3)))))) ) {2}}

\cos {\frac {\pi }{3\times 2^{4))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3 }}}}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{3\times 2^{4))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3 }}}}}}}}{2}}}

\cos {\frac {\pi }{3\times 2^{5))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2 +{\raíz cuadrada {3}}}}}}}}}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{3\times 2^{5))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2 +{\raíz cuadrada {3}}}}}}}}}}{2}}

etc.

Forma radical, seno y coseno $\Pi$ (5× 2n )

\cos {\frac {2\pi }{5}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}

\cos {\frac {\pi }{5\times 2^{0}}}={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}

(Por lo tanto )

2+2\cos {\frac {\pi }{5}}=2+{\sqrt {1.25}}+0.5

\cos {\frac {\pi }{5\times 2^{1))}={\frac {\sqrt {2,5+{\sqrt {1,25)))){2))

;

\sin {\frac {\pi }{5\times 2^{1))}={\frac {\sqrt {1.5-{\sqrt {1.25)))){2))

\cos {\frac {\pi }{5\times 2^{2))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2,5+{\sqrt {1,25)))))) ) {2}}

;

\sin {\frac {\pi }{5\times 2^{2))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2,5+{\sqrt {1,25)))))) ) {2}}

\cos {\frac {\pi }{5\times 2^{3))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2,5+{\sqrt {1,25 }}}}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{5\times 2^{3))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2,5+{\sqrt {1,25 }}}}}}}}{2}}}

\cos {\frac {\pi }{5\times 2^{4))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2,5 +{\raíz cuadrada {1,25}}}}}}}}}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{5\times 2^{4))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2,5 +{\raíz cuadrada {1,25}}}}}}}}}}{2}}

\cos {\frac {\pi }{5\times 2^{5))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2 +{\sqrt {2.5+{\sqrt {1.25)))))))))))))){2))

;

\sin {\frac {\pi }{5\times 2^{5))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2 +{\sqrt {2.5+{\sqrt {1.25)))))))))))))){2))

etc.

Forma radical, seno y coseno $\Pi$ (5×3× 2n )

\cos {\frac {\pi }{15\times 2^{0))}={\frac ({\sqrt ({\sqrt {0,703125))+1,875))+{\sqrt {0,3125} }-0.25}{2}}

\cos {\frac {\pi }{15\times 2^{1))}={\frac {\sqrt ({\sqrt ({\sqrt {0,703125))+1,875))+{\sqrt {0.3125}}+1.75}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{15\times 2^{1))}={\frac {\sqrt {2,25-{\sqrt ({\sqrt {0,703125))+1,875))-{ \sqrt {0.3125}}}}{2}}

\cos {\frac {\pi }{15\times 2^{2))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt ({\sqrt ({\sqrt {0,703125))+1,875 ))+{\raíz cuadrada {0,3125}}+1,75}}}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{15\times 2^{2))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt ({\sqrt ({\sqrt {0,703125))+1,875 ))+{\raíz cuadrada {0,3125}}+1,75}}}}{2}}

\cos {\frac {\pi }{15\times 2^{3))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt ({\sqrt ({\sqrt {0,703125}}+1,875}}+{\sqrt {0,3125}}+1,75}}}}}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{15\times 2^{3))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt ({\sqrt ({\sqrt {0,703125}}+1,875}}+{\sqrt {0,3125}}+1,75}}}}}}{2}}

\cos {\frac {\pi }{15\times 2^{4))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {{ \sqrt {{\sqrt {0.703125}}+1.875}}+{\sqrt {0.3125}}+1.75}}}}}}}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{15\times 2^{4))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {{ \sqrt {{\sqrt {0.703125}}+1.875}}+{\sqrt {0.3125}}+1.75}}}}}}}}{2}}

\cos {\frac {\pi }{15\times 2^{5))}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2 +{\raíz cuadrada {{\raíz cuadrada {{\raíz cuadrada {0,703125}}+1,875}}+{\raíz cuadrada {0,3125}}+1,75))))))))){2}}

;

\sin {\frac {\pi }{15\times 2^{5))}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2 +{\raíz cuadrada {{\raíz cuadrada {{\raíz cuadrada {0,703125}}+1,875}}+{\raíz cuadrada {0,3125}}+1,75))))))))){2}}

etc.

Forma radical, seno y coseno $\Pi$ (17× 2n )

si y entonces $M=2(17+{\sqrt {17)))$ $N=2(17-{\sqrt {17)))$

\cos {\frac {\pi }{17}}={\frac {\sqrt {M-4+2({\sqrt {N}}+{\sqrt {2(2M-N+{\sqrt {17N}}-{\sqrt {N}}-8{\sqrt {M))))))))){8}}.

Entonces, usando inducción, obtenemos que

\cos {\frac {\pi }{17\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {30+2{\sqrt {17}}+{\sqrt {136-8{ \sqrt {17))))+{\sqrt {272+48{\sqrt {17}}+8{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}\veces ({\sqrt {17} }-1)-64{\raíz cuadrada {34+2{\raíz cuadrada {17}}}}}}}}{8}};

\cos {\frac {\pi }{17\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{17\times 2 ^{n}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{17\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{17\times 2 ^{n}}}}}{2}}.

Forma radical, seno y coseno $\Pi$ (257× 2n ); $\Pi$ (65537× 2n )

La inducción aplicada anteriormente se puede aplicar de la misma manera a cualquier número primo de Fermat (F 3 =2 2 3 +1=2 8 +1= 257 ; F 4 =2 2 4 +1=2 16 +1= 65537 ), múltiplos cuyos valores de seno y coseno existen en forma radical, pero son demasiado largos para enumerarlos aquí. $\Pi$

\cos {\frac {\pi }{257\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{257\times 2 ^{n}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{257\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{257\times 2 ^{n}}}}}{2}};

\cos {\frac {\pi }{65537\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{65537\times 2 ^{n}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{65537\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{65537\times 2 ^{n}}}}}{2}}.

Forma radical, seno y coseno $\Pi$ (255× 2n ), $\Pi$ (65535× 2n ); $\Pi$ (4294967295× 2n )

D = 2 32 - 1 = 4294967295 es el denominador entero impar más grande actualmente conocido para el cual se conocen las formas radicales sin ( /D) y cos ( /D). Usando las formas radicales de las cantidades de las secciones anteriores y aplicando la regla por inducción, obtenemos: $\Pi$ $\Pi$ $\cos(ab)=\cos a\times \cos b+\sin a\times \sin b$

\cos {\frac {\pi }{255\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2+2\cos({\frac {\pi }{15}}-{ \frac{\pi}{17))))}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{255\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2-2\cos({\frac {\pi }{15}}-{ \frac{\pi}{17))))}}{2}};

\cos {\frac {\pi }{255\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{255\times 2 ^{n}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{255\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{255\times 2 ^{n}}}}}{2}};

Por lo tanto, usando las formas radicales de las cantidades de las secciones anteriores y aplicando la regla por inducción, obtenemos: $\cos(ab)=\cos a\times \cos b+\sin a\times \sin b$

\cos {\frac {\pi }{65535\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2+2\cos({\frac {\pi }{255}}-{ \frac{\pi}{257}}))){2}}

;

\sin {\frac {\pi }{65535\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2-2\cos({\frac {\pi }{255}}-{ \frac{\pi}{257))))}}{2}};

\cos {\frac {\pi }{65535\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{65535\times 2 ^{n}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{65535\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{65535\times 2 ^{n}}}}}{2}}.

Finalmente, usando las formas radicales de las cantidades de las secciones anteriores y aplicando la regla por inducción, obtenemos: $\cos(ab)=\cos a\times \cos b+\sin a\times \sin b$

\cos {\frac {\pi }{4294967295\times 2^{0))}={\frac {\sqrt {2+2\cos({\frac {\pi }{65535))-{ \frac{\pi}{65537))))}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{4294967295\times 2^{0))}={\frac {\sqrt {2-2\cos({\frac {\pi }{65535))-{ \frac {\pi }{65537))))}{2));

\cos {\frac {\pi }{4294967295\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{4294967295\times 2 ^{n}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{4294967295\times 2^{n+1))}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{4294967295\times 2 ^{n}}}}}{2}}.

La forma radical de la divulgación dada anteriormente es muy grande, por lo tanto, expresada de una manera más simple (como arriba).

× _ π(5× 2m )

Método geométrico

Aplicando la desigualdad de Ptolomeo al cuadrilátero inscrito ABCD definido por cuatro vértices sucesivos del pentágono, encontramos que:

\operatorname {crd} 36^{\circ }=\operatorname {crd} (\angle \mathrm {ADB} )={\frac {a}{b))={\frac {2}{1+ {\sqrt {5}}}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}

que es el recíproco deunaφen relación con la proporción áurea . crd es una función de la longitud de la cuerda,

\operatorname {crd} \ {\theta }=2\sin {\frac {\theta {2)).\,

Lo que significa

\sin 18^{\circ }={\frac {1}{1+{\sqrt {5}}}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}.

(También puede prescindir de la desigualdad de Ptolomeo. Sea X la intersección de AC y BD, y tenga en cuenta que el triángulo AXB es isósceles y, por lo tanto, AX = AB = a . Los triángulos AXD y CXB son similares , ya que AD es paralelo a BC Por lo tanto, XC = a (ab). Pero AX + XC = AC, entonces a + un 2b = segundo _ Resolviendo el resultado, tenemos queab = unaφ, como se obtuvo anteriormente).

Similar

\operatorname {crd} \ 108^{\circ }=\operatorname {crd} (\angle \mathrm {ABC} )={\frac {b}{a))={\frac {1+{\ sqrt{5}}}{2}},

lo que significa

\sin 54^{\circ }=\cos 36^{\circ }={\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}.

Método algebraico

Si θ es 18° o −54°, entonces 2θ y 3θ se reducen a 5θ = 90° o −270°, entonces . $\sin 2\theta =\cos 3\theta$

(2\sin \theta )\cos \theta =\sin 2\theta =\cos 3\theta =4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta =(4\cos ^{2 }\theta -3)\cos \theta =(1-4\sin ^{2}\theta )\cos \theta

A continuación , ¿qué significa

4\sin ^{2}\theta +2\sin \theta -1=0

\sin \theta =\sin(18^{\circ },-54^{\circ })={\frac {-1\pm {\sqrt {5}}}{4}}.

Como consecuencia,

\sin(18^{\circ })=\cos(72^{\circ })={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}

y y

\sin(54^{\circ })=\cos(36^{\circ })={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}

\sin(36^{\circ })=\cos(54^{\circ })={\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5)))){4))

\sin(72^{\circ })=\cos(18^{\circ })={\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5)))){4)).

También las fórmulas de ángulos múltiples para funciones de 5 x , donde x ∈ {18, 36, 54, 72, 90} y 5 x ∈ {90, 180, 270, 360, 450}, pueden resolverse para funciones de x , ya que conocemos los valores de las funciones a partir de 5 x . Las siguientes son las fórmulas de ángulos múltiples:

\sin 5x=16\sin ^{5}x-20\sin ^{3}x+5\sin x,\,

\cos 5x=16\cos ^{5}x-20\cos ^{3}x+5\cos x.\,

Si sen 5 x \u003d 0 o cos 5 x \u003d 0, denotamos y \u003d sen x o y \u003d cos x y resolvemos la ecuación para y :

16y^{5}-20y^{3}+5y=0.\,

Una de las raíces es 0, por lo que la ecuación de cuarto grado resultante se puede resolver como una ecuación de segundo grado para y 2 .

Si sen 5 x \u003d 1 o cos 5 x \u003d 1, denotamos nuevamente y \u003d sen x o y \u003d cos x y resolvemos la ecuación para y :

16y^{5}-20y^{3}+5y-1=0,\,

lo que consideramos como:

(y-1)\left(4y^{2}+2y-1\right)^{2}=0.\,

× _ $\Pi$ veinte

9° = 45 - 36 y 27° = 45 - 18; entonces puedes usar la fórmula de diferencia para seno y coseno.

× _ $\Pi$ treinta

6° = 36 − 30, 12° = 30 − 18, 24° = 54 − 3 y 42° = 60 − 18; entonces puedes usar la fórmula de diferencia para seno y coseno.

× _ $\Pi$ 60

3° = 18 − 15, 21° = 36 − 15, 33° = 18 + 15 y 39° = 54 − 15, así que puedes usar la fórmula de diferencia (o suma) para el seno y el coseno.

Formas de simplificar expresiones

Racionalización del denominador

Si el denominador es una raíz natural n > 1, el numerador y el denominador deben multiplicarse por este radical elevado a n − 1: . ${\tfrac {1}{\sqrt {3}}}={\tfrac {\sqrt {3}}{3}}$
En el caso general, si el denominador es un número algebraico de segundo grado (un número complejo de la forma , donde q y r son racionales), entonces se debe multiplicar el numerador y el denominador por su número conjugado: ${\ estilo de visualización q \ pm {\ sqrt {r}}}$ ${\tfrac {1}{1+{\sqrt {3))))={\tfrac {1-{\sqrt {3}}}{(1+{\sqrt {3}})(1 -{\raíz cuadrada {3))))}}={\tfrac {1-{\raíz cuadrada {3}}}{-2}}.$
En algunos casos, el denominador debe racionalizarse más de una vez:
- $\csc {\tfrac {2\pi }{5}}={\tfrac {4}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}={\tfrac {4{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}{\sqrt {(10+2{\sqrt {5}})(10-2{\sqrt {5}})))}={\tfrac { \sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{\sqrt {5}}}={\tfrac {\sqrt {10(5-{\sqrt {5}}))){5}}.$
Y si el denominador es un número algebraico de más de un segundo grado, entonces lo mejor sería no multiplicar por números conjugados (aunque esto también se hace), sino encontrar el polinomio mínimo de ese número algebraico, expresar a través de él un polinomio , una de cuyas raíces es el número, el inverso de este número, y hallar las raíces de este último.
- Dado un número , su recíproco, multiplicado por 2, es la raíz del polinomio (esto se mostró arriba ). Entonces la secante misma, dividida por 2, es la raíz del polinomio , y como resultado $\sec {\tfrac {2\pi }{7}}={\frac {6}{-1+{\sqrt[{3}]{\frac {7+21{\sqrt {3}} i}{2}}}+{\raíz cuadrada[{3}]{\frac {7-21{\raíz cuadrada {3}}i}{2}}}}}.$ ${\ estilo de visualización b^{3}+b^{2}-2b-1}$ ${\ estilo de visualización (b^{-3}+b^{-2}-2b^{-1}-1)b^{3))$ $\sec {\tfrac {2\pi }{7}}={\tfrac {2}{3}}(-2+{\sqrt[{3}]{\tfrac {-7+21{\ sqrt {3}}i}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {-7-21{\sqrt {3}}i}{2}}}).$

Convertir una fracción a la suma (diferencia) de dos (o más) fracciones

A veces ayuda dividir una fracción en la suma de varias y simplificarlas aún más por separado.

Elevando al cuadrado y sacando la raíz cuadrada

Este plan puede ayudar si la expresión consta de un solo miembro compuesto y solo está presente un tipo de radical. Elevar al cuadrado un término, sumar términos semejantes y sacar la raíz cuadrada. Este método puede dejar radicales anidados, pero a menudo esa expresión es más simple que la original.

Simplificación de expresiones con radicales anidados

Básicamente, los radicales anidados no se simplifican. Pero si

{\sqrt {a\pm b{\sqrt {c))))\,

donde a , b y c son números racionales, obtenemos que

R={\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}\,

racional, entonces ambas expresiones

d={\frac {a+R}{2}}{\text{ y }}e={\frac {aR}{2}}\,

racional; Como consecuencia

{\sqrt {a\pm b{\sqrt {c))))={\sqrt {d}}\pm {\sqrt {e}}.\,

Por ejemplo,

4\sin 18^{\circ }={\sqrt {6-2{\sqrt {5))))={\sqrt {5}}-1.\,

4\sin 15^{\circ }=2{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}={\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}-1\ Correcto).

Véase también

Un polígono que se puede construir con compás y regla , para cualquiera de ellos, el seno y el coseno de los ángulos central e interno tienen una expresión racional en raíces cuadradas
Construcción de un diecisieteágono , dando una expresión exacta para cos 2 $\Pi$ 17
Identidades trigonométricas
Teorema de Niven para valores racionales del seno de un múltiplo racional $\Pi$
Tabla de acordes ptolemaica
Funciones trigonométricas
Número trigonométrico , el valor de una función trigonométrica de un múltiplo racional $\Pi$

Notas

↑ 1 2 Bradie, Brian. Valores exactos para el seno y coseno de múltiplos de 18°: Un enfoque geométrico // The College Mathematics Journal :revista. - 2002. - Septiembre ( vol. 33 , no. 4 ). - Pág. 318-319 . -doi : 10.2307/ 1559057 . . _
↑ trigonometría - Método para encontrar $\sin (2\pi/7)$ . Intercambio de pila de matemáticas . Consultado el 30 de marzo de 2021. Archivado desde el original el 28 de septiembre de 2015. (indefinido)
↑ Cómo probar que [math]\cos\left(\frac{2\pi}{17}\right)=\frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17} }+2\raíz cuadrada{17+3\raíz cuadrada{17}-\raíz cuadrada{34-2\raíz cuadrada{17}}-2\raíz cuadrada{34+2\raíz cuadrada{17}}}}{16} [/matemáticas] -Quora . www.quora.com . Fecha de acceso: 3 de abril de 2021. (indefinido)

Weisstein, Eric W. Polígono construible en Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Ángulos de trigonometría (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
- $\Pi$ /3 (60°) - /6 (30°) - /12 (15°) - /24 (7,5°) $\Pi$ $\Pi$ $\Pi$
- $\Pi$ /4 (45°) - /8 (22,5°) - /16 (11,25°) - /32 (5,625°) $\Pi$ $\Pi$ $\Pi$
- $\Pi$ /5 (36°) - /10 (18°) - /20 (9°) $\Pi$ $\Pi$
- $\Pi$ /7 - /14 $\Pi$
- $\Pi$ /9 (20°) - /18 (10°) $\Pi$
- $\Pi$ /once
- $\Pi$ /13
- $\Pi$ /15 (12°) - /30 (6°) $\Pi$
- $\Pi$ /17
- $\Pi$ /19
- $\Pi$ /23
Helecho, Paul; Cizek, Jiri. Evaluación de sumas de perturbaciones mecánicas cuánticas en términos de surdos cuadráticos y su uso en la aproximación de ζ (3 ) / 3 // Int. J. Quantum Chem. $\Pi$ : diario. - 2002. - vol. 90 , núm. 1 . - P. 42-53 . -doi : 10.1002/ qua.1803 .
Conway, John H.; Radin, Carlos; Sadún, Lorenzo. Sobre ángulos cuyas funciones trigonométricas al cuadrado son racionales // Disco . y Comp. Geom. : diario. - 1999. - vol. 22 , núm. 3 . - Pág. 321-332 . -doi : 10.1007/ PL00009463 . — arXiv : matemáticas-ph/9812019 .
Gerstmair, Kurt. Algunas relaciones lineales entre valores de funciones trigonométricas en k / n // Acta Arithmetica $\Pi$ : diario. - 1997. - vol. 81 , núm. 4 . - Pág. 387-398 . -doi : 10.4064 / aa-81-4-387-398 .
Gurak, S. Sobre el polinomio mínimo de períodos de gauss para potencias principales // Matemáticas de computación : diario. - 2006. - vol. 75 , núm. 256 . - Pág. 2021-2035 . -doi : 10.1090/ S0025-5718-06-01885-0 . - .
Servi, L.D. Raíces cuadradas anidadas de 2 (inglés) // Amer. Matemáticas. Mensual _ - 2003. - vol. 110 , núm. 4 . - P. 326-330 . -doi : 10.2307/ 3647881 . — .

Enlaces

Polígonos regulares construibles
El seno y el coseno como números irracionales incluyen expresiones alternativas en algunos casos, así como expresiones para algunos ángulos.

Trigonometría
General	Resumen de trigonometría Historia Uso Funciones Reverso Raramente usado trigonometría generalizada
Directorio	identidades constantes exactas mesas circulo unitario
Leyes y teoremas	teorema del seno Teorema de pitágoras teorema del coseno Teorema de la tangente teorema de la cotangente resolver triángulos
Análisis matemático	Sustitución trigonométrica Integrales ( funciones inversas ) Derivados

Constantes trigonométricas

Criterios de inclusión

Tabla de algunos ángulos comunes

Otros ángulos

0° = 0 (rad)

1.5°=(1/120)π (rad)

1.875°=(1/96)π (rad)

2,25°=(1/80)π (rad)

2.8125°=(1/64)π (rad)

3°=(1/60)π (rad)

3.75°=(1/48)π (rad)

4.5°=(1/40)π (rad)

5.625°=(1/32)π (rad)

6°=(1/30)π (rad)

7.5°=(1/24)π (rad)

9°=(1/20)π (rad)

11.25°=(1/16)π (rad)

12°=(1/15)π (rad)

15°=(1/12)π (rad)

18°=(1/10)π (rad) [1]

21°=(7/60)π (rad)

22,5°=(1/8)π (rad)

24°=(2/15)π (rad)

27°=(3/20)π (rad)

30°=(1/6)π (rad)

33°=(11/60)π (rad)

36°=(1/5)π (rad)

39°=(13/60)π (rad)

42°=(7/30)π (rad)

45°=(1/4)π (rad)

54°=(3/10)π (rad)

60°=(1/3)π (rad)

67.5°=(3/8)π (rad)

72°=(2/5)π (rad)

75°=(5/12)π (rad)

90°=(1/2)π (rad)

Lista de valores de funciones trigonométricas con argumento igual a 2π/n

Prueba

Ejemplo 1: n = 3

Ejemplo 2: n = 5

Ejemplo 3: n = 7

Ejemplo 4: n = 3 2 = 9

Ejemplo 5: n = 2 7 = 14

Ejemplo 6: n = 3 5 = 15

Ejemplo 7: n = 17

Ejemplo 8: n = 13

Varios

Úselo para calcular otras constantes

Derivación a través de triángulos

Valores calculados de seno y coseno

Cantidades triviales

Forma radical, seno y coseno(3× 2n )

Forma radical, seno y coseno(5× 2n )

Forma radical, seno y coseno(5×3× 2n )

Forma radical, seno y coseno(17× 2n )

Forma radical, seno y coseno(257× 2n );(65537× 2n )

Forma radical, seno y coseno(255× 2n ),(65535× 2n );(4294967295× 2n )

× _ π(5× 2m )

× _ veinte

× _ treinta

× _ 60

Formas de simplificar expresiones

Racionalización del denominador

Convertir una fracción a la suma (diferencia) de dos (o más) fracciones

Elevando al cuadrado y sacando la raíz cuadrada

Simplificación de expresiones con radicales anidados

Véase también

Notas

Enlaces

Forma radical, seno y coseno $\Pi$ (3× 2n )

Forma radical, seno y coseno $\Pi$ (5× 2n )

Forma radical, seno y coseno $\Pi$ (5×3× 2n )

Forma radical, seno y coseno $\Pi$ (17× 2n )

Forma radical, seno y coseno $\Pi$ (257× 2n ); $\Pi$ (65537× 2n )

Forma radical, seno y coseno $\Pi$ (255× 2n ), $\Pi$ (65535× 2n ); $\Pi$ (4294967295× 2n )

× _ $\Pi$ veinte

× _ $\Pi$ treinta

× _ $\Pi$ 60