Cuasigrupo (matemáticas)

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Un cuasi -grupo  es un magma en el que siempre es posible la fisión . A diferencia de un grupo , un cuasigrupo no tiene que ser asociativo [1] . Todo cuasigrupo asociativo es un grupo.

Definiciones y propiedades

Un cuasigrupo es un par ( Q , *) de un conjunto no vacío Q con una operación binaria * : Q × Q → Q que satisface la siguiente condición: para cualquier elemento a y b de Q hay elementos únicos x e y de Q tal que

• un * x = segundo
• y * un = segundo

Las soluciones a estas ecuaciones a veces se escriben de la siguiente manera:

• x = un \ segundo
• y = b / un

Las operaciones \ y / se llaman división por la izquierda y división por la derecha .

Un cuasigrupo con una unidad también se denomina bucle (del bucle inglés  - un bucle).

Si se puede establecer una biyección entre los elementos de dos cuasigrupos Q y R (es decir, son equivalentes como conjuntos), se dice que Q y R tienen el mismo orden. Si, además, hay permutaciones A, B, C actuando sobre los elementos de estos cuasigrupos tales que

• ( x , y ) = [ x A, y B]C

(aquí (,) y [ , ] son ​​operaciones en Q y R , respectivamente), entonces tales cuasigrupos se llaman isotópicos .

Para cualquier cuasigrupo existe un bucle con el que es isotópico. Si un lazo es isotópico a un grupo, entonces este lazo es un grupo. En un caso más general: si un semigrupo es isotópico a un bucle, entonces son isomorfos y ambos son isomorfos a algún grupo. Isotopía , en algunos[ ¿Qué? ] , es equivalente al isomorfismo de grupo, pero hay cuasigrupos que son isotópicos, pero no isomorfos a los grupos.

Cualquier cuadrado latino es la tabla de multiplicar ( tabla de Cayley ) del cuasigrupo.

Un cuasigrupo se llama completamente antisimétrico si se cumplen dos propiedades más [2] :

• si para algunos a y b del cuasigrupo resultó que a * b = b * a , entonces a = b ;
• si para algunos a , b y c del cuasigrupo resulta que ( a * b ) * c = ( a * c ) * b , entonces b = c .

En 2004, M. Damm presentó ejemplos de cuasigrupos completamente antisimétricos, lo que supuso un importante logro matemático del siglo XXI [2] .

Los cuasigrupos totalmente antisimétricos (cuasigrupos de Damm) se utilizan en códigos de reconocimiento de errores ( algoritmo de Damm ) [2] .

Ejemplos

• Cualquier grupo también es un cuasigrupo, ya que a * x = b x = a −1 * b , y * a = b y = b * a −1 .
• Los enteros ( ) con la operación de resta (−) son un cuasigrupo.
• Los números racionales distintos de cero (o números reales  - ) con la operación de división (÷) son un cuasigrupo.
• El conjunto {±1, ±i, ±j, ±k}, donde ii = jj = kk = +1 y todos los demás productos se definen de la misma manera que en los cuaterniones , es un cuasigrupo con identidad (bucle).
• Cualquier espacio vectorial sobre el campo de los números reales con respecto a la operación x * y = ( x + y ) / 2 forma la estructura de un cuasigrupo conmutativo idempotente .

Notas

1. ↑ L. V. Sabinin, “ Espacios homogéneos y cuasigrupos ”, Izv. universidades Mat., 1996, N° 7, 77-84
2. ↑ 1 2 3 Dmitri Maksimov. Códigos que reconocen un error  // Ciencia y vida . - 2018. - Nº 1 . - S. 90-95 . (Ruso)

Literatura

• Belousov V. D. "Fundamentos de la teoría de cuasigrupos y bucles" Copia de archivo fechada el 30 de julio de 2016 en Wayback Machine  - M .: Nauka, 1967. - 224 p.
• Sabinin LV Smooth quasigroups and loops  (enlace no disponible)  - Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999. - 257p
• Sabinin L.V. Cuasigrupos analíticos y geometría - M.: UDN, 1991. - 112p.
• Sabinin L. V., Mikheev P. O. La teoría de los bucles suaves de Bol. - M.: Editorial UDN, 1985. - 81s.
• "Cuasigrupos y bucles" (Edición 51). Valutse II (ed.) y otros Colección de artículos científicos. Chisinau: Shtiintsa, 1979. - 168s.
• Belousov V.D. Redes analíticas y cuasigrupos - Chisinau: Shtiintsa, 1971. - 168p.
• Mikheev P. O., Sabinin L. V. Cuasigrupos suaves y geometría . Archivado el 14 de junio de 2013 en Wayback Machine . Resultados de la ciencia y la tecnología. Ser. Problema geom., Volumen 20. - M.: VINITI, 1988. 75-110.]
• Kurosh A.G. Álgebra general . Conferencias del año académico 1969-1970 - M .: Nauka, 1974 . - 160s. Apartados 5 y 6.
• Galkin VM Cuasigrupos en la colección de artículos Álgebra, topología, geometría. Tomo 26, 1988. Resultados de la ciencia y la tecnología. Ser. Álgebra, topol., geom. Tomo 26. M.: VINITI, 1988. S. 3-44.