Período (geometría algebraica)

Un período en geometría algebraica es un número real que se puede expresar como el volumen de una región dada por un sistema de desigualdades polinómicas con coeficientes racionales . La suma , la diferencia y el producto de períodos también son períodos, por lo que el conjunto de todos los períodos forma un anillo , por lo que se estudia el anillo de período . Un número complejo se llama período si tanto su parte real como su parte imaginaria son períodos. $\mathbb{R} ^{n}$

El ejemplo clásico de un período es el número , que es el área del círculo unitario . El anillo de período incluye todos los números algebraicos y muchos números trascendentales conocidos , en particular, los períodos son el logaritmo natural de cualquier número algebraico ( la función gamma , para cualquier número natural y ), los valores de integrales elípticas de argumentos racionales, los valores de la función zeta de Riemann de argumentos enteros. La constante de Chaitin es un ejemplo de un número que no es un período. $\Pi$ $x^{2}+y^{2}\leqslant 1$ ${\ estilo de visualización \ gamma (p/q)^{q))$ $pags$ $q$ $\Omega$

Cualquier período es computable , por lo tanto también un número aritmético ; mientras que es posible construir un número computable que no sea un período (por ejemplo, utilizando el método de las diagonales ). El conjunto de los períodos, así como el conjunto de todos los números que no son períodos, es denso en y en ; el anillo del período es un conjunto contable , y su complemento anterior o anterior es incontable . El orden en el conjunto de los periodos reales es isomorfo al orden en el conjunto de los números racionales. $\matemáticas {R}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C}}$ $\matemáticas {R}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C}}$

Hay una serie de problemas abiertos asociados con los períodos, que incluyen:

no se sabe si el anillo de punto es un campo ;
no se sabe si los números , o ( constante de Euler-Mascheroni ) son períodos; $mi$ $1/\ pi$ $\gama$
no se conoce ningún ejemplo natural (es decir, no construido especialmente para este propósito) de un número computable que no sea un período;
no existe ningún algoritmo conocido que pueda determinar si dos periodos dados por sus sistemas de desigualdades son iguales. Tampoco se sabe si este problema tiene solución algorítmica .

Enlaces

PlanetMath : Período
M. Kontsevich, D. Zagier , Períodos

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