La geometría euclidiana (o geometría elemental ) es una teoría geométrica basada en un sistema de axiomas , establecida por primera vez en los Elementos de Euclides ( siglo III a. C. ).
La geometría elemental es una geometría definida principalmente por un grupo de desplazamiento ( isometría ) y un grupo de similitud . Sin embargo, el contenido de la geometría elemental no se agota con las transformaciones indicadas. La geometría elemental también incluye transformación de inversión , cuestiones de geometría esférica , elementos de construcciones geométricas , la teoría de la medición de cantidades geométricas y otros temas.
La geometría elemental suele denominarse geometría euclidiana , ya que su presentación original y sistemática, aunque no lo suficientemente rigurosa, se encontraba en los Elementos de Euclides . La primera axiomática rigurosa de la geometría elemental fue dada por Hilbert . La geometría elemental se estudia en la escuela secundaria.
La tarea de axiomatización de la geometría elemental consiste en construir un sistema de axiomas de modo que todos los enunciados de la geometría euclidiana se sigan de estos axiomas por una deducción puramente lógica sin la visualización de dibujos.
En los "Elementos" de Euclides , se dio un sistema de axiomas , en los que se basa toda la geometría euclidiana:
Este sistema era suficiente para que un matemático entendiera a otro, pero en las demostraciones también se usaban implícitamente otros enunciados intuitivamente obvios, en particular el llamado teorema de Pascua , que no puede deducirse de los postulados de Euclides.
En 1899, Hilbert propuso la primera axiomática suficientemente rigurosa de la geometría euclidiana . Antes de Gilbert, Pasch , Schur , Peano , Veronese , intentaron mejorar la axiomática euclidiana , pero el enfoque de Hilbert, a pesar de todo su conservadurismo en la elección de conceptos, resultó ser más exitoso.
Hay otros axiomáticos modernos, los más famosos son:
Hay varios sistemas de notación en competencia.
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