Espacio compacto

Un espacio compacto es un cierto tipo de espacios topológicos que generaliza las propiedades de acotación y cierre en espacios euclidianos a espacios topológicos arbitrarios.

En topología general, los espacios compactos se asemejan a conjuntos finitos en la teoría de conjuntos en sus propiedades .

Definición

Un espacio compacto es un espacio topológico , en cualquier cubierta por conjuntos abiertos hay una subcubierta finita [1] .

Inicialmente, esta propiedad se llamó bicompacta (este término fue introducido por P. S. Aleksandrov y P. S. Uryson ), y se usaron cubiertas abiertas contables en la definición de compacidad. Posteriormente, la propiedad más general de la bicompacidad demostró ser más popular y gradualmente pasó a llamarse simplemente compacidad. Ahora el término "bicompacidad" es utilizado principalmente solo por topólogos de la escuela de P. S. Aleksandrov. Para espacios que satisfacen el segundo axioma de contabilidad , la definición original de compacidad es equivalente a la moderna [2] .

Bourbaki y sus seguidores incluyen en la definición de compacidad la propiedad espacial de Hausdorff [2] .

Ejemplos de conjuntos compactos

Conjuntos acotados cerrados en . $\mathbb{R} ^{n}$
Subconjuntos finitos de espacios topológicos.
El teorema de Ascoli-Arzela da una caracterización de conjuntos compactos en el espacio de funciones reales en un espacio compacto métrico con la norma : el cierre de un conjunto de funciones en es compacto si y solo si es uniformemente acotado y equicontinuamente continuo . $C(X)$ $X$ $\|f\|=\sup _{x}|f(x)|$ $F$ $C(X)$ $F$
El espacio de piedra de las álgebras booleanas .
Compactación de un espacio topológico.

Definiciones relacionadas

Un subconjunto de un espacio topológico T que es un espacio compacto en la topología inducida por T se denomina conjunto compacto .
Se dice que un conjunto es precompacto (o compacto con respecto a T ) si su cierre en T es compacto [3] .
Un espacio se dice secuencialmente compacto si alguna secuencia en él tiene una subsecuencia convergente.
Un espacio localmente compacto es un espacio topológico en el que cualquier punto tiene una vecindad cuya clausura es compacta.
Un espacio compacto acotado es un espacio métrico en el que todas las bolas cerradas son compactas.
Un espacio pseudocompacto es un espacio de Tikhonov en el que cada función real continua está acotada.
Un espacio compacto numerable es un espacio topológico en el que cualquier cubierta numerable por conjuntos abiertos contiene una subcubierta finita.
Un espacio compacto débilmente numerable es un espacio topológico en el que cualquier conjunto infinito tiene un punto límite.
Un espacio H-cerrado es un espacio de Hausdorff cerrado en cualquier espacio de Hausdorff circundante [4] .

El término " compacto " se usa a veces para un espacio compacto metrizable , pero a veces simplemente como sinónimo del término "espacio compacto". También " compacto " se usa a veces para un espacio compacto de Hausdorff [5] . Además, utilizaremos el término " compacto " como sinónimo del término "espacio compacto".

Propiedades

Propiedades equivalentes a la compacidad:
- Un espacio topológico es compacto si y sólo si toda familia centrada de conjuntos cerrados, es decir, una familia en la que las intersecciones de subfamilias finitas no son vacías, tiene una intersección no vacía [6] .
- Un espacio topológico es compacto si y solo si cada dirección en él tiene un punto límite.
- Un espacio topológico es compacto si y solo si cada filtro en él tiene un punto límite.
- Un espacio topológico es compacto si y solo si cada ultrafiltro converge en al menos un punto.
- Un espacio topológico es compacto si y solo si cada subconjunto infinito en él tiene al menos un punto de acumulación completa en . $X$ $X$
Otras propiedades generales:
- Para cualquier mapeo continuo , la imagen de un conjunto compacto es un conjunto compacto.
- Teorema de Weierstrass . Cualquier función real continua en un espacio compacto está acotada y alcanza sus valores máximo y mínimo.
- Un subconjunto cerrado de un conjunto compacto es compacto.
- Un subconjunto compacto de un espacio de Hausdorff es cerrado .
- Un espacio compacto de Hausdorff es normal .
- Un espacio de Hausdorff es compacto si y solo si es regular y H-cerrado [4] .
- Un espacio de Hausdorff es compacto si y solo si cada uno de sus subconjuntos cerrados es H-cerrado [4] .
- Teorema de Tikhonov: El producto de un conjunto arbitrario (no necesariamente finito) de conjuntos compactos (con la topología del producto ) es compacto.
- Cualquier mapeo continuo uno a uno de un conjunto compacto a un espacio de Hausdorff es un homeomorfismo .
- Los conjuntos compactos "se comportan como puntos" [7] . Por ejemplo: en un espacio de Hausdorff, dos conjuntos compactos cualesquiera que no se intersecan tienen vecindades que no se intersecan, en un espacio regular , cualquier conjunto compacto y cerrado que no se interseca tiene vecindades que no se intersecan, en un espacio de Tikhonov, cualquier conjunto compacto y cerrado que no se interseca. son funcionalmente separables .
- Todo espacio topológico finito es compacto.

Propiedades de los espacios métricos compactos:
- Un espacio métrico es compacto si y solo si cualquier secuencia de puntos en él contiene una subsecuencia convergente.
- El teorema de compacidad de Hausdorff da las condiciones necesarias y suficientes para la compacidad de un conjunto en un espacio métrico.
- Para espacios euclidianos de dimensión finita , un subespacio es compacto si y solo si está acotado y cerrado . Se dice que los espacios con esta propiedad satisfacen la propiedad de Heine-Borel [8] .
- Lema de Lebesgue : Para todo espacio métrico compacto y de tapa abierta, existe un número positivo tal que todo subconjunto cuyo diámetro es menor que , está contenido en uno de los conjuntos . Tal número se llama el número de Lebesgue. $\{V_{\alfa }\},\ \alfa \en A$ $r$ $r$ $V_{\alfa}$ $r$

Véase también

Compactificación

Notas

↑ Viro et al., 2012 , pág. 97.
↑ 1 2 Viro et al., 2012 , pág. 98.
↑ Kolmogorov, Fomin, 1976 , pág. 105.
↑ 1 2 3 Kelly, 1968 , pág. 209.
↑ Engelking, 1986 , pág. 208.
↑ Véase también Lema sobre segmentos anidados
↑ Engelking, 1986 , pág. 210.
↑ Véase también Teorema de Bolzano-Weierstrass#Teorema de Bolzano-Weierstrass y la noción de compacidad

Literatura

Kolmogorov, A. N. , Fomin, S. V. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional. - 4ª ed. -M.:Nauka, 1976. (Ruso)
Viro, O. Ya. , Ivanov, O. A. , Netsvetaev, N. Yu. , Kharlamov, V. M. Topología elemental. - 2ª ed., corregida.. -M.: MTSNMO, 2012. -ISBN 978-5-94057-894-9. (Ruso)
Protasov, V. Yu. Máximos y mínimos en geometría. -M.: MTSNMO, 2005. - 56 p. - (Biblioteca "Educación Matemática", número 31). (Ruso)
Schwartz, L. Análisis. -M.:Mir, 1972. - T. I. (Ruso)
Kelly, J. L. Topología general. — M .: Nauka , 1968. (Ruso)
Engelking, R. Topología general. — M .: Mir , 1986. — 752 p. (Ruso)
Arkhangelsky, A.V. Espacio bicompacto //Enciclopedia matemática. -M.: Enciclopedia soviética, 1977-1985. (Ruso)
Voitsekhovsky, M. I. Espacio compacto // Enciclopedia matemática . - M .: Enciclopedia soviética, 1977-1985. (Ruso)

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