Maneras constructivas de definir un número real

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Con un enfoque constructivo de la definición de un número real, los números reales se construyen a partir de los racionales , que se consideran dados. En los tres métodos siguientes, los números racionales se toman como base y se construyen nuevos objetos, llamados números irracionales . Como resultado de completar el conjunto de números racionales, obtenemos un conjunto de números reales.

La teoría de las sucesiones fundamentales de Cantor

El enfoque descrito a continuación para la definición de números reales fue propuesto por G. Kantor en un artículo publicado en 1872 [1] . Ideas similares fueron expresadas por E. Heine y S. Mere .

El criterio de convergencia de Cauchy y su uso por Cantor

El punto de partida de la teoría de Cantor fue la siguiente idea [2] . Cualquier número real puede ser dado por una secuencia de números racionales

a_{1},a_{2},\ldots,a_{n},\ldots

representando aproximaciones a este número real con un grado creciente de precisión, es decir, convergiendo a este número.

Entendamos ahora un número real como un objeto definido por una sucesión convergente de números racionales . $\alfa$ $a_{1},a_{2},\ldots$

Sin embargo, aquí acecha un círculo vicioso . En la definición de una sucesión convergente, está involucrado un número real, que es su límite, el mismo concepto que queremos definir usando sucesiones convergentes:

$\{un}\}$ converge existe , tal que $\Longleftrightarrow$ $\alpha \in \mathbb{R}$ $\lim _{{n\to \infty }}a_{n}=\alpha$

Para no entrar en un círculo vicioso, es necesario tener algún signo que permita expresar la condición de convergencia de una sucesión en términos de sus miembros, es decir, sin hablar del significado mismo del límite de la sucesión . .

En la época de Cantor, ya se había encontrado tal criterio. Fue establecido de forma general por el matemático francés O. Cauchy [3] . Según el criterio de Cauchy, una sucesión converge si y sólo si $a_{1},a_{2},\ldots$

\forall \varepsilon >0\;\exists N(\varepsilon )\;\forall n>N(\varepsilon )\;\forall m>0\;|a_{{n+m}}-a_{n}| <\varepsilon

Hablando en sentido figurado, la condición para la convergencia de una secuencia en el criterio de Cauchy es que sus miembros, a partir de un cierto número, se encuentren arbitrariamente cerca unos de otros.

Por supuesto, Cauchy no pudo dar ninguna fundamentación rigurosa de este criterio debido a la ausencia de la teoría del número real.

Kantor, en cierto sentido, lo puso todo patas arriba. Llamó la atención sobre el hecho de que este signo en sí mismo caracteriza las propiedades internas de una secuencia convergente: puede formularse y verificarse sin hablar del número real en sí, que es el límite de esta secuencia. Y por lo tanto, esta función se puede usar para resaltar la clase de secuencias mediante las cuales se pueden determinar los números reales .

Así, el paso principal que da Cantor en la construcción de la teoría del número real es que considera cualquier secuencia de números racionales que satisfaga la condición de Cauchy como que define algún número real (racional o irracional). $a_{1},a_{2},\ldots$

Cuando hablo de una cantidad numérica en un sentido generalizado, esto ocurre principalmente en el caso de que se proponga una secuencia infinita de números racionales.

a_{1},a_{2},\ldots,a_{n},\ldots

dada por alguna ley y que tiene la propiedad de que la diferencia se vuelve infinitamente pequeña como , cualquiera que sea el número entero positivo , o, en otras palabras, que para un número entero elegido arbitrariamente (racional positivo) existe tal que , y es cualquier número entero positivo. $a_{{n+m}}-a_{n}$ $norte$ $metro$ $\varepsilon$ $norte$ $|a_{{n+m}}-a_{n}|<\varepsilon$ $metro$ G. Kantor [1]

En la terminología moderna, una sucesión que satisface la condición de Cauchy se denomina sucesión de Cauchy o sucesión fundamental .

Construcción de la teoría de los números reales según Cantor

Dos sucesiones fundamentales y pueden definir el mismo número real. Esto tiene lugar bajo la condición $\{un}\}$ $\{b_{n}\}$

\forall \varepsilon >0\;\exists N(\varepsilon )\;\forall n>N(\varepsilon )\;|a_{n}-b_{n}|<\varepsilon

Así, sobre el conjunto de todas las sucesiones fundamentales de los números racionales se establece una relación de equivalencia , y de acuerdo con el principio general, todas las sucesiones fundamentales se dividen en clases de equivalencia . El significado de esta partición es que secuencias de la misma clase determinan el mismo número real, mientras que secuencias de diferentes clases determinan otros diferentes. Por lo tanto, existe una correspondencia biunívoca entre los números reales y las clases de secuencias fundamentales de los números racionales.

Ahora podemos formular la definición principal de la teoría de los números reales de Cantor.

Definición. Un número real es una clase de equivalencia de secuencias fundamentales de números racionales.

El número real (clase de equivalencia) definido por la secuencia fundamental de números racionales se denota por . $\{un}\}$ $[un}]$

Las operaciones aritméticas con números reales se presentan a continuación. Si se dan dos números reales y , definidos por las sucesiones fundamentales y , de modo que $\alfa$ $\beta$ $\{un}\}$ $\{b_{n}\}$

$\alfa =[a_{n}]$ y $\beta =[b_{n}]$

entonces la suma es el número real definido por la secuencia , es decir, la clase de equivalencia que contiene esta secuencia: $\alfa$ $\beta$ $\{a_{n}+b_{n}\}$

\alpha +\beta {\overset {{\text{def}}}{=}}[a_{n}+b_{n}]

Es fácil comprobar que esta definición es correcta, es decir, no depende de la elección de secuencias específicas de la clase y de la clase . $\{un}\}$ $\alfa$ $\{b_{n}\}$ $\beta$

La diferencia, el producto y el cociente de números reales se definen de manera similar.

Un número real es por definición mayor que un número , es decir , si $\alfa =[a_{n}]$ $\beta =[b_{n}]$ $\alfa >\beta$

\existe \varepsilon >0\;\existe N\;\forall n>N\;a_{n}\geqslant b_{n}+\varepsilon

Esta definición no depende de la elección de secuencias de la clase y de la clase . $\{un}\}$ $\alfa$ $\{b_{n}\}$ $\beta$

El sistema de los números racionales se incluye en el sistema de los números reales mediante un acuerdo adicional, según el cual la sucesión

a,a,\ldots a,\ldots

todos los miembros de los cuales son iguales al mismo número racional determina este número en sí mismo, de modo que . En otras palabras, cualquier clase que contenga una secuencia estacionaria se identifica con un número . Así, el conjunto construido de los números reales es una extensión del conjunto de los racionales. $a$ $[a]{\overset {{\text{def}}}{=}}a$ $[a]$ $a,a,\ldots a,\ldots$ $a$

Esto completa la construcción del conjunto de números reales. Además, sobre la base de las definiciones introducidas, se pueden demostrar las propiedades conocidas de los números reales.

Completitud del conjunto de los números reales

De la definición se sigue que toda sucesión fundamental de números racionales converge en algún número real. Este principio es la base de la definición de un número real. Gracias a él, el conjunto de números racionales se repuso con nuevos elementos, números irracionales, los límites de las secuencias fundamentales de números racionales, que no tenían límite en el antiguo conjunto de números racionales.

Surge una pregunta natural si es posible llevar a cabo un procedimiento de reposición similar nuevamente, ya para el conjunto construido de números reales: formar secuencias fundamentales de números reales y reponer el conjunto de números reales con los límites de aquellos que no tenían límite antes.

Resulta que esto no se puede hacer. Toda secuencia fundamental de números reales tiene un límite en el conjunto de números reales. En otras palabras, el conjunto de los números reales contiene los límites de todas las sucesiones fundamentales de sus elementos. Esta propiedad del conjunto de los números reales se llama completitud . Y el enunciado mismo sobre la convergencia de cualquier sucesión fundamental de números reales es el contenido principal del criterio de convergencia de Cauchy , que es el teorema central de la teoría de Cantor.

La idea de completar el conjunto de números racionales con límites de sucesiones fundamentales, utilizada por Cantor para “crear” números irracionales, fue utilizada posteriormente por F. Hausdorff para demostrar el famoso teorema de la terminación del espacio métrico .

Teoría de los decimales infinitos

La teoría de las fracciones decimales infinitas se remonta a K. Weierstrass . Alrededor de 1863 desarrolló la teoría de los números reales, que fue publicada a partir de las notas de sus conferencias en 1872 [4] . Sin embargo, la versión original de la teoría de Weierstrass difiere un poco de la teoría de las fracciones decimales infinitas presentada en los libros de texto modernos de análisis matemático (ver Comentario histórico a continuación ).

Números racionales y decimales

Como en el caso de la teoría de Cantor, suponemos que el conjunto de los números racionales está dado . Se sabe que cualquier número racional se puede descomponer en una fracción decimal , la cual escribiremos en la forma: $\matemáticas {Q}$ $p/q\en {\mathbb {Q}}$

p/q\sim \pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots

Si el proceso de descomposición se detiene después de un número finito de pasos, la fracción decimal será finita , de lo contrario será infinita .

Cualquier fracción decimal, finita o infinita, puede considerarse como una serie formal de la forma

\pm \sum _{{k}}a_{k}\cdot 10^{{-k}}

donde el índice recorre el segmento inicial de la serie natural o la serie natural completa, respectivamente. Se puede demostrar que la serie obtenida al expandir un número racional a una fracción decimal siempre converge, y su suma es igual al número racional dado. $k$ $0,1,\ldots,n$ $0,1,2,\l puntos$ $p/q$

Importante para una presentación más detallada es el hecho de que si se obtiene una fracción decimal infinita al descomponer un número racional, esta fracción siempre será periódica .

Así, existe una correspondencia entre los números racionales y las fracciones decimales, en la que cada número racional corresponde a una sola fracción decimal, pero para algunas fracciones (a saber, infinitas no periódicas) no les corresponde ningún número racional. Es natural suponer que estas fracciones también corresponden a algunos números hipotéticos que no son racionales. Al introducir en consideración estos números hipotéticos, que llamaremos irracionales , parece que llenamos los vacíos en la totalidad de todas las fracciones decimales.

Así, en la base de la teoría de un número real, ponemos la suposición (idea) de que cualquier fracción decimal es la expansión de algún número real, racional o irracional : $\alfa$

\alpha \sim \pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots

A su vez, interpretamos esta expansión de la misma forma que en el caso de los números racionales, es decir, consideramos que un número real es la suma de una serie $\alfa$

\pm \sum _{{k}}a_{k}\cdot 10^{{-k}}

Construcción de la teoría de fracciones decimales infinitas

Definición. Un número real es una fracción decimal infinita, es decir, una expresión de la forma

\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots

donde hay uno de los símbolos o , llamado signo de número, es un número entero no negativo, es una secuencia de decimales (es decir, elementos del conjunto numérico ). $\pm$ $+$ $-$ $un_{0}$ $a_{1},a_{2},\ldots a_{n},\ldots$ $\{0,1,\lpuntos 9\}$

Al mismo tiempo, consideramos , por definición , que las fracciones y representan el mismo número, así como el mismo número representan fracciones de la forma y . El significado de esta convención es obvio, ya que los números racionales correspondientes a estas fracciones son los mismos. [5] $+0.00\l puntos$ $-0.00\ldots$ $\pm a_{0},a_{1}\ldots a_{n}999\ldots$ $\pm a_{0},a_{1}\ldots (a_{n}+1)000\ldots,\;(a_{n}\neq 9)$

Es natural aceptar de inmediato que las fracciones decimales infinitas periódicas representan los números racionales que les corresponden. En otras palabras, identificamos fracciones periódicas con números racionales. Según esta convención, el conjunto de los números racionales es un subconjunto del conjunto de todos los números reales.

A continuación se muestra un esquema de la construcción de la teoría de fracciones decimales infinitas.

Primero, se determina el orden en el conjunto de todas las fracciones decimales infinitas. Esto se hace sobre la base de una comparación secuencial de los dígitos de los números desde el más alto hasta el más bajo. Por ejemplo, dados dos números no negativos

{\begin{matriz}\alpha &=+a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots \\\beta &=+b_{0},b_{1}b_{ 2}\ldots b_{n}\ldots \end{matriz}}

Sean y los primeros caracteres no coincidentes en notación decimal y . Entonces si , entonces por definición , y si , entonces . Con base en la comparación de dos números no negativos, se determina la comparabilidad de dos números reales cualesquiera. $un$ $b_n$ $\alfa$ $\beta$ $a_{n}<b_{n}$ $\alfa <\beta$ $a_{n}>b_{n}$ $\alfa >\beta$

Se puede demostrar que la relación de comparación presentada define la estructura de un conjunto linealmente ordenado sobre el conjunto de infinitas fracciones decimales . También se puede demostrar que para las fracciones periódicas la relación de orden establecida coincide con la relación de comparabilidad ya existente para los números racionales. $<$

Después de la introducción de la relación de orden sobre el conjunto de fracciones decimales infinitas, demostramos el teorema sobre la cota superior exacta , que es fundamental para la construcción de la teoría del número real . Este teorema expresa el hecho de que una colección ordenada de números reales tiene la propiedad de continuidad (completitud) según Dedekind.

Ahora las operaciones aritméticas ya introducidas sobre el subconjunto de los números racionales se extienden a todo el conjunto de los números reales por continuidad .

Es decir, sean y sean dos números reales. Su suma es un número real que satisface la siguiente condición: $\alfa$ $\beta$ $\alfa +\beta$

\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} \;(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \ leqslant b'')\Rightarrow (a'+b'\leqslant \alpha +\beta \leqslant a''+b'')

Se puede demostrar que existe un número real que satisface esta condición y es único.

La multiplicación de números se define de manera similar . El producto de dos números reales positivos y se llama un número real que satisface la siguiente condición: $\alfa$ $\beta$ $\alpha \cdot \beta$

\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} \;(a'>0)\land (b'>0)\land (a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a'\cdot b'\leqslant \alpha \cdot \beta \leqslant a''\cdot b'')

Como en el caso de la suma, existe un número que satisface esta condición y es único. Después de eso, es fácil definir la multiplicación de dos números reales con signos arbitrarios .

Se puede comprobar que las operaciones de suma y multiplicación introducidas sobre el conjunto de los números reales coinciden con las operaciones de suma y multiplicación de los números racionales.

Esto completa la construcción de la teoría de fracciones decimales infinitas. Además, utilizando las definiciones presentadas, se pueden probar las propiedades conocidas de los números reales relacionadas con las operaciones aritméticas y la relación de comparación.

En conclusión, notamos que al definir el concepto de límite de una secuencia y la suma de una serie de números reales, podemos probar la proposición que se anunció cuando se introdujo el concepto de número real. A saber: cualquier número real es la suma de una serie de su expansión decimal. es decir, si

\alpha \sim \pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots

después

$\alpha =\pm \sum_{{k=0}}^{{\infty}}a_{k}\cdot 10^{{-k}}$

Comentario histórico

Como se señaló anteriormente, el propio Weierstrass consideró una construcción ligeramente diferente [4] [6] .

La teoría de los números reales presentada anteriormente se puede definir brevemente como la teoría de las series formales de la forma

$\pm \sum _{{k=0}}^{{\infty}}a_{k}\cdot 10^{{-k}}$

donde es un entero no negativo y son lugares decimales $un_{0}$ $a_{k},k=1,2,\ldots$

Weierstrass, por otro lado, consideró series formales de una forma más general:

$\pm \sum _{{n=0}}^{{\infty}}a_{n}\cdot 1/n$

donde son enteros no negativos arbitrarios . $a_{n},n=1,2,\ldots$

Obviamente, en tal construcción, un número real se puede representar de infinitas maneras. Además, es evidente que no a todas estas series se les puede asignar un valor numérico. Por ejemplo, una fila

$\sum _{{n=1}}^{{\infty}}1/n$

diverge

Por lo tanto, Weierstrass, en primer lugar, considera solo series convergentes: define tales series como series con sumas parciales acotadas (ver el criterio para la convergencia de una serie con términos no negativos) y, en segundo lugar, introduce una relación de equivalencia en este conjunto. Un número real se define como una clase de serie convergente equivalente.

Por supuesto, el método de determinar números reales usando fracciones decimales, es decir, usando la expansión no en todas las fracciones alícuotas (es decir, fracciones de la forma ), sino solo en potencias de diez , es más conveniente, ya que esto logra la unicidad de representar un número real en forma de serie. Sin embargo, si volvemos al método general de Weierstrass, la analogía entre el enfoque de Weierstrass y el enfoque de Cantor se vuelve obvia. Cantor definió un número real como una clase de equivalencia de sucesiones convergentes de números racionales y utilizó el criterio de Cauchy para determinar la convergencia de una sucesión. Weierstrass hizo lo mismo, solo que en lugar de sucesiones convergentes consideró series convergentes, y en lugar del criterio de Cauchy para la convergencia de una sucesión, utilizó el criterio de convergencia de una serie con términos no negativos (por cierto, el equivalente el teorema sobre el límite de una secuencia monótona lleva el nombre de Weierstrass). $1/n$ $1/10^{k}$

Teoría de secciones en la región de los números racionales

La teoría de Dedekind es la más simple e históricamente la primera teoría rigurosa del número real. A diferencia de los enfoques analíticos de Cantor y Weierstrass, la teoría de Dedekind se basa en consideraciones geométricas; de ahí su visibilidad.

El valor de la teoría de Dedekind radica en que, además de construir números reales, fue la primera en revelar la esencia matemática del concepto de continuidad , un concepto que subyace en el análisis matemático y que se ha utilizado durante siglos, refiriéndose a la evidencia. o consideraciones de carácter geométrico.

La teoría de Dedekind, construida en 1858, se publicó en 1872 en un pequeño folleto llamado "Continuidad y números irracionales" ( en alemán "Stetigkeit und irrationale Zahlen" ). Hasta el día de hoy, este libro sigue siendo uno de los mejores en términos de claridad y accesibilidad de la presentación del tema. A continuación, en este artículo, seguiremos principalmente la línea de pensamiento del propio Dedekind.

Enunciado de la pregunta

Para comprender el problema planteado por Dedekind, describamos en términos generales el estado de cosas en el análisis matemático que tenía lugar en ese momento.

Al presentar el curso de cálculo diferencial , que en su mayor parte se llevó a cabo mediante métodos rigurosos, para probar algunas proposiciones, todavía había que recurrir a la claridad geométrica.

Por ejemplo, para demostrar el teorema del límite de una sucesión monótona, se trazó una línea recta, sobre la cual se marcaron los puntos que representan a los miembros de la sucesión . Además, se pronunciaron frases del siguiente tipo: "obviamente" , hay un punto al que los puntos se aproximan indefinidamente, o "debería" haber tal punto, ya que la recta numérica está "continuamente llena de puntos" . Además, dado que algún número racional o irracional corresponde a cualquier punto de la recta, entonces para el número correspondiente al punto tenemos: . $Un}$ $un$ $A$ $Un}$ $A$ $a$ $\lim a_{n}=a$

A menudo se dice que el cálculo diferencial trata con cantidades continuas, pero en ninguna parte se da esta continuidad, e incluso en la exposición más rigurosa del cálculo diferencial, las pruebas no se basan en la continuidad, sino que apelan, más o menos conscientemente, a representaciones geométricas o a representaciones que se originan en la geometría, o, finalmente, basan la prueba en proposiciones que nunca han sido demostradas por medios puramente aritméticos.R. Dedekind, "Continuidad y números irracionales"

La necesidad de involucrar consideraciones de carácter geométrico para probar una propuesta puramente aritmética (sobre números) provoca cierto sentimiento de insatisfacción e indica una “falta de justificación de la aritmética” , es decir, la ausencia de una teoría rigurosa y completa de la número. Pero aun admitiendo la posibilidad del razonamiento geométrico, surge otra cuestión: la de la continuidad respecto de los puntos de la propia recta. Y resulta que el concepto de continuidad de una línea recta carece aquí de una definición lógica.

Con base en este análisis, Dedekind estableció las siguientes dos tareas:

1. Encuentre una formulación lógica de la propiedad principal de una línea recta, que está contenida en nuestras representaciones visuales de "relleno continuo de líneas rectas" 2. Construir una rigurosa teoría del número puramente aritmética , de modo que aquellas propiedades del sistema numérico, para cuya justificación antes recurrieron a representaciones geométricas visuales, se sigan ahora de la definición general de número.

Comparación de números racionales con puntos de una línea recta

Dedekind parte del conjunto de números racionales cuyas propiedades se suponen conocidas. Compara el sistema de los números racionales con el conjunto de puntos de una línea recta para revelar las propiedades de este último. $\matemáticas {Q}$ ${\ matemáticas {L}}$

Los números racionales forman un conjunto sobre el que se dan las operaciones aritméticas de suma y multiplicación, que tienen ciertas propiedades. Pero para una presentación más detallada, el hecho de que la colección esté ordenada linealmente es extremadamente importante : para dos números diferentes cualesquiera , podemos decir que uno de ellos es menor que el otro. $\matemáticas {Q}$ $\matemáticas {Q}$ $a$ $b$

El conjunto de puntos de una recta también es un conjunto linealmente ordenado. La relación de orden entre dos puntos y aquí se expresa en el hecho de que un punto se encuentra a la izquierda del otro . ${\ matemáticas {L}}$ $pags$ $q$ $pags$ $q$

Esta similitud entre los números racionales y los puntos de una recta se puede desarrollar estableciendo una correspondencia entre ellos. Como saben, para esto, se elige un cierto punto de partida en una línea recta , una cierta unidad de longitud para medir segmentos, así como una dirección positiva . Para cada , se puede construir la longitud correspondiente, y, posponiéndola desde el punto de partida hacia la derecha o hacia la izquierda, según sea el número positivo o no, obtendremos un determinado punto correspondiente a un número racional . $a\in {\matemáticas {Q}}$ $a$ $p\in {\matemáticas {L}}$ $a$

Así, cada número racional se puede asociar a un punto determinado . En este caso, diferentes números corresponderán a diferentes puntos. Además, si el número es menor que , entonces el punto correspondiente a estará a la izquierda del punto correspondiente a . En otras palabras, la proporción establecida preserva el orden. $a\in {\matemáticas {Q}}$ $p\in {\matemáticas {L}}$ $a$ $b$ $pags$ $a$ $q$ $b$

Continuidad en línea recta

Al mismo tiempo, resulta que hay infinitos puntos en la recta que no corresponden a ningún número racional. Esto se sigue de la existencia de segmentos inconmensurables , que era conocida por los antiguos (por ejemplo, la inconmensurabilidad de la diagonal y el lado del cuadrado, es decir, la irracionalidad ). ${\ matemáticas {L}}$ ${\ sqrt {2}}$

Hablando en sentido figurado, la línea recta está más densamente llena de puntos que el conjunto de números racionales está lleno de números. Vemos que en el conjunto de los números racionales hay huecos , huecos correspondientes a aquellos puntos de la recta para los que no había un número racional correspondiente, mientras que de la recta decimos que está "continuamente llena de puntos" . ${\ matemáticas {L}}$ $\matemáticas {Q}$

La comparación anterior de la región de los números racionales con la línea recta llevó al descubrimiento en la primera de fallas (Lückenhaftigkeit), incompletitud o discontinuidad, mientras que a la línea recta le atribuimos completitud, ausencia de lagunas, continuidad.R. Dedekind, "Continuidad y números irracionales"

¿Qué es exactamente esta continuidad? ¿Cómo se puede expresar matemáticamente esta propiedad de una línea recta ?

Dedekind hace la siguiente observación. Si hay un cierto punto de la línea, entonces todos los puntos de la línea se dividen en dos clases: los ubicados a la izquierda y los ubicados a la derecha ; el punto en sí puede asignarse arbitrariamente a la primera oa la segunda clase. Sin embargo, para puntos en una línea recta, ocurre el principio opuesto: $pags$ $pags$ $pags$ $pags$

Si los puntos de una recta se dividen en dos clases de manera que todo punto de la primera clase se encuentra a la izquierda de todo punto de la segunda clase, entonces hay un único punto que produce esta división de la recta en dos clases, esta es la disección de la línea en dos partes.R. Dedekind, "Continuidad y números irracionales"

Geométricamente, esta proposición parece obvia, pero no podemos probarla. Dedekind señala que en realidad este principio no es más que un postulado, que expresa la esencia de la propiedad de continuidad de una línea recta. Al aceptarlo, atribuimos a una línea recta esa propiedad que llamamos su continuidad.

La aceptación de esta propiedad de la línea recta no es más que un axioma, por el cual sólo reconocemos su continuidad como línea recta, invirtiendo mentalmente la continuidad en una línea recta.R. Dedekind, "Continuidad y números irracionales"

Expliquemos el contenido y la interpretación geométrica del principio de Dedekind. Imagina que todos los puntos de la línea están coloreados en dos colores: verde y rojo, de modo que cada punto verde se encuentra a la izquierda de cada punto rojo.

Es geométricamente obvio que debe haber un punto en la línea en el que los colores entren en contacto. Es este punto el que "divide la línea en dos clases": todos los puntos verdes se encuentran a la izquierda y todos los puntos rojos se encuentran a la derecha. Este es el principio de Dedekind.

Al mismo tiempo, el punto de la "unión de colores" también debe ser de un color determinado, ya que, por condición, todos los puntos de la línea están pintados sin excepción. Este punto debe ser verde, en este caso el último punto verde, o rojo, siendo el primer punto rojo. Como es fácil de ver, estas dos opciones se excluyen entre sí: en el primer caso, no hay un primer punto rojo: hay puntos rojos arbitrariamente cerca de la unión, pero el primero no está entre ellos, y en el segundo caso , por razones similares, no hay un último punto verde.

Ahora fijémonos en qué posibilidades lógicas que pueden tener lugar teóricamente, las hemos excluido, apelando a la claridad geométrica. Es fácil ver que solo hay dos de ellos: en primer lugar, podría suceder que tanto el último punto verde como el primero rojo existan simultáneamente; en segundo lugar, puede suceder que no haya ni el último punto verde ni el primer punto rojo.

La primera situación se dice que es un salto . Tal imagen es posible para una línea recta de la que se ha omitido un intervalo completo de puntos intermedios.

El término brecha se utiliza para describir la segunda situación . Tal imagen puede tener lugar para una línea recta de la que se ha eliminado un segmento completo, incluidos sus extremos, en particular, si se ha eliminado un solo punto.

Por lo tanto, la continuidad de una línea significa que no hay saltos ni espacios en ella; en resumen, no hay vacíos.

Sorprendentemente, la definición anterior de continuidad se aplica a cualquier conjunto ordenado de elementos.

Continuidad de Dedekind

Demos ahora una formulación precisa de la continuidad de Dedekind aplicable a un conjunto ordenado linealmente arbitrario.

Definición. Sea un conjunto linealmente ordenado. Un par ordenado de conjuntos y se denomina sección en , y los conjuntos mismos se denominan clases inferior y superior de la sección dada, respectivamente , si se cumplen las siguientes condiciones: ${\matemáticas{L}}$ $A$ $A'$ ${\matemáticas{L}}$ $A$ $A'$

1. Las clases no están vacías:

$A\neq \varnada ,A'\neq \varnada$

2. Cada elemento pertenece al menos a una de las clases

{\matemáticas{L}}

$A\cup A'={\mathsf {L}}$

3. Cada elemento de la clase inferior es menor que cualquier elemento de la clase superior :

$\para todos los a\en A,\para todos los a'\en A'\;(a<a')$

Denotaremos la sección . $A|A'$

Definición. Un conjunto linealmente ordenado se llama continuo (según Dedekind) si cualquiera que sea su sección, o en la clase inferior de la sección está el elemento más grande, y en la superior no hay el más pequeño; o en la clase superior hay un elemento más pequeño, y en la inferior no hay más grande (estas secciones se llaman Dedekind ). ${\matemáticas{L}}$

Como ejemplo, considere el conjunto de números racionales. Es fácil ver que no puede haber saltos en él: si es el elemento máximo de la clase inferior, es el elemento mínimo de la clase superior, entonces el número que se encuentra en el medio y no puede pertenecer ni a la inferior ni a la superior. clase alta, lo que contradice la definición de una sección. $a$ $b$ $(a+b)/2$ $a$ $b$

Al mismo tiempo, hay lagunas en el conjunto de números racionales, justo en los lugares donde deberían estar los números irracionales. Considere, por ejemplo, la sección definida por los conjuntos $A|A'$

$A=\{x\in \mathbb {Q} :x\leq 0\lor (x>0\land x^{2}<2)\},A'=\{x\in \mathbb { Q} :x>0\land x^{2}>2\}$

Es fácil ver que esta es de hecho una sección, sin embargo, no hay un elemento máximo en la clase inferior, ni un elemento mínimo en la superior. Es decir, tenemos una brecha.

Construcción de números irracionales

Así, el conjunto de los números racionales, a diferencia de una línea recta, no es continuo: tiene huecos. A la luz de lo anterior, queda claro que para construir un conjunto de números reales, cuyos elementos están asociados con los puntos de una línea recta, es necesario llenar todos los espacios vacíos en el conjunto de números racionales. números.

Para cualquier sección de un conjunto de racionales de tipo espacio, agregamos al conjunto un nuevo elemento (un número irracional) que, por definición, es mayor que cualquier número de la clase inferior y menor que cualquier número de la clase superior . . Por lo tanto, llenamos el espacio vacío entre las clases de sección. Diremos que el corte determina el número irracional , o bien que el número irracional produce el corte . $A|A'$ $\matemáticas {Q}$ $\alfa$ $a$ $a'$ $A|A'$ $\alfa$ $\alfa$ $A|A'$

Combinando todos los casos posibles, podemos decir que cualquier corte en el reino de los números racionales determina algún número racional o irracional que produce este corte.

Definición. Un número irracional es cualquier sección en el conjunto de números racionales, en la clase inferior de la cual no hay elemento mayor, y en la clase superior no hay menor.

Definición. El conjunto de los números reales es la unión de los conjuntos de los números racionales e irracionales. Todo elemento del conjunto de los números reales se llama número real .

El conjunto de los números reales, como es fácil de ver, está ordenado linealmente según la relación de orden introducida. El siguiente hecho es de fundamental importancia.

Teorema. El conjunto de los números reales es continuo de Dedekind.

Esta oración no se sigue automáticamente de la definición de números irracionales, que llenó los vacíos en el conjunto de números racionales. Requiere prueba.

Las operaciones de suma y multiplicación se introducen sobre el conjunto de los números reales por continuidad (igual que en la teoría de las fracciones decimales infinitas). Es decir, la suma de dos números reales se llama un número real que satisface la siguiente condición: $\alfa$ $\beta$ $\gama$

$\forall a,a',b,b'\;(a\leqslant \alpha \leqslant a')\land (b\leqslant \beta \leqslant b')\Rightarrow (a+b\leqslant \gamma \leqslant a'+b')$

De la continuidad de los números reales se sigue que tal número real existe y es único. Además, si y son números racionales, entonces esta definición coincide con la definición habitual de la suma de dos números racionales. La multiplicación se introduce de manera similar y se prueban las propiedades de las operaciones y las relaciones de orden. $\gama$ $\alfa$ $\beta$

Notas

↑ 1 2 Kantor G. Trabajos sobre teoría de conjuntos / ed. A. N. Kolmogorov, F. A. Medvedev, A. P. Yushkevich,. - M. : NAUKA, 1985. - S. 9-10. - (Clásicos de la ciencia).
↑ Arnold I. V. Aritmética teórica. - art. 277.
↑ De hecho, Cauchy estableció un criterio para la convergencia de una serie, que también lleva su nombre, pero de cada uno de estos dos criterios se sigue fácilmente otro
↑ 1 2 Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Caminos y laberintos. Ensayos sobre la historia de las matemáticas. — Art. 287-289.
↑ A veces, para que la correspondencia entre el conjunto de los números reales y el conjunto de las fracciones decimales infinitas sea biunívoca, se consideran no todas, sino sólo fracciones decimales infinitas admisibles , entendiendo por tales todas aquellas que no tienen un período que consta de uno nueve, y también entre qué fracción no incluida $-0.00\ldots$
↑ Rybnikov K. A. Historia de las matemáticas. - T. 2. - S. 197.

Literatura

Referencias

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Kantor G. Obras sobre teoría de conjuntos / ed. A. N. Kolmogorov, F. A. Medvedev, A. P. Yushkevich,. - M. : CIENCIA, 1985. - (Clásicos de la ciencia).

Kudryavtsev L. D. Curso de Análisis Matemático. - 5ª ed. - M. : "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 p. - ISBN 5-7107-4119-1 .

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Ter-Krikorov A. M., Shabunin M. I. Un curso de análisis matemático. - 3ª ed., corregida.. - M. : FIZMATLIT, 2001. - 672 p. — ISBN 5-9221-0008-4 .

Fikhtengol's GM Fundamentos de análisis matemático. - 7ª ed. - M. : FIZMATLIT, 2002. - T. 1. - 416 p. — ISBN 5-9221-0196-X .

Lectura sugerida

Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Caminos y laberintos. Ensayos sobre la historia de las matemáticas.
Historia de las matemáticas desde la antigüedad hasta principios del siglo XIX. En tres volúmenes / ed. Yushkevich. - T. 1.
Arnold V. I. Aritmética teórica.
Dedekind R. Continuidad y números irracionales = Stetigkeit und irrationale Zahlen. — 44 s.
Fikhtengol's GM Fundamentos de análisis matemático.
Ter-Krikorov A. M., Shabunin M. I. Un curso de análisis matemático.
Ilyin V. A., Poznak E. G. Fundamentos del análisis matemático: en horas 2. Parte I.

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