Métrica de Schwarzschild

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La métrica de Schwarzschild es la única solución exacta esféricamente simétrica de las ecuaciones de Einstein sin una constante cosmológica en el espacio vacío debido al teorema de Birkhoff . En particular, esta métrica describe con precisión el campo gravitatorio de un agujero negro sin carga y sin rotación solitario y el campo gravitatorio fuera de un cuerpo masivo solitario con simetría esférica. Nombrado en honor a Karl Schwarzschild , quien lo descubrió por primera vez en 1916 .

Esta solución es estática, por lo que las ondas gravitatorias esféricas son imposibles.

Tipo de métrica

Coordenadas de Schwarzschild

En las llamadas coordenadas de Schwarzschild , de las cuales las 3 últimas son similares a las esféricas , el tensor métrico de la parte físicamente más importante del espacio-tiempo de Schwarzschild con topología (el producto de una región del espacio euclidiano bidimensional y una esfera bidimensional) tiene la forma $(t,\;r,\;\theta ,\;\varphi )$ $R^{2}\veces S^{2}$

g={\begin{bmatrix}\left(1-\displaystyle {\frac {r_{s}}{r}}\right)&0&0&0\\0&-\left(1-\displaystyle {\frac {r_{s }}{r}}\right)^{-1}&0&0\\0&0&-r^{2}&0\\0&0&0&-r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}.

El intervalo en esta métrica se escribe como

ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2} }{\left(1-\displaystyle {\frac {r_{s}}{r}}\right)}}-r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2} \theta d\varphi ^{2}\right),

donde está el llamado radio de Schwarzschild , o radio gravitacional , es la masa que crea el campo gravitatorio (en particular, la masa de un agujero negro), es la constante gravitatoria , es la velocidad de la luz . En este caso, el área de cambio de coordenadas con la identificación de puntos y , como en las coordenadas esféricas ordinarias . $r_{s}={\frac{2GM}{c^{2}}}$ $METRO$ $GRAMO$ $C$ $-\infty <t<\infty ,\ r_{s}<r<\infty ,\ 0\leq \theta \leq \pi ,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi$ $(t,r,\theta,\varphi =0)$ $(t,r,\theta ,\varphi =2\pi )$

La coordenada no es la longitud del radio vector, pero se ingresa para que el área de la esfera en la métrica dada sea igual a . En este caso, la "distancia" entre dos eventos con coordenadas diferentes (pero idénticas) está dada por la integral $r$ $t=\mathrm {const},\;r=r_{0}$ $4\pi r_{0}^{2}$ $r$

\int \limits _{r_{1}}^{r_{2}}{\frac {dr}{\sqrt {1-\displaystyle {\frac {r_{s}}{r}}}}}>r_ {2}-r_{1},\qquad r_{2},\;r_{1}>r_{s}.

En o , la métrica de Schwarzschild tiende (en cuanto a componentes) a la métrica de Minkowski en coordenadas esféricas, de modo que lejos de ser un cuerpo masivo, el espacio-tiempo resulta ser aproximadamente pseudo-euclidiano de firma . Dado que at y aumenta monótonamente con el aumento de , entonces el tiempo propio en los puntos cercanos al cuerpo "fluye más lentamente" que lejos de él, es decir, la desaceleración del tiempo gravitacional se produce en los cuerpos masivos. $M\a 0$ $r\to\infty$ $METRO$ $(1.3)$ $g_{00}=1-{\frac{r_{s}}{r}}\leqslant 1$ $r>r_{s}$ $g_{00}$ $r$

Características diferenciales

Para un campo gravitacional centralmente simétrico en el vacío (y este es el caso de la métrica de Schwarzschild), podemos poner:

g_{00}=e^{\nu },\quad g_{11}=-e^{\lambda };\quad \lambda +\nu =0,\quad e^{-\lambda }= e^{\nu}=1-{\frac{r_{s}}{r}}.

Entonces los símbolos de Christoffel independientes distintos de cero tienen la forma

\Gamma _{11}^{1}={\frac {\lambda _{r}^{\prime )){2)),\quad \Gamma _{10}^{0}={\frac {\ nu _{r}^{\prime }}{2}},\quad \Gamma _{33}^{2}=-\sin \theta \cos \theta ,

\Gamma _{11}^{0}={\frac {\lambda _{t}^{\prime}}{2}}e^{\lambda -\nu},\quad \Gamma _{22}^ {1}=-re^{-\lambda },\quad \Gamma _{00}^{1}={\frac {\nu _{r}^{\prime }}{2}}e^{\ nu-\lambda},

\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}={\frac {1}{r)),\quad \Gamma _{23}^{3}=\nombre del operador {ctg } \,\theta ,\quad \Gamma _{00}^{0}={\frac {\nu _{t}^{\prime }}{2}},

\Gamma _{10}^{1}={\frac {\lambda _{t}^{\prime )){2)),\quad \Gamma _{33}^{1}=-r\sin ^ {2}\theta\,e^{-\lambda}.

Los invariantes del tensor de curvatura son

I_{1}=\left({\frac {r_{s}}{2r^{3}}}\right)^{2},\quad I_{2}=\left({\frac {r_{s }}{2r^{3}}}\derecho)^{3}.

El tensor de curvatura es del tipo Petrov . $\matemáticas {D}$

Defecto de masa

Si hay una distribución esféricamente simétrica de materia de "radio" (en términos de coordenadas) , entonces la masa total del cuerpo se puede expresar en términos de su tensor de energía-momento mediante la fórmula $a$

m={\frac {4\pi }{c^{2}}}\int \limits _{0}^{a}T_{0}^{0}r^{2}\,dr.

En particular, para una distribución estática de la materia , donde es la densidad de energía en el espacio. Considerando que el volumen de la capa esférica en las coordenadas que hemos elegido es igual a $T_{0}^{0}=\varepsilon$ $\varepsilon$

dV=4\pi r^{2}{\sqrt {g_{11}}}\,dr>4\pi r^{2}\,dr,

lo conseguimos

m=\int \limits _{0}^{a}{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}4\pi r^{2}\,dr<\int \limits _{V}{ \frac{\varepsilon}{c^{2}}}\,dV.

Esta diferencia expresa el defecto gravitatorio de la masa corporal . Se puede decir que parte de la energía total del sistema está contenida en la energía del campo gravitatorio, aunque es imposible localizar esta energía en el espacio.

Singularidad en métrica

A primera vista, la métrica contiene dos características: at y at . De hecho, en coordenadas de Schwarzschild, una partícula que cae sobre un cuerpo necesitará un tiempo infinitamente largo para llegar a la superficie , sin embargo, la transición, por ejemplo, a las coordenadas de Lemaitre en el marco de referencia comomóvil muestra que desde el punto de vista del incidente observador, no hay ninguna característica de espacio-tiempo en esta superficie, y tanto la superficie como la región serán alcanzadas en un tiempo propio finito . $r=0$ $r=r_{s}$ $t$ $r=r_{s}$ $r\aproximadamente 0$

La singularidad real de la métrica de Schwarzschild se observa sólo en , donde las invariantes escalares del tensor de curvatura tienden a infinito . Esta característica ( singularidad ) no se puede eliminar cambiando el sistema de coordenadas. $r \ a 0$

Horizonte de eventos

La superficie se llama horizonte de sucesos . Con una mejor elección de coordenadas, por ejemplo, en las coordenadas de Lemaitre o Kruskal, se puede demostrar que ninguna señal puede salir del agujero negro a través del horizonte de sucesos. En este sentido, no sorprende que el campo fuera del agujero negro de Schwarzschild dependa de un solo parámetro: la masa total del cuerpo. $r=r_{s}$

Coordenadas de Kruskal

Se puede intentar introducir coordenadas que no den una singularidad en . Se conocen muchos de estos sistemas de coordenadas, y el más común de ellos es el sistema de coordenadas de Kruskal, que cubre con un mapa toda la variedad máximamente extendida que satisface las ecuaciones de vacío de Einstein (sin la constante cosmológica). Este espacio-tiempo más grande generalmente se denomina espacio de Schwarzschild (máximamente extendido) o (más raramente) espacio de Kruskal ( diagrama de Kruskal-Szekeres ). La métrica en coordenadas Kruskal tiene la forma $r=r_{s}$ ${\ tilde {\ matemáticas {M}}}$

ds^{2}=-F(u,v)^{2}\,du\,dv+r^{2}(u,v)(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\ theta \,d\varphi ^{2}),\qquad \qquad (2)

donde , y la función está definida (implícitamente) por la ecuación . $F={\frac {4r_{s}^{3}}{r}}e^{-r/r_{s}}$ ${\ estilo de visualización r (u, v)}$ $(1-r/r_{s})e^{r/r_{s}}=uv$

El espacio es maximal , es decir, ya no se puede incrustar isométricamente en un espacio-tiempo mayor, y el área en coordenadas de Schwarzschild ( ) es solo una parte (esta es el área - área I en la figura). Un cuerpo que se mueve más lento que la luz -la línea de universo de tal cuerpo será una curva con un ángulo de inclinación con respecto a la vertical menor que , véase la curva en la figura- puede partir . En este caso, cae en la región II, donde . Como puede verse en la figura, ya no podrá salir de esta zona y volver a ella (para ello habría que desviarse más de uno de la vertical, es decir, superar la velocidad de la luz). La Región II es, por lo tanto, un agujero negro. Su límite (polilínea, ) es, en consecuencia, el horizonte de sucesos. ${\ tilde {\ matemáticas {M}}}$ $r>r_{s}$ ${\ matemáticas {M}}$ ${\ tilde {\ matemáticas {M}}}$ $v>0,\r>r_{s}$ $45^{\círculo}$ $\gama$ ${\ matemáticas {M}}$ ${\ estilo de visualización r<r_{s))$ $r>r_{s}$ $45^{\círculo}$ $v\geqslant 0,\ r=r_{s}$

Hay un dominio III más asintóticamente plano en el que también se pueden introducir coordenadas de Schwarzschild. Sin embargo, esta región no tiene relación causal con la región I, lo que imposibilita obtener información sobre ella, quedando fuera del horizonte de eventos. En el caso de un colapso real de un objeto astronómico, las regiones IV y III simplemente no surgen, ya que el lado izquierdo del diagrama presentado debe ser reemplazado por un espacio-tiempo no vacío lleno de materia colapsada. ${\ tilde {\ matemáticas {M}}}$

Observamos varias propiedades notables del espacio de Schwarzschild extendido al máximo : ${\ Displaystyle {\ tilde {\ mathcal {M}}}}$

Es singular: la coordenada de un observador que cae por debajo del horizonte decrece y tiende a cero cuando su tiempo propio tiende a algún valor finito . Sin embargo, su línea de mundo no se puede extender al área , ya que no hay puntos en este espacio. Así, el destino del observador nos es conocido sólo hasta cierto punto de su (propio) tiempo. $r$ $\tau$ $\tau_{0}$ $\tau \geqslant \tau_{0}$ $r=0$
Aunque el espacio es estático (claro que la métrica (1) no depende del tiempo), el espacio no lo es. Esto se formula más estrictamente de la siguiente manera: el vector Killing , que es temporal en , se convierte en espacial en las regiones II y IV del espacio extendido . ${\ matemáticas {M}}$ ${\ tilde {\ matemáticas {M}}}$ ${\ matemáticas {M}}$ ${\ tilde {\ matemáticas {M}}}$
La región III también es isométrica . Por lo tanto, el espacio de Schwarzschild extendido al máximo contiene dos "universos": el "nuestro" (este ) y otro del mismo. La región II dentro del agujero negro que los conecta se llama puente de Einstein-Rosen . Un observador que parta de I y se mueva más lento que la luz no podrá ingresar al segundo universo (ver Fig. 1), sin embargo, en el intervalo de tiempo entre cruzar el horizonte y golpear la singularidad, podrá verlo . Esta estructura del espacio-tiempo, que persiste e incluso se vuelve más compleja cuando se consideran agujeros negros más complejos, ha dado lugar a numerosas especulaciones sobre posibles "otros" universos y viajes a través de agujeros negros en ellos tanto en la literatura científica como en la ciencia ficción (ver Moléculas ). madrigueras ). ${\ matemáticas {M}}$ ${\ matemáticas {M}}$

Movimiento orbital

Historia de la adquisición e interpretación

La métrica de Schwarzschild, actuando como un objeto de gran interés teórico, es también una especie de herramienta para los teóricos, aparentemente simple, pero que sin embargo conduce inmediatamente a preguntas difíciles.

A mediados de 1915, Einstein publicó las ecuaciones preliminares de la teoría de la gravedad . Estas aún no eran las ecuaciones de Einstein, pero ya coincidían con las finales en el caso del vacío . Schwarzschild integró las ecuaciones de simetría esférica para el vacío en el período comprendido entre el 18 de noviembre de 1915 y el final del año. El 9 de enero de 1916, Einstein, a quien Schwarzschild se acercó por la publicación de su artículo en el Berliner Berichte, le escribió que "leyó su obra con gran pasión" y que "estaba asombrado de que la verdadera solución a este problema pueda expresarse de tal manera". fácilmente" - Einstein inicialmente dudó si era posible obtener una solución a ecuaciones tan complejas. $R_{{ij}}=T_{{ij}}$ $T_{{ij}}=0$

Schwarzschild completó su trabajo en marzo, obteniendo también una solución interna estática esféricamente simétrica para un líquido de densidad constante. En este momento, le cayó encima una enfermedad ( pénfigo ), que lo llevó a la tumba en mayo. Desde mayo de 1916, I. Droste, alumno de G. A. Lorentz, realizando investigaciones en el marco de las ecuaciones de campo finales de Einstein, obtuvo una solución al mismo problema mediante un método más simple que el de Schwarzschild. También posee el primer intento de analizar la divergencia de la solución que tiende a la esfera de Schwarzschild.

Siguiendo a Droste, la mayoría de los investigadores comenzaron a estar satisfechos con varias consideraciones destinadas a probar la impenetrabilidad de la esfera de Schwarzschild. Al mismo tiempo, las consideraciones de carácter teórico se sustentaron en un argumento físico, según el cual “esto no existe en la naturaleza”, ya que no existen cuerpos, átomos, estrellas, cuyo radio sería menor que el radio de Schwarzschild. .

Para K. Lanczos, así como para D. Gilbert, la esfera de Schwarzschild se convirtió en una ocasión para reflexionar sobre el concepto de “singularidad”, para P. Painlevé y la escuela francesa fue objeto de controversia, a la que se sumó Einstein.

Durante el coloquio de París de 1922, organizado con motivo de la visita de Einstein, no solo se planteó la idea de que el radio de Schwarzschild no sería singular, sino también una hipótesis que anticipaba lo que ahora se denomina colapso gravitatorio .

El hábil desarrollo de Schwarzschild fue sólo un éxito relativo. Ni su método ni su interpretación fueron adoptados. De su obra no se ha conservado casi nada, salvo el resultado “desnudo” de la métrica, a la que se asoció el nombre de su creador. Pero las cuestiones de interpretación y, sobre todo, la cuestión de la "singularidad de Schwarzschild" aún no estaban resueltas. Comenzó a cristalizar el punto de vista de que esta singularidad no importa. Dos caminos conducían a este punto de vista: por un lado, el teórico, según el cual la "singularidad de Schwarzschild" es impenetrable, y por otro lado, el empírico, consistente en que "ésta no existe en naturaleza." Este punto de vista se difundió y se hizo dominante en toda la literatura especializada de la época.

La siguiente etapa está relacionada con el estudio intensivo de la gravedad al comienzo de la "edad de oro" de la teoría de la relatividad.

Literatura

K. Schwarzschild Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie // Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 1. - 1916. - 189-196.
Rus. trad.: Schwarzschild K. Sobre el campo gravitatorio de una masa puntual en la teoría de Einstein // Albert Einstein y la teoría de la gravitación. M.: Mir, 1979. S. 199-207.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Teoría de campos. - 7ª edición, revisada. — M .: Nauka , 1988. — 512 p. - (" Física Teórica ", Tomo II). — ISBN 5-02-014420-7 .
Droste J. Het van een enkel centrum in Einstein s theorie der zwaartekracht en de beweging van een stoffelijk punt in dat veld // Versl. Gev Vergad. Akád. Ámsterdam. - 1916. - D.25. - Biz.163-180.
Einstein A. En memoria de Karl Schwarzschild // Einstein A. Colección de artículos científicos. M.: Nauka, 1967. T. 4. S. 33-34.
SM Blinder . Centenario de la Relatividad General (1915-2015); La solución de Schwarzschild y los agujeros negros . - 2015. - arXiv : 1512.02061 .

Véase también

Enlaces

Las principales conclusiones de la teoría de la relatividad.

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