Secuencia periódica

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Una secuencia periódica es una secuencia en la que los mismos elementos se repiten una y otra vez:

a_{1},a_{2},\puntos,a_{p},\,a_{1},a_{2},\puntos,a_{p},\,a_{1},a_{ 2},\puntos,a_{p},\puntos

El número p de elementos que se repiten se llama período [1] .

Definición

Una secuencia periódica (con período p) o p - secuencia periódica es una secuencia que satisface la relación para todos los valores de n [1] [2] [3] [4] [5] . Si una secuencia se ve como una función cuyo dominio es el conjunto de números naturales , entonces una secuencia periódica es solo un tipo especial de función periódica . El p más pequeño para el cual una secuencia periódica es p - periódica se llama su período más pequeño [1] [6] . $a_{1},a_{2},a_{3},\puntos$ $a_{n+p}=a_{n}$

Ejemplos

Cualquier función constante es 1 -periódica [4] .

La secuencia es periódica con el período más pequeño 2 [2] . ${\ estilo de visualización 1, 2, 1, 2, 1, 2, \ puntos}$

La secuencia de dígitos en representación decimal 1/7 es una secuencia periódica con un período de 6:

{\frac {1}{7}}=0{,}142857\,142857\,142857\,\ldots

En general, la secuencia de dígitos en la representación decimal de cualquier número racional es, en última instancia, periódica (ver más abajo) [7] .

La secuencia de potencias −1 es periódica con período dos:

-1,1,-1,1,-1,1,\ldots

En general, la secuencia de potencias de cualquier raíz de unidad es periódica. Lo mismo es cierto para las potencias de cualquier elemento de orden finito en el grupo .

Un punto periódico para una función f : X → X es un punto x cuya órbita

x,\,f(x),\,f(f(x)),\,f^{3}(x),\,f^{4}(x),\,\ldots

es una sucesión periódica. Aquí significa la composición de n veces de la función f aplicada a x [6] . Los puntos periódicos juegan un papel importante en la teoría de los sistemas dinámicos . Cualquier función de un conjunto finito sobre sí mismo tiene un punto periódico. Encontrar un ciclo es una tarea algorítmica de encontrar tal punto. $f^{n}(x)$

Identidades

Sumas parciales

\sum _{n=1}^{kp+m}a_{n}=k\cdot \sum _{n=1}^{p}a_{n}+\sum _{n=1} ^{m}a_{n}

Donde k y m<p son números naturales.

Obras parciales

\prod _{n=1}^{kp+m}a_{n}=({\prod _{n=1}^{p}a_{n)))^{k}\cdot \prod _{n=1}^{m}a_{n}

Donde k y m<p son números naturales.

Secuencias periódicas 0, 1

Cualquier secuencia periódica se puede construir mediante la suma, resta, multiplicación y división de elementos de secuencias periódicas que consisten en ceros y unos. Las secuencias periódicas de ceros y unos se pueden expresar en términos de sumas de funciones trigonométricas:

\sum _{k=1}^{1}\cos(-\pi {\frac {n(k-1)}{1)))/1=1,1,1,1,1, 1,1,1,1...

\sum _{k=1}^{2}\cos(2\pi {\frac {n(k-1)}{2)))/2=0,1,0,1,0, 1,0,1,0...

\sum _{k=1}^{3}\cos(2\pi {\frac {n(k-1)}{3)))/3=0,0,1,0,0, 1,0,0,1,0,0,1,0,0,1...

...

\sum _{k=1}^{N}\cos(2\pi {\frac {n(k-1)}{N)))/N=0,0,0...,1

secuencia con periodo N

Generalizaciones

Una secuencia es, en última instancia, periódica si puede hacerse periódica descartando algún conjunto finito de términos desde el principio. Por ejemplo, la secuencia de dígitos en la representación decimal del número 1/56 es, en última instancia, periódica:

1/56 = 0,017 857142 857142 857142 ... [1] .

Una secuencia es asintóticamente periódica si sus términos tienden a una secuencia periódica. Es decir, una secuencia es asintóticamente periódica si existe una secuencia periódica para la cual ${\ estilo de visualización x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, \ puntos}$ $a_{1},a_{2},a_{3},\puntos$

\lim _{n\rightarrow \infty}x_{n}-a_{n}=0.

[4] [8] [9]

Por ejemplo, la secuencia

1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 4/5, ...

es asintóticamente periódica, ya que sus términos tienden a la secuencia periódica 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...

Notas

↑ 1 2 3 4 En última instancia secuencia periódica - Enciclopedia de Matemáticas . encyclopediaofmath.org (7 de febrero de 2011). Consultado el 13 de agosto de 2021. Archivado desde el original el 11 de diciembre de 2021. (indefinido)
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Secuencia periódica . mundomatemático.wolfram.com . Consultado el 13 de agosto de 2021. Archivado desde el original el 13 de agosto de 2021.
↑ Bosma, Wieb Complejidad de secuencias periódicas . www.math.ru.nl._ _ Consultado el 13 de agosto de 2021. Archivado desde el original el 17 de febrero de 2022. (indefinido)
↑ 1 2 3 Janglajew, Schmeidel, 2012 , pág. 195.
↑ Menezes, van Oorschot, Vanstone, 2018 .
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Período mínimo . mundomatemático.wolfram.com . Consultado el 13 de agosto de 2021. Archivado desde el original el 13 de agosto de 2021.
↑ Hosch, William L. Número racional . Enciclopedia Británica (1 de junio de 2018). Consultado el 13 de agosto de 2021. Archivado desde el original el 11 de diciembre de 2021.
↑ Chen, 2017 .
↑ Shlezinger, Todros, 2019 , pág. 260–271.

Literatura

Klara Janglajew, Ewa Schmeidel. Periodicidad de soluciones de ecuaciones en diferencias lineales no homogéneas // Avances en ecuaciones en diferencias. - 2012. - Noviembre ( vol. 2012 , número 1 ). — ISSN 1687-1847 . doi : 10.1186 / 1687-1847-2012-195 .
Alfred J. Menezes, Paul C. van Oorschot, Scott A. Vanstone. Manual de Criptografía Aplicada . - CRC Press, 2018. - ISBN 978-0-429-88132-9 .
Sui Sun Cheng. Nuevos desarrollos en ecuaciones en diferencias y aplicaciones: Actas de la Tercera Conferencia Internacional sobre Ecuaciones en Diferencias . - Routledge, 2017. - ISBN 978-1-351-42880-4 .
Nir Shlezinger, Koby Todros. Análisis de rendimiento de filtros LMS con señales cicloestacionarias no gaussianas // Procesamiento de señales. - 2019. - Enero ( vol. 154 ). — ISSN 0165-1684 . -doi : 10.1016/ j.sigpro.2018.08.008 . -arXiv : 1708.00635 . _

Secuencias y filas
Secuencias	Secuencia numérica Secuencia fundamental Secuencia recurrente lineal números de Fibonacci números rizados Factorial Secuencia de ladrón secuencia de bruijn
Filas, básico	Suma de fila El resto de la fila Convergencia Condicional serie alterna Fila multisección
Series numéricas ( operaciones con series numéricas )	serie armónica Serie de Leibniz Una serie de cuadrados inversos. Una serie de números primos recíprocos. Fila de Dirichlet serie Mercator Fila Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
filas funcionales	Serie Taylor serie laurent series de Fourier Serie trigonométrica de Fourier serie trigonométrica serie de salchichas
Otros tipos de fila	serie de Neumann Fila de puiseux