Integral de Riemann

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La integral de Riemann es la forma más ampliamente utilizada de la integral definida . Muy a menudo, el término "integral definida" se refiere a la integral de Riemann, y se estudia como la primera de todas las integrales definidas en todos los cursos de análisis matemático. [1] Introducido por Bernhard Riemann en 1854 , y es una de las primeras formalizaciones del concepto de integral . [2]

Descripción informal

La integral de Riemann es una formalización del concepto de área bajo un gráfico. Dividamos el segmento sobre el que buscamos el área en un número finito de subsegmentos. En cada uno de los subsegmentos, seleccionamos un cierto punto del gráfico y construimos un rectángulo vertical con el subsegmento como base para ese mismo punto del gráfico. Considere una figura obtenida de tales rectángulos. El área S de tal figura con una división específica en segmentos con longitudes estará dada por la suma: $\Delta x_{i}$

{\displaystyle \sigma =\sum_{i}f(x_{i})\Delta x_{i))

Es intuitivamente claro que si disminuimos las longitudes de estos subsegmentos, entonces el área de dicha figura se acercará cada vez más al área debajo del gráfico. Es esta observación la que conduce a la definición de la integral de Riemann. [3]

Definición

Clásica definición

Sea definida una función de valor real en el intervalo . vamos a contar $[a,b]$ $F$ $a<b$

Para definir una integral, en primer lugar, es necesario definir primero el concepto de dividir un segmento y las demás definiciones relacionadas con él.

Una partición (sin marcar) de un segmento es un conjunto finito de puntos del segmento , que incluye los puntos y . Como se puede ver en la definición, una partición siempre incluye al menos dos puntos. Los puntos de división se pueden organizar en orden ascendente: . El conjunto de todas las particiones de un segmento se denotará por . $[a,b]$ $[a,b]$ $a$ $b$ $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\puntos <x_{{n-1}}<x_{n}=b$ $[a;b]$ ${\ estilo de visualización T [a; b]}$

Los puntos de división entre los que no hay otros puntos de división se denominan adyacentes . Un segmento cuyos extremos son puntos de división adyacentes se denomina segmento de división parcial . Denotamos tales segmentos como . La longitud de un segmento parcial de la partición se denota por . La longitud del mayor de los segmentos se denomina diámetro de partición . Para particiones , su diámetro se denotará como . ${\ estilo de visualización \ Delta _ {i} = [x_ {i-1}; x_ {i}]}$ $\Delta _{i}$ $\Delta x_{i}$ $\tau$ ${\ estilo de visualización d (\ tau)}$

Un marcado de partición es un conjunto ordenado finito tal que . El conjunto de todas las marcas de la partición se denotará como . ${\ estilo de visualización (\ xi _ {1}, \ ldots, \ xi _ {n})}$ ${\ estilo de visualización \ xi _ {i} \ en \ Delta _ {i}}$ $\tau$ ${\ estilo de visualización \ Xi (\ tau)}$

Una partición etiquetada es un par ordenado , donde es una partición sin etiquetar y algo de etiquetado . El conjunto de todas las particiones marcadas de un segmento se denotará como . ${\ estilo de visualización (\ tau, \ xi)}$ $\tau$ $\xi$ $\tau$ $[a;b]$ $T'[a;b]$

Después de todas estas definiciones, podemos proceder a la definición directa de la integral de Riemann.

Deje que se dé alguna partición etiquetada . La suma integral de Riemann de una función en una partición etiquetada se llama . La integral de Riemann será el límite de estas sumas ya que el diámetro de partición tiende a cero. Sin embargo, aquí hay una sutileza: este es el límite de una función con particiones marcadas como argumentos, no números, y la noción habitual de límite cuando se acerca a un punto no se aplica aquí. Es necesario dar una descripción formal de lo que entendemos por la frase "límite en el diámetro de partición que tiende a cero" ${\ estilo de visualización (\ tau, \ xi)}$ $F$ ${\ estilo de visualización (\ tau, \ xi)}$ ${\displaystyle \sigma (f,\tau,\xi)=\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i})\Delta x_{i))$

Sea una función que asigne algún número a la partición etiquetada. El número se llama límite de la función cuando el diámetro de la partición tiende a cero si $g:T'[a;b]\rightarrow \mathbb {R}$ $C$ $gramo$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall (\tau ,\xi )\in T'[a;b],d(\tau )<\delta :|g(\tau ,\xi)-c|<\varepsilon

Designacion: $c=\lim _{d(\tau )\to 0}g(\tau ,\xi )$

Tal límite es un caso especial del límite base . De hecho, denotamos el conjunto de todas las particiones etiquetadas con un diámetro menor que . Entonces el conjunto es una base sobre el conjunto , y el límite definido arriba no es más que el límite sobre esta base. Así, para tales límites, se satisfacen todas las propiedades inherentes a los límites base. $\delta$ $D'_{\delta }$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{D'_{\delta }|\delta >0\))$ $T'[a;b]$

Finalmente, podemos definir la integral de Riemann. La integral de Riemann de una función en el rango de a $F$ $a$ $b$ es el límite de las sumas integrales de Riemann de una función en particiones etiquetadas de un segmento con un diámetro de partición que tiende a cero. Usando la notación integral, esto se escribe de la siguiente manera: $F$ $[a;b]$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{d(\tau )\to 0}\sigma (f,\tau ,\xi )

La integral de Riemann también se define para el caso . Porque se define como ${\ estilo de visualización a \ geq b}$ $a>b$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int _{b}^{a}f(x)\,dx

por como $a=b$

{\ estilo de visualización \ int _ {a}^ {a} f (x) \, dx = 0}

[cuatro]

Mediante integrales de Darboux

La integral de Riemann se puede definir de forma alternativa en términos de integrales de Darboux. Por lo general, tal definición se demuestra como una propiedad, y el teorema sobre su equivalencia se llama teorema de Darboux . Las ventajas de tal definición son que nos permite prescindir de la noción de partición etiquetada, el límite de partición, y da una visión más clara del concepto de integrabilidad.

Para una partición sin etiqueta , denotamos el mínimo mínimo de la función en el segmento y denotamos el máximo supremo. $\tau$ $mi$ $F$ $\Delta _{i}$ $Mi}$

La suma de Darboux más baja se llama . ${\displaystyle s(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i))$

La suma superior de Darboux se llama . [5] $S(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i}$

La integral inferior de Darboux se llama . $I_{*}=\sup_{\tau \in T[a;b]}s(f,\tau )$

La integral superior de Darboux se llama . [6] $I^{*}=\inf_{\tau \in T[a;b]}S(f,\tau )$

Las integrales de Darboux existen para cualquier función acotada en el intervalo de integración. Si las integrales de Darboux coinciden y son finitas, entonces la función se llama integrable de Riemann en el intervalo , y este mismo número se llama integral de Riemann. [7] $F$ $[a;b]$

La integral de Darboux también se puede definir en términos del límite sobre las particiones no etiquetadas, con el diámetro de la partición tendiendo a cero. El límite sobre particiones no etiquetadas se define de manera similar al límite sobre particiones etiquetadas, pero también formalizaremos esta noción. Sea una función que asigne algún número a una partición sin etiqueta. El número se llama límite de la función cuando el diámetro de la partición tiende a cero si $g:T[a;b]\rightarrow \mathbb {R}$ $C$ $gramo$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall \tau \in T[a;b],d(\tau )<\delta :|g(\tau )-c|<\ varepsilon

Designación: [8] $c=\lim _{d(\tau )\to 0}g(\tau )$

Tal límite es también un caso especial del límite base. La base aquí será el conjunto , donde . [9] Entonces: ${\mathfrak {B}}=\{D_{\delta }|\delta >0\}$ ${\displaystyle D_{\delta }=\{\tau \in T[a;b]|d(\tau )<\delta \))$

La integral inferior de Darboux se llama . $I_{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}s(f,\tau )$

La integral superior de Darboux se llama . [diez] $I^{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}S(f,\tau )$

Funciones integrables

Una función para la cual la integral de Riemann existe dentro de los límites de a (si el límite es igual a infinito, entonces se considera que la integral no existe) se llama integrable de Riemann en el segmento [a;b] . [11] El conjunto de funciones que son integrables en el intervalo se denomina conjunto de funciones que son integrables en el intervalo y se denota por . $a$ $b$ $f:[a;b]\rightarrow \mathbb {R}$ $[a;b]$ $[a;b]$ $R[a;b]$

La condición principal y más conveniente para la integrabilidad es el criterio de Lebesgue: el conjunto de funciones integrables en un intervalo es exactamente el conjunto de funciones que son acotadas y continuas en casi todas partes en este intervalo. Este criterio permite obtener casi inmediatamente la mayoría de las condiciones suficientes para la integrabilidad. Sin embargo, la prueba de esta afirmación es bastante complicada, por lo que a menudo se omite en una presentación metódica y las pruebas adicionales se basan en el criterio de Riemann. Probar la existencia de la integral de Riemann con base en el criterio de Riemann es más difícil que con base en el criterio de Lebesgue.

Criterios de integrabilidad

Criterio de Cauchy . Una función es Riemann integrable en un segmentosi $[a,b]$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall (\tau ',\xi '),(\tau '',\xi '')\in T'[a;b], d(\tau ')<\delta ,d(\tau '')<\delta :|\sigma (f,\tau ',\xi ')-\sigma (f,\tau '',\xi '' )|<\varepsilon

[12] Este criterio no es más que un registro del criterio de Cauchy de convergencia en la base para el caso de la integral de Riemann.

Criterio de Darboux. La función es Riemann integrable en el intervalo si y sólo si la integral superior de Darboux coincide con la inferior y es finita. [13] $[a,b]$

Una definición alternativa de la integral de Riemann se basa en este criterio.

Criterio de Riemann . Definimos la oscilación de una función en el conjunto como . [catorce] $f(x)$ $mi$ $\omega (f,G)=\sup_{x\in E}f(x)-\inf_{x\in E}f(x)=\sup_{x,y\in E} |f(x)-f(y)|$

Entonces se llama la -suma de una función en una partición . [15] [16]

\Omega

F

\tau

\Omega (f,\tau)=\sum _{i=1}^{n}\omega (f,\Delta _{i})=S(f,\tau)-s(f,\ tau)

Una función es integrable de Riemann si y sólo si está acotada y el límite de las sumas cuando el diámetro de la partición tiende a cero es igual a . [17]

\Omega

{\ estilo de visualización 0}

Criterio del infinito de Riemann. También hay una variación del criterio de Riemann que usa la noción de un borde exacto en lugar de un límite: la función es integrable si y solo si . [18] [19] ${\ estilo de visualización \ inf _ {\ tau \ en T [a; b]} \ Omega (f, \ tau) = 0}$
Criterio especial de Riemann. De hecho, se pueden requerir condiciones más débiles en el criterio de Riemann.

Denote por la división del segmento en segmentos iguales. La función es integrable en este segmento si y solo si la sucesión tiende a cero. [veinte]

\tau_n

norte

{\ estilo de visualización \ Omega (f, \ tau _ {n})}

Criterio especial del infinito de Riemann. Una función es integrable en un segmento si y sólo si . [21] $\inf _{n\in \mathbb {N} }\Omega (f,\tau _{n})=0$
Criterio de Dubois-Reymond. Definamos la fluctuación de una función en un punto como el límite inferior exacto del valor de las fluctuaciones de una función en la vecindad de este punto (si el dominio de la función no incluye la vecindad completa del punto, entonces solo se consideran aquellos puntos de la vecindad que están incluidos en el dominio de definición).

\omega (f,x_{0})=\inf _{U(x_{0})}\omega (f,U(x_{0})\cap X)

[catorce] De hecho, la oscilación de una función en un punto es la diferencia entre una función y una continua. En el punto de continuidad es igual a , en el punto de discontinuidad es mayor que .

{\ estilo de visualización 0}

{\ estilo de visualización 0}

Una función es integrable de Riemann si y solo si está acotada y para cualquiera es el conjunto de todos los puntos en los que tiene una medida de Jordan cero (es decir, para cualquiera puede estar cubierta por un conjunto finito de intervalos con una longitud total menor que ). [22]

\varepsilon

{\ estilo de visualización x \ en [a; b]}

{\ estilo de visualización \ omega (f, x) \ geq \ varepsilon}

\delta>0

\delta

criterio de Lebesgue. Una función es integrable de Riemann en un segmento si y solo si está acotada en este segmento, y el conjunto de puntos donde es discontinua tiene una medida de Lebesgue cero (es decir, para cualquier puede ser cubierto por una familia contable de intervalos con un longitud total menor que ). [23] $[a,b]$ $\varepsilon >0$ $\varepsilon$

Condiciones suficientes para la integrabilidad

Todas las condiciones de integrabilidad suficientes enumeradas a continuación se derivan casi inmediatamente del criterio de Lebesgue.

Una función continua en un intervalo es integrable en él [24]
Una función acotada en un intervalo, discontinua en un número finito de sus puntos, es integrable en este intervalo [25]
Función monótona en un intervalo, integrable en él [26]
El producto de una función integrable y un número es integrable [27]
La suma de funciones integrables es integrable [27]
El producto de funciones integrables es integrable [28]
Si la razón de dos funciones integrables está acotada, entonces es integrable. Un caso especial es si el conjunto de valores del denominador no tiene un punto límite. [catorce] ${\ estilo de visualización 0}$
El módulo de una función integrable es integrable. [29]
La composición de funciones , donde es continua en el segmento , y es integrable en , integrable en . [treinta] ${\ estilo de visualización f (g (x))}$ $F$ $[\inf g(x),\sup g(x)]$ $gramo$ $[a;b]$ $[a;b]$
Si una función es integrable en algún intervalo, entonces es integrable en cualquiera de sus subsegmentos. [31]
Sea y una función integrable en y . Entonces es integrable en . [32] $a<b<c$ $F$ $[a;b]$ ${\ estilo de visualización [b; c]}$ ${\ estilo de visualización [a; c]}$

Propiedades

Las propiedades adicionales se mantienen solo si existen las integrales correspondientes.

Una condición necesaria para la integrabilidad. Una función integrable en un segmento está acotada en él. [33] $[a;b]$
No negatividad. Para una función no negativa en el intervalo, $[a;b]$ $a<b$ ${\ estilo de visualización \ int _ {a}^ {b} f (x) \, dx \ geq 0}$ [34]
Positividad. Para una función no negativa y continua en un segmento , que es distinto de cero al menos en un punto $[a;b]$ $a<b$ ${\ estilo de visualización \ int _ {a}^ {b} f (x) \, dx> 0}$ [35]
Linealidad. $\int _{a}^{b}(f(x)+g(x))\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{a }^{b}g(x)\,dx$ [27]

Para la existencia de todas estas tres integrales, la existencia de dos de ellas es suficiente. Para cualquiera

{\ estilo de visualización \ lambda \ en \ mathbb {R}}

\int _{a}^{b}\lambda f(x)\,dx=\lambda \int _{a}^{b}f(x)\,dx

[27] La existencia de la integral derecha implica la existencia de la izquierda. Si , entonces la existencia de la izquierda implica la existencia de la derecha.

{\ estilo de visualización \ lambda \ neq 0}

Aditividad. Para números arbitrarios $a B C$ $\int _{a}^{c}f(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{b}^{c}f( x)\,dx$ [32]

Para la existencia de estas tres integrales, es suficiente tener una integral sobre un segmento más grande o sobre dos más pequeños.

Monótono. Deja y sigue . Después $a<b$ ${\ estilo de visualización f (x) \ leq g (x)}$ $[a;b]$ $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx$ [34]
Calificación. Deje , , . Después $a<b$ $m=\inf _{x\in[a;b]}f(x)$ $M=\sup_{x\in [a;b]}f(x)$

m(ba)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq M(ba)

[36]

Evaluación del módulo. deja _ $a<b$ $\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\, dx$ [29]

Para que existan estas dos integrales, la existencia de la integral izquierda es suficiente. Hay una variación de esta propiedad para arbitraria y .

a

b

\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \left|\int _{a}^{b}\left|f(x)\right |\,dx\derecha|

[37]

El teorema del valor medio . Para una mejor comprensión, primero formulamos el teorema del valor medio en una formulación ligeramente simplificada.

El valor promedio de una función en un segmento se llama .

F

[a;b]

{\frac {1}{ba}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx

El teorema del valor medio dice que una función continua en un segmento toma su valor medio en algún punto de este segmento.

\existe c\in [a;b]:f(c)={\frac {1}{ba))\int _{a}^{b}f(x)\,dx

Puede escribir esta condición sin dividir por para cubrir el caso cuando .

licenciado en Letras

a=b

\existe c\en [a;b]:\int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(c)(ba)

En tal notación, el teorema del valor medio es cierto para cualquier valor de y .

a

b

De hecho, una condición mucho más general es verdadera. Sea integrable en , , . Después

F

[a;b]

m=\inf _{x\in[a;b]}f(x)

M=\sup_{x\in [a;b]}f(x)

\existe \mu \in [m;M]:\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\mu (ba)

[36] Este teorema también se denomina a veces teorema del valor medio integral para distinguirlo de los siguientes. [38]

Teorema del valor medio generalizado . Sea la funciónintegrable sobre el segmento,,, y sea la funciónintegrable y de signo constante. Después $F$ $[a;b]$ $m=\inf _{x\in[a;b]}f(x)$ $M=\sup_{x\in [a;b]}f(x)$ $gramo$

\existe \mu \in [m;M]:\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=\mu \int _{a}^{b}g (x)\,dx

[39] El teorema vuelve a ser cierto para cualquier y .

a

b

Para este teorema, también se puede dar una variación en el caso de continuidad . [40]

F

\existe c\in [a;b]:\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(c)\int _{a}^{b} g(x)\,dx

A veces este teorema, y no el anterior, se llama teorema del valor medio. Además, para distinguirlo del siguiente, este teorema se denomina teorema del primer valor medio . [41]

El segundo teorema del valor medio . Sea la funciónintegrable en el intervalo, y la función seamonótona. Después $F$ $[a;b]$ $gramo$

\existe c\en [a;b]:\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=g(a)\int _{a}^{c} f(x)\,dx+g(b)\int _{c}^{b}f(x)\,dx

[42] El segundo teorema del valor medio tiene variaciones para funciones no negativas . Sea la función integrable en el segmento , y la función sea no negativa y no creciente. Después

gramo

F

[a;b]

gramo

\existe c\en [a;b]:\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=g(a)\int _{a}^{c} f(x)\,dx

[43] Sea la función integrable en el intervalo , y la función sea no negativa y no decreciente. Después

F

[a;b]

gramo

\existe c\en [a;b]:\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=g(b)\int _{c}^{b} f(x)\,dx

[43]

Independencia de conjuntos de medida cero. Si dos funciones son integrables en un intervalo y son iguales en casi todo el mismo, entonces sus integrales también son iguales. Así, el valor de la integral de Riemann no depende del valor de la función sobre un conjunto de medida cero. Sin embargo, su existencia depende: por ejemplo, el cero y la función de Dirichlet son iguales en casi todas partes, pero existe la integral de la primera función, pero no la de la segunda.

Integral con límite variable superior

La función definida usando la integral de la siguiente manera $h(x)$

h(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt

se llama integral con un límite variable superior . [38]

Propiedades:

El dominio de definición es el intervalo en el que entra el punto. ${\ estilo de visualización \ int _ {a}^ {x} f (t) \, dt}$ $a$
La integral con límite variable superior es continua. [38] ${\ estilo de visualización \ int _ {a}^ {x} f (t) \, dt}$
Además, la integral con un límite variable superior es una función de Lipschitz
En los puntos donde es continua, la integral con el límite superior de la variable es derivable y el valor de su derivada es igual a . [44] $X$ $f(x)$ ${\ estilo de visualización \ int _ {a}^ {x} f (t) \, dt}$ $f(x)$

La última propiedad permite usar una integral con un límite variable superior para escribir la antiderivada de una función. Así, relaciona la integral indefinida y la definida por la siguiente relación:

\int f(x)\,dx=\int _{a}^{x}f(t)\,dt+C

Esta igualdad también es cierta si es integrable y tiene antiderivada sobre . [45] $F$ $[a;b]$

Cálculo

Para el cálculo de las integrales de Riemann en los casos más sencillos se utiliza la fórmula de Newton-Leibniz, que es consecuencia de las propiedades de una integral con límite variable superior.

Fórmula de Newton-Leibniz . Seacontinua en,su antiderivada en,. Después $f(x)$ $[a;b]$ $F(x)$ $[a;b]$ $a \ neq b$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)

[46]

En los cálculos prácticos, también se utilizan los siguientes métodos:

Sustitución de variables . Sea necesario calcular la integral

{\ estilo de visualización \ int _ {a}^ {b} f (x) \, dx}

Se realiza el reemplazo , luego de lo cual se recalculan los límites de integración y el diferencial:

x=\varfi (t)

a=\varphi (\alpha),b=\varphi (\beta),dx=\varphi '(t)\,dt

Después

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{\alpha }^{\beta }f(\varphi (t))\varphi '(t)\,dt

Para que tal reemplazo sea legal, se requiere continuidad y diferenciabilidad continua y estricta monotonicidad . [47]

F

\varphi

Integración por partes . El método de integración por partes consiste en aplicar la siguiente fórmula:

\int _{a}^{b}u\,dv=(uv){\bigr |}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}v\,du

La fórmula es legal si y son continuamente diferenciables. [48]

tu

v

De hecho, muchas de las condiciones especificadas para la fórmula de Newton-Leibniz y los dos métodos anteriores son redundantes y pueden debilitarse significativamente. [49] [48] [50] Sin embargo, tales condiciones serán más complicadas, además, para la mayoría de los casos prácticos, estas condiciones son suficientes. Además, en forma reducida, estas condiciones también garantizan la existencia de todas las integrales, lo que nos permite limitarnos a comprobar estas simples condiciones antes de aplicar los métodos apropiados.

Integración de una función impar . Sea una función impar integrable en un segmento. Después $F$ ${\ estilo de visualización [-a; a]}$

{\ estilo de visualización \ int _ {-a}^ {a} f (x) \, dx = 0}

[51]

Integración de una función par . Sea una función par integrable en un intervalo. Después $F$ ${\ estilo de visualización [-a; a]}$

\int _{-a}^{a}f(x)\,dx=2\int _{0}^{a}f(x)\,dx

[51]

Integración de una función periódica . Deje que tenga un período y sea integrable en . Entonces es integrable en cualquier intervalo y para cualquier $F$ $T$ ${\ estilo de visualización [0; T]}$ $a$

\int _{a}^{a+T}f(x)\,dx=\int _{0}^{T}f(x)\,dx

[51]

Historia

La definición anterior de integral fue dada por Cauchy [52] y se aplicó solo a funciones continuas.

Riemann en 1854 (publicado en 1868 [2] , en ruso por primera vez en 1914 [53] [54] ) dio la misma definición sin el supuesto de continuidad. Darboux (1879) dio la forma moderna de la teoría de Riemann .

Variaciones y generalizaciones

Integral de Riemann de funciones parcialmente dadas. A veces tiene sentido definir la integral de Riemann para funciones parcialmente definidas en el intervalo . Se determina si, para cualquier extensión de una función a una completamente dada, su integral es igual al mismo valor. En este caso, este valor se considera la integral de Riemann de la función parcialmente dada. Por ejemplo: puede considerar funciones que no están definidas en un número finito de puntos. Si, además, en todos los demás puntos son continuos en casi todas partes, entonces cualquier extensión a una función completamente dada es integrable y sus valores son iguales, ya que el valor de la integral no depende del valor en un conjunto de medidas. cero. Para tales funciones, existe incluso una generalización de la fórmula de Newton-Leibniz. [55] Sin embargo, incluso para un conjunto contable, este no es siempre el caso. Tomemos una función definida solo en el conjunto de números irracionales. Se puede extender de diferentes maneras hasta y hasta la función de Dirichlet. En un caso es integrable, en el otro no lo es. Por otro lado, si consideramos , que es indefinido en el conjunto de Cantor , entonces cualquier complemento de tal función será integrable. $[a;b]$ ${\ estilo de visualización 0}$ ${\ estilo de visualización 0}$ ${\ estilo de visualización 0}$
La integral de Riemann de funciones vectoriales. La integral de Riemann se puede definir para funciones con valores en cualquier espacio vectorial topológico sobre . Por ejemplo, podemos considerar la integral de funciones vectoriales (funciones de con valores en el espacio euclidiano ). Estas funciones se integran en coordenadas, por lo que casi todas las propiedades también se les transfieren. [56] $\matemáticas {R}$ $\matemáticas {R}$
Integral impropia de Riemann . A veces es necesario considerar una integral sobre un intervalo infinito o de una función ilimitada. La integral impropia es una generalización de la integral de Riemann para tales casos. Para intervalos infinitos, la integral impropia se define como sigue:

\int _{a}^{+\infty }f(x)\,dx=\lim _{y\to +\infty }\int _{a}^{y}f(x)\, dx

Para intervalos finitos con una función ilimitada en la vecindad del límite superior se define como sigue:

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{y\to b-}\int _{a}^{y}f(x)\,dx

Los casos restantes se definen de manera similar. Si hay infinitos puntos de discontinuidad dentro del intervalo o ambos límites son infinitos, entonces la integral de aditividad se divide en varios. La característica clave de esta definición es que, para las funciones integrables, dichos límites coinciden con las integrales habituales (llamadas propias para distinguirlas de las impropias). Por lo tanto, la integral de Riemann impropia es solo una generalización propia.

Integral múltiple de Riemann . La integral múltiple se toma de funciones de muchas variables sobre algún subconjunto. Se consideran particiones de estos conjuntos en subconjuntos medibles de Jordan . En ellos se marcan puntos y se compilan sumas integrales (en lugar de las longitudes de los intervalos, se toman las medidas de Jordan de los subconjuntos correspondientes). El diámetro de un subconjunto de dicha partición es el supremo de todas las distancias entre puntos. El diámetro de la partición en sí es el diámetro mínimo de las particiones del subconjunto. El límite de las sumas integrales cuando el diámetro de las particiones tiende a cero se llama integral múltiple. $\mathbb{R} ^{n}$

Muchas propiedades de las integrales múltiples coinciden con las habituales, pero algunas no (por ejemplo, la fórmula de cambio de variable). Contrariamente al concepto erróneo popular, no son una generalización exacta de la integral de Riemann, ya que la integral múltiple se toma sobre un conjunto no dirigido, y la habitual requiere establecer la dirección del segmento.

Integral curvilínea . Similar a la integral múltiple, se toma de una función de varias variables, pero ya a lo largo de una curva. La curva también se divide en subcurvas, los valores de la función se multiplican por las longitudes de las subcurvas correspondientes y se suman.
Integral de superficie . Casi similar a la integral curvilínea, con la diferencia de que se toma sobre la superficie y los valores de las funciones en los puntos marcados se multiplican por el área de las secciones correspondientes.
Integral de Lebesgue . Un enfoque alternativo a la definición de la integral. Aquí, en lugar de dividir el dominio de definición de la función integrable, se divide el dominio de los valores, después de lo cual los puntos de división se multiplican por las medidas de las imágenes inversas de estos segmentos y se suman entre sí. A medida que el punto superior de la partición aumenta, el inferior disminuye y su diámetro tiende a cero, tales sumas tienden a la integral de Lebesgue.

Véase también

La integral de Lebesgue y la integral de Daniel equivalente , la integral de Young
Stieltjes integral
Integral múltiple de Riemann
integral impropia

Notas

↑ Fikhtengolts, 2003 , pág. 107.
↑ 1 2 Riemann (artículo), 1868 , p. 101-103.
↑ Fikhtengolts, 2003 , pág. 104.
↑ Arkhipov, 1999 , pág. 218.
↑ Arkhipov, 1999 , pág. 190.
↑ Arkhipov, 1999 , pág. 204-205.
↑ Arkhipov, 1999 , pág. 208.
↑ Ilyin, 1985 , pág. 337.
↑ Arkhipov, 1999 , pág. 189.
↑ Ilyin, 1985 , pág. 338.
↑ Arkhipov, 1999 , pág. 186-188.
↑ Kudryavtsev, 2003 , pág. 539.
↑ Kudryavtsev, 2003 , pág. 553.
↑ 1 2 3 Kudryavtsev, 2003 , pág. 556.
↑ Arkhipov, 1999 , pág. 224.
↑ Arkhipov, 1999 , pág. 181.
↑ Arkhipov, 1999 , pág. 180.
↑ Arkhipov, 1999 , pág. 185.
↑ Arkhipov, 1999 , pág. 205.
↑ Arkhipov, 1999 , pág. 186.
↑ Arkhipov, 1999 , pág. 187.
↑ Kudryavtsev, 2003 , pág. 563.
↑ Kudryavtsev, 2003 , pág. 567.
↑ Kudryavtsev, 2003 , pág. 548.
↑ Kudryavtsev, 2003 , pág. 549.
↑ Arkhipov, 1999 , pág. 198.
↑ 1 2 3 4 Kudryavtsev, 2003 , pág. 573.
↑ Kudryavtsev, 2003 , pág. 574.
↑ 1 2 Kudryavtsev, 2003 , pág. 578.
↑ Arkhipov, 1999 , pág. 203.
↑ Kudryavtsev, 2003 , pág. 571.
↑ 1 2 Kudryavtsev, 2003 , pág. 572.
↑ Arkhipov, 1999 , pág. 179.
↑ 1 2 Kudryavtsev, 2003 , pág. 576.
↑ Kudryavtsev, 2003 , pág. 577.
↑ 1 2 Fikhtengolts, 2003 , p. 125.
↑ Kudryavtsev, 2003 , pág. 579.
↑ 1 2 3 Kudryavtsev, 2003 , pág. 587.
↑ Fikhtengolts, 2003 , pág. 126.
↑ Fikhtengolts, 2003 , pág. 127.
↑ Kudryavtsev, 2003 , pág. 583.
↑ Fikhtengolts, 2003 , pág. 132.
↑ 1 2 Arkhipov, 1999 , pág. 215.
↑ Kudryavtsev, 2003 , pág. 588.
↑ Kudryavtsev, 2003 , pág. 590.
↑ Kudryavtsev, 2003 , pág. 591.
↑ Kudryavtsev, 2003 , pág. 596.
↑ 1 2 Kudryavtsev, 2003 , pág. 600.
↑ Kudryavtsev, 2003 , pág. 593.
↑ Kudryavtsev, 2003 , pág. 601.
↑ 1 2 3 Vilenkin, 1979 , pág. 72.
↑ Cauchy, 1831 .
↑ Riemann (libro), 1914 .
↑ Arkhipov, 1999 , pág. 196.
↑ Kudryavtsev, 2003 , pág. 595.
↑ Kudryavtsev, 2003 , pág. 607.

Literatura

VIRGINIA. Ilyin , V. A. Sadovnichy , Bl. H. Sendov . Análisis matemático. Curso inicial. - 2º, revisado. - M. : Editorial de la Universidad de Moscú, 1985. - T. 1. - 660 p.
Fikhtengol'ts G. M. Curso de cálculo diferencial e integral en tres volúmenes. - Ed. 8vo. - M. : Nauka, 2003. - T. 2. - 864 p.
Arkhipov G.I. , Sadovnichiy V.A. , Chubarikov V.N. Conferencias sobre Análisis Matemático / Ed. V. A. Sadovnichy. - 1ª ed. - M. : Escuela Superior , 1999. - 695 p. - ISBN 5-06-003596-4 .
Kudryavtsev L. D. Curso de Análisis Matemático. En 3 tomos. T. 1. Cálculo diferencial e integral de funciones de una variable.- M. : Drofa, 2003. - 704 p.
Vilenkin N.Ya., Kunitskaya E.S., Mordkovich A.G. Análisis matemático. Cálculo integral. - M. : Prosveschenie, 1979. - 176 p.
Cauchy AL Sur la mécanique céleste et sur un nouveau calcul appelé calcul des limites. — Turín, 1831.
Riemann B. Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe // Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. - 1868. - Vol. 13.- Pág. 87-132.
Riemann B. Sobre la posibilidad de expresar una función mediante una serie trigonométrica // Descomposición de funciones en series trigonométricas / Lejeune-Diriclet, Riemann, Lipschitz; Por. G. A. Gruzintsev y S. N. Bernstein. - Jarkov: Sociedad Matemática de Jarkov, 1914. - (Biblioteca Matemática de Jarkov. Serie B; No. 2).

Enlaces

Tablas de integrales indefinidas y definidas - EqWorld: Mundo de ecuaciones matemáticas.
Definición rigurosa de la integral de Riemann .

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