Cuaterniones y rotación espacial

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Los cuaterniones proporcionan una notación matemática conveniente para la orientación del espacio y la rotación de objetos en ese espacio. En comparación con los ángulos de Euler, los cuaterniones facilitan la combinación de rotaciones y evitan el problema de no poder rotar alrededor de un eje independientemente de la rotación en otros ejes (se muestra). En comparación con las matrices de rotación, son más estables computacionalmente y pueden ser más eficientes. Los cuaterniones han encontrado su aplicación en gráficos por computadora , robótica , navegación , dinámica molecular .

Operaciones de rotación [1]

Representación del espacio de revolución

Los cuaterniones de norma unitaria , también llamados versores según Hamilton , proporcionan una forma algebraica de representar la rotación en tres dimensiones. La correspondencia entre rotaciones y cuaterniones se puede realizar en primer lugar a través del propio espacio de rotación, el grupo SO(3) .

Cualquier rotación en el espacio tridimensional es una rotación a través de cierto ángulo alrededor de cierto eje. Si el ángulo es cero, la elección del eje es irrelevante; así, las rotaciones en un ángulo de 0° son un punto en el espacio de rotación ( rotación idéntica ). Para un ángulo pequeño (pero distinto de cero), cada rotación posible a través de ese ángulo es una pequeña esfera que rodea la rotación idéntica, donde cada punto de esa esfera representa un eje que apunta en una dirección determinada (comparable a la esfera celeste ). Cuanto mayor sea el ángulo de rotación, más lejos estará la rotación de la rotación idéntica; tales rotaciones se pueden considerar como esferas concéntricas con radio creciente. Así, cerca de la rotación de identidad, el espacio abstracto de rotaciones parece un espacio tridimensional ordinario (que también puede representarse como un punto central rodeado de esferas concéntricas). A medida que el ángulo aumenta a 360°, las rotaciones alrededor de los distintos ejes dejan de divergir y comienzan a ser similares entre sí, volviéndose iguales a la rotación idéntica cuando el ángulo alcanza los 360°.

Podemos ver un comportamiento similar en la superficie de una esfera. Si nos posicionamos en el polo norte y comenzamos a dibujar líneas rectas que parten de él en diferentes direcciones (es decir, líneas de longitud ), primero divergirán, pero luego convergerán nuevamente en el polo sur. Los círculos concéntricos formados alrededor del polo norte ( latitud ) se reducirán a un punto en el polo sur, cuando el radio de la esfera sea igual a la distancia entre los polos. Si pensamos en diferentes direcciones desde el polo (es decir, diferentes longitudes) como diferentes ejes de rotación, y diferentes distancias desde el polo (es decir, latitudes) como diferentes ángulos de rotación, entonces tenemos espacio para rotaciones. La esfera resultante representa una rotación en el espacio tridimensional, aunque se trata de una superficie bidimensional, lo que no permite modelar una hiperesfera . Sin embargo, la superficie bidimensional de una esfera se puede representar como parte de una hiperesfera (como un círculo es parte de una esfera). Podemos tomar una parte, por ejemplo, para representar la rotación alrededor de los ejes en los planos x e y . Es importante señalar que el ángulo de rotación con respecto al ecuador es de 180° (no de 90°); al polo sur (desde el norte) 360° (no 180°).

Los polos norte y sur representan las mismas rotaciones. Esto es cierto para cualesquiera dos puntos diametralmente opuestos: si un punto es una rotación en un ángulo alrededor del eje v , entonces un punto con rotación en un ángulo alrededor del eje − v es diametralmente opuesto . Por lo tanto, el espacio de rotaciones no es una 3 esferas en sí misma , sino una 3 medias esferas ( una bola de radio ) con puntos identificados diametralmente opuestos, que es difeomorfo al espacio proyectivo . Sin embargo, para la mayoría de los propósitos, uno puede pensar en las rotaciones como puntos en una esfera, aunque tengan doble redundancia. $\alfa$ $\scriptstyle 360^{\circ }-\alfa$ $\Pi$ $\mathbb{R} {\mathrm {P}}^{3}$

Definición de espacio de revolución

Las coordenadas de un punto en la superficie de una esfera se pueden dar mediante dos números, como la latitud y la longitud. Sin embargo, una coordenada como la longitud en los polos norte y sur comienza a comportarse indefinidamente (muestra degeneración ), aunque los polos norte y sur no difieren fundamentalmente de ningún otro punto de la superficie de la esfera. Esto demuestra que ningún sistema de coordenadas puede caracterizar una posición en el espacio con dos coordenadas. Esto se puede evitar colocando la esfera en el espacio tridimensional, caracterizándola con coordenadas cartesianas ( w , x , y ), ubicando el polo norte en ( w , x , y ) = (1, 0, 0), el polo sur polo en ( w , x , y ) = (−1, 0, 0), y el ecuador en w = 0, x ² + y ² = 1. Los puntos en la esfera satisfacen la relación w ² + x ² + y ² = 1. Como resultado se obtienen dos grados de libertad , aunque hay tres coordenadas. El punto ( w , x , y ) representa una rotación alrededor del eje ( x , y , 0 ) en un ángulo . $\alpha =2\arcos w=2\arcsen {\sqrt {x^{2}+y^{2))}$

De la misma manera, el espacio de rotaciones tridimensionales puede ser caracterizado por tres ángulos (ángulos de Euler ), sin embargo, cualquier representación de este tipo comienza a degenerar en algunos puntos de la hiperesfera. Este problema se puede evitar utilizando las coordenadas euclidianas w , x , y , z , donde w ² + x ² + y ² + z ² = 1. El punto ( w , x , y , z ) representa la rotación alrededor de los ejes ( x , y , z ) por el ángulo $\alpha =2\arccos w=2\arcsen {\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.$

Brevemente sobre los cuaterniones

Un número complejo se puede definir introduciendo el símbolo abstracto i , que satisface las reglas habituales del álgebra, así como la regla . Esto es suficiente para reproducir todas las reglas de la aritmética de números complejos. Por ejemplo: $i^{2}=-1$

(a+b{\mathbf {i}})(c+d{\mathbf {i}})=ac+ad{\mathbf {i}}+b{\mathbf {i}}c+b{\mathbf {i}}d{\mathbf {i}}=ac+ad{\mathbf {i}}+bc{\mathbf {i}}+bd{\mathbf {i}}^{2}=(ac-bd )+(bc+ad){\mathbf {i}}

De la misma forma, los cuaterniones se pueden definir introduciendo los símbolos abstractos i , j , k , cuya multiplicación viene dada por la regla

\mathbf {i} ^{2}=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=\mathbf {i} \mathbf {j} \mathbf {k} =- una

{\mathbf {i}}{\mathbf {j}}=-{\mathbf {j}}{\mathbf {i}}={\mathbf {k}}

{\mathbf {j}}{\mathbf {k}}=-{\mathbf {k}}{\mathbf {j}}={\mathbf {i}}

{\mathbf {k}}{\mathbf {i}}=-{\mathbf {i}}{\mathbf {k}}={\mathbf {j}}

y la multiplicación por números reales se definen de la forma habitual, y se supone que la multiplicación es asociativa , pero no conmutativa (un ejemplo de multiplicación no conmutativa es también la multiplicación de matrices ). Todas las reglas de la aritmética de cuaterniones se derivan de esto, por ejemplo

(a+b{\mathbf {i}})(e+h{\mathbf {k}})=ae+be{\mathbf {i}}-bh{\mathbf {j}}+ah{\mathbf { k))

La parte imaginaria del cuaternión se comporta igual que el vector y la parte real a se comporta igual que el escalar en . Al usar cuaterniones, siguiendo a Hamilton, uno puede describirlos como la suma de un escalar y un vector y usar los productos vectoriales y escalares y (cuya idea fue sugerida por los cuaterniones). Además, están relacionados con la multiplicación de cuaterniones habitual mediante la siguiente fórmula: $b{\mathbf {i}}+c{\mathbf {j}}+d{\mathbf {k}}$ $(b,c,d)\en \mathbb{R} ^{3}$ $\matemáticas {R}$ $\veces$ $\cdot$

{\mathbf {v}}\veces {\mathbf {w}}={\mathbf {vw}}+{\mathbf {v}}\cdot {\mathbf {w}}

El producto vectorial no es conmutativo, mientras que los productos escalar-escalar y escalar-vectorial son conmutativos. Estas reglas siguen:

(s+{\mathbf {v}})(t+{\mathbf {w}})=(st-{\mathbf {v}}\cdot {\mathbf {w}})+(s{\mathbf {w} }+t{\mathbf {v}}+{\mathbf {v}}\times {\mathbf {w}})

El inverso (izquierda y derecha) para un cuaternión distinto de cero es $s+{\mathbf{v}}$

(s+{\mathbf {v}})^{{-1}}={\frac {s-{\mathbf {v}}}{s^{2}+|{\mathbf {v}}|^{ 2}}}

que se puede verificar por cálculo directo.

Definición de espacio de revolución en términos de cuaterniones

Digamos que ( w , x , y , z ) son las coordenadas de rotación, según la descripción anterior. Entonces el cuaternión q se puede definir como

q=w+x{\mathbf {i}}+y{\mathbf {j}}+z{\mathbf {k}}=w+(x,y,z)=\cos(\alpha /2)+{ \mathbf {u}}\sin(\alpha /2)

donde es el vector unitario. Así, el trabajo $\mathbf{u}$

q{\mathbf {v}}q^{{-1}}

gira el vector en un ángulo alrededor del eje dado por el vector . La rotación es en el sentido de las manecillas del reloj si consideramos la rotación en la dirección del vector ; es decir, la dirección del vector es la misma que la dirección de traslación de la hélice derecha cuando gira en un ángulo positivo . $\mathbf{v}$ $\alfa$ $\mathbf{u}$ $\mathbf{u}$ $\mathbf{u}$ $\alfa$

Puedes tomar una composición de rotaciones por cuaterniones multiplicándolas (el orden de rotación depende del orden de multiplicación). Entonces rotaciones en cuaterniones e iguales $pags$ $q$

pq{\mathbf {v}}(pq)^{{-1}}=pq{\mathbf {v}}q^{{-1}}p^{{-1}}

que es lo mismo que girar una y otra vez . $q$ $pags$

Invertir un cuaternión es lo mismo que girar en la dirección opuesta, por lo tanto . El cuadrado de un cuaternión es una rotación de doble ángulo alrededor del mismo eje. En un sentido general, se trata de una rotación alrededor de un eje de un ángulo que es veces mayor que el original. Puede ser cualquier número real en su lugar $q^{{-1))(q{\mathbf {v}}q^{{-1}})q={\mathbf {v}}$ $q^{n}$ $q$ $norte$ $norte$ , lo que permite el uso de cuaterniones para interpolar sin problemas entre dos posiciones en el espacio.

Unidad de rotación de cuaterniones

Sea u el vector unitario (eje de rotación) y el cuaternión. Nuestro objetivo es mostrar que $q=\cos {\frac {\alpha }{2))+{\mathbf {u))\sin {\frac {\alpha }{2))$

{\mathbf {v}}'=q{\mathbf {v}}q^{{-1}}=\left(\cos {\frac {\alpha }{2}}+{\mathbf {u}} \sin {\frac {\alpha }{2}}\right)\,{\mathbf {v}}\,\left(\cos {\frac {\alpha }{2}}-{\mathbf {u} }\sin {\frac {\alpha }{2}}\right)

gira el vector v en un ángulo α alrededor del eje u . Abriendo los paréntesis, obtenemos:

{\begin{matriz}{lll}{\mathbf {v}}'&=&{\mathbf {v}}\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+({\mathbf { uv))-{\mathbf {vu)))\sin {\frac {\alpha }{2))\cos {\frac {\alpha }{2))-{\mathbf {uvu))\sin ^{ 2}{\frac {\alpha }{2}}\\&=&{\mathbf {v}}\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+2({\mathbf {u }}\times {\mathbf {v}})\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-({\mathbf {v}}({\ mathbf {u}}\cdot {\mathbf {u}})-2{\mathbf {u}}({\mathbf {u}}\cdot {\mathbf {v}}))\sin ^{2}{ \frac {\alpha }{2}}\\&=&{\mathbf {v}}(\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2)))+({\mathbf {u))\times {\mathbf {v)))(2\sin {\frac {\alpha }{2))\cos {\frac {\ alfa {2)))+{\mathbf {u}}({\mathbf {u}}\cdot {\mathbf {v}})(2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2 }})\\&=&{\mathbf {v}}\cos \alpha +({\mathbf {u}}\times {\mathbf {v}})\sin \alpha +{\mathbf {u}} ({\mathbf {u}}\cdot {\mathbf {v}})(1-\cos \alpha )\\&=&({\mathbf {v}}-{\mathbf {u}}({\ mathbf {u}}\cdot {\mathbf {v))))\cos \alpha +({\mathbf {u}}\times {\mathbf {v}})\sin \alpha +{\mathbf {u} }( {\mathbf {u}}\cdot {\mathbf {v}})\\&=&{\mathbf {v}}_({\bot }}\cos \alpha +({\mathbf {u}}\ veces {\mathbf {v}}_({\bot }})\sin \alpha +{\mathbf {v}}_({\|}}\end{matriz}}

donde y son las componentes del vector v que son perpendiculares y paralelas al eje u , respectivamente. ${\mathbf {v}}_{{\bot}}$ ${\mathbf {v}}_{{\|}}$

El resultado resultante es la fórmula para la rotación a través del ángulo α alrededor del eje u .

Multiplicar un vector por −1 , es decir, tomar el cuaternión opuesto , no cambia la rotación. En particular, los cuaterniones 1 y −1 definen la rotación idéntica. Más abstractamente, los vectores pertenecen al grupo de Lie SU(2) , que es difeomorfo a la 3-esfera. Este grupo cubre el espacio de rotación SO(3) dos veces.

Rotación del espacio euclidiano de cuatro dimensiones

Una rotación tetradimensional se describe mediante dos cuaterniones norma unitario, hasta multiplicar ambos simultáneamente por −1.

Variaciones y generalizaciones

Fórmulas similares hacen posible aplicar bicuaterniones para describir las transformaciones de Lorentz - "rotaciones" del espacio de Minkowski de 4 dimensiones .

Véase también

suspensión de cardán

Notas

↑ Rotaciones, cuaterniones y grupos dobles / Altmann, Simon L. - Mineola: Dover Publications, 1986. - 317 p.

Literatura

V. I. Arnold. La geometría de números complejos, cuaterniones y espines . — M .: MTSNMO , 2002. — 40 p. — ISBN 5-94057-025-9 .
I. L. Kantor, A. S. Solodovnikov Números hipercomplejos (enlace inaccesible) . — M.: Nauka , 1973. — 144 p.

Enlaces

Zapatero, Ken. Tutorial de cuaternión
Hart, Francis, Kauffmann. Demostración de Quaternion Archivado el 25 de febrero de 2009 en Wayback Machine .
Byung-Uk Lee, Unit Quaternion Representation of Rotation Archivado el 27 de septiembre de 2007 en Wayback Machine .
Ibáñez, Luis, Cuaternión Tutorial I
Ibáñez, Luis, Cuaternión Tutorial II
Rotación en el espacio y cuaterniones Archivado el 30 de diciembre de 2013 en Wayback Machine .
Rotación en 3D con números hipercomplejos Archivado el 19 de abril de 2014 en Wayback Machine .
Verzor // Gran enciclopedia soviética : en 66 volúmenes (65 volúmenes y 1 adicional) / cap. edición O. Yu. Schmidt . - M .: Enciclopedia soviética , 1926-1947.