Método de los indivisibles

El método de los indivisibles es el nombre de un conjunto de técnicas surgidas a finales del siglo XVI, destinadas a calcular las áreas de formas geométricas o volúmenes de cuerpos geométricos [1] . La idea del método para figuras planas era dividir estas figuras en figuras de ancho cero (“indivisibles”, generalmente son segmentos paralelos), que luego se “ensamblan” sin cambiar su longitud y forman otra figura, el área de \u200b\u200bque ya se conoce (ver .ejemplos a continuación). El cálculo del volumen de los cuerpos espaciales es similar, solo que no se dividen en segmentos, sino en figuras planas "indivisibles" [2] . La formalización de estas técnicas determinó en gran medida el posterior surgimiento y desarrollo decálculo integral .

El método de los indivisibles recibió la más completa expresión y justificación teórica en la obra del matemático italiano Bonaventura Cavalieri “La geometría de los indivisibles continuos, derivada de una nueva forma” ( Latín Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota , 1635) [3] [ 4]

Ejemplo y crítica

El método indivisible en sí mismo es un conjunto de técnicas sin una descripción clara. Por tanto, es mejor empezar con el siguiente ejemplo, ya conocido por Arquímedes .

Calcular el área de un círculo de radio . La fórmula para la circunferencia de un círculo se considera conocida. $R$ ${\ estilo de visualización L = 2 \ pi R}$

Dividamos el círculo en anillos infinitamente pequeños. Considere también un triángulo con base de longitud y altura , que también dividiremos por secciones paralelas a la base. Cada anillo de radio y longitud se puede asociar a una de las secciones de un triángulo de la misma longitud . Entonces, por el principio de Cavalieri , las áreas de un círculo y un triángulo son iguales. El área de un triángulo se encuentra como el producto de la longitud de su base por la mitad de la altura: $L$ $R$ $r$ ${\ estilo de visualización L = 2 \ pi r}$ $L$

2\pi R\cdot {\frac {R}{2}}=\pi R^{2}.

La paradoja de Cavalieri

Los matemáticos señalaron de inmediato la posibilidad de una aplicación errónea del principio de los indivisibles; uno de esos ejemplos lo dio el mismo Cavalieri en una carta a Torricelli (ver figura). Los triángulos ABD y BCD consisten en indivisibles verticales, y cada indivisible del triángulo izquierdo (EF) puede estar asociado uno a uno con un indivisible de la misma longitud (GH) del triángulo rectángulo. A partir de aquí, según el principio básico, se puede llegar a la conclusión errónea de que las áreas de los triángulos son iguales [5] . Sin embargo, Cavalieri no dio una regla clara para evitar errores.

Principio de Cavalieri

Cavalieri , en su tratado La geometría de los continuos indivisibles derivados de una nueva manera, formuló los fundamentos teóricos del método de los indivisibles de la siguiente manera:

Las figuras están relacionadas entre sí, como lo están todas sus líneas, tomadas según cualquier regular [base de paralelos], y los cuerpos, como todos sus planos, tomados según cualquier regular.

Si dos cuerpos tienen la misma altura, y si las secciones de los cuerpos, equidistantes y paralelas al plano en que descansan, permanecen siempre en una proporción dada, entonces los volúmenes de los cuerpos permanecerán en esta proporción.

En forma moderna:

para avión Las áreas de dos figuras con cuerdas de igual longitud de todas sus secantes comunes paralelas a la línea recta de un lado de la cual están son iguales. por espacio Los volúmenes de dos cuerpos sobre un plano, con secciones transversales iguales de todos los planos secantes comunes paralelos al plano dado, son iguales.

El principio de Cavalieri fue uno de los primeros pasos hacia el cálculo integral . En particular, utilizando la notación infinitesimal , Cavalieri demostró un teorema equivalente a la fórmula moderna

\int _{0}^{a}x^{n}\,dx={\frac {a^{n+1}}{n+1}}.

Los teoremas modernos que generalizan el principio de Cavalieri son la fórmula coarea y el teorema de Tonelli-Fubini .

Ejemplo

La idea de encontrar volúmenes en este ejemplo se remonta a Arquímedes .

Calcular el volumen de un hemisferio de radio r . Se supone que se conocen las fórmulas para el área de un círculo, así como para el volumen de un cono y un cilindro .

Dibujemos secciones del hemisferio con planos paralelos a su base. El hemisferio se romperá en círculos infinitamente pequeños (ver la figura). A una altura h , el área de la sección transversal será igual a , o (según el teorema de Pitágoras ) . ${\ estilo de visualización \ pi (r') ^ {2}}$ ${\ estilo de visualización \ pi (r^{2}-h^{2})}$

A continuación, considere un cilindro circular de altura r , con radio de base también r , del cual se corta un cono con la punta hacia abajo. Cortemos este cuerpo paralelo a la base. En una sección a una altura h , obtienes un anillo con área . Tenga en cuenta que esta área es la misma que para el hemisferio. ${\ estilo de visualización \ pi r ^ {2} - \ pi h ^ {2}}$

Por tanto, según el principio de Cavalieri, los volúmenes de ambos cuerpos son iguales. El volumen del cuerpo que se muestra a la derecha en la Fig. 3 es igual a

\pi \cdot r^{2}\cdot r-{\frac {1}{3}}\cdot \pi \cdot r^{2}\cdot r={\frac {2}{3} }\pi \cdot r^{3}.

Conclusión: el volumen de una pelota llena (dos hemisferios) es $2\cdot {\frac {2}{3}}\pi r^{3}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.$

Historia

Ya Arquímedes , en sus estudios, recortó el cuerpo espacial con planos paralelos y representó este cuerpo como una especie de álbum, la unión de tales secciones ( descomposición infinitesimal , es decir, descomposición en elementos infinitamente pequeños). Aquí es posible la influencia de los atomistas con sus "indivisibles". Sin embargo, Arquímedes consideró necesario volver a probar los resultados obtenidos usando el método de los indivisibles por un estricto método de agotamiento . Los matemáticos europeos, a partir del siglo XVI , también utilizaron el método de agotamiento para realizar cuadraturas (cálculo de áreas) y determinación de centros de gravedad .

Kepler dio nueva vida al método de los indivisibles en su libro New Stereometry of Wine Barrels (siglo XVII). [6] En The New Astronomy, Kepler a menudo usa el concepto de "indivisibles", incluso cuando formula sus tres leyes del movimiento planetario; por ejemplo, en lugar de área, mencionó "la suma de radios vectores".

Este método puede haber sido desarrollado de forma independiente por Roberval . [7]

El representante más destacado e influyente de la "geometría de lo indivisible" fue Cavalieri . En su presentación, las representaciones infinitesimales de Kepler tomaron la forma de técnicas computacionales generales. El poder y la relativa simplicidad del nuevo método causaron una impresión extremadamente fuerte en los matemáticos. Generaciones enteras, desde Wallis hasta Leibniz , estudiaron con Cavalieri. Torricelli llamó al método de los indivisibles el "camino real" en geometría.

Galileo estaba familiarizado con el método de los indivisibles, pero vio claramente sus lados débiles y peligrosos. En correspondencia y trabajos recientes, reflexiona sobre la esencia del infinito, muestra que un conjunto infinito puede ser igual a su parte, que tiene una medida menor, por lo que el razonamiento sobre los indivisibles está poco fundamentado. Sin embargo, él mismo usó indivisibles en el estudio del movimiento uniformemente acelerado [8] .

Vallis , habiéndose familiarizado con el método de Cavalieri del libro de Torricelli, decidió algebraizarlo. En lugar de una transformación geométrica de secciones, construye en la "Aritmética del Infinito" ( 1656 ) series de números, que ahora llamamos sumas integrales , y encuentra estas sumas.

Independientemente de Wallis y 30 años antes, estas integrales fueron calculadas por Fermat y Roberval . En un ensayo publicado póstumamente, Fermat aplicó con maestría técnicas como la integración por partes y el cambio de variables, que le permitieron calcular muchas integrales complejas de funciones racionales fraccionarias y de polinomios con potencias fraccionarias.

Las memorias de Fermat se han vuelto ampliamente conocidas, ya que cubren casi por completo los resultados de Cavalieri, pero los métodos presentados son mucho más compactos y comprensibles. Además, las sumas integrales resultaron ser aplicables a problemas inaccesibles al método de Cavalieri, por ejemplo, enderezar ( medir un arco ) una curva. Roberval exploró la espiral de Arquímedes , Fermat y Torricelli en la década de 1640: parábolas y espirales de órdenes superiores. Gilles Roberval (1634-1636) y Christopher Wren ( 1658 ) enderezaron la cicloide .

Dada la vulnerabilidad a la crítica de aquellos descubrimientos que se obtuvieron mediante el método de los indivisibles, muchos matemáticos (Fermat, Pascal , Barrow , etc.) señalaron en sus trabajos que todos sus resultados podían ser fácilmente reprobados por los estrictos métodos de los antiguos. Barrow, sin embargo, hizo una adición irónica a esta reserva: “¿pero por qué?”. [9]

Descartes utilizó métodos infinitesimales en su Óptica, pero en general trató de no profundizar en esta área. En el tratado "Geometría", expresó la opinión de que el enderezamiento de las líneas algebraicas es imposible. Esta afirmación fue refutada solo veinte años después: en la década de 1650, cuatro matemáticos a la vez, incluidos Fermat y Huygens , dieron una rectificación de la parábola semicúbica . Sin embargo, el mismo Descartes enderezó con éxito, sin embargo, no una curva algebraica, sino una trascendental , una espiral logarítmica , cuya longitud de arco, contada desde el polo, es proporcional al radio vector del final del arco, una propiedad que Torricelli también conocía. .

La idea de Wallis, la algebraización del método infinitesimal, alcanzó su mayor desarrollo después del descubrimiento del análisis matemático por parte de Newton y Leibniz . En sus "Principios" , Newton dio el primer esbozo de la teoría general de los límites (11 lemas), mientras que no postula un análogo del principio de Cavalieri, sino que lo prueba rigurosamente (corolario del Lema IV):

Si, en general, dos cantidades de cualquier clase se dividen en el mismo número de partes, y con un aumento infinito en su número y una disminución en cada una de ellas, su relación respectivamente entre sí, es decir, la primera a la primero, el segundo al segundo, etc., permanece constante, entonces las cantidades mismas estarán en la misma proporción.

Aquí los indivisibles son reemplazados por variables cuya magnitud tiende a cero; en este caso, la “paradoja de Cavalieri” ya no puede surgir, ya que la relación de las cantidades comparadas en la paradoja (los anchos de los pequeños cuadriláteros en la partición) no es igual a la unidad.

Después de la creación del análisis, el método de los indivisibles sólo tenía interés histórico. Sin embargo, incluso más de un siglo antes del trabajo de Cauchy , la justificación del análisis de los infinitesimales era tan poco convincente como la del método de los indivisibles.

Véase también

Teorema de Tonelli-Fubini

Notas

↑ Método indivisible // Enciclopedia matemática (en 5 volúmenes) . - M .: Enciclopedia soviética , 1982. - T. 3.
↑ Principio de Cavalieri // Kazajstán. Enciclopedia Nacional . - Almaty: Enciclopedias kazajas , 2005. - T. III. — ISBN 9965-9746-4-0 . (Ruso) (CC POR SA 3.0)
↑ Historia de las Matemáticas, Volumen II, 1970 , p. 175.
↑ Bonaventura Cavalieri (matemático italiano) Archivado el 11 de junio de 2015 en Wayback Machine - Encyclopedia Britannica.
↑ Lector sobre la historia de las matemáticas, 1977 , p. 51.
↑ Kepler, Johannes . Nueva estereometría de barriles de vino . Archivado el 8 de febrero de 2013 en Wayback Machine . - M.-L.: GTTI, 1935. - 360 p.
↑ Florian Cajori , A History of Mathematics, 5.ª edición, 1991, p. 162.
↑ Lector sobre la historia de las matemáticas, 1977 .
↑ Bourbaki N. Arquitectura de las matemáticas. Ensayos sobre la historia de las matemáticas. - M. : Literatura extranjera, 1963. - S. 177.

Literatura

Lurie S. Ya. La teoría de los infinitesimales entre los antiguos atomistas. — M. — L .: Ed. Academia de Ciencias de la URSS, 1935.
Matemáticas del siglo XVII // Historia de las matemáticas / Editado por A.P. Yushkevich , en tres volúmenes. - M. : Nauka, 1970. - T. II.
Lector sobre la historia de las matemáticas. Análisis matemático. Teoría de la Probabilidad / Ed. A. P. Yushkevich . - M. : Educación, 1977. - 224 p.

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