Signo de Ermakov

El signo de Ermakov es un signo de convergencia de series numéricas con términos positivos, establecido por Vasily Ermakov . Su especificidad radica en el hecho de que supera a todos los demás signos con su "sensibilidad". Este trabajo fue publicado en los artículos: "La teoría general de la convergencia de series" ("Colección Matemática", 1870 y "Bullet. des sciences mathém. et astronom.", 2-me série, t. III), "A nuevo criterio de convergencia y divergencia infinitas series alternas" ("Universitetskie Izvestia de la Universidad de St. Vladimir" para 1872).

Redacción

Deje que la función realice: $f(x)$

$f(x)>0\;\para todo x$ (la función solo acepta valores positivos);
la función decrece monótonamente como . $f(x)$ $x\geqslant 1$

Entonces la serie converge si se cumple la siguiente desigualdad para: $\sum _{{n=1}}^{\infty}f(n)$ $x\geqslant x_{0}$

\varepsilon (x)={\frac {e^{x}\cdot f(e^{x})}{f(x)}}\leqslant \lambda

donde _ $\lambda<1$

Si para , entonces la serie diverge. $\varepsilon(x)\geqslant 1$ $x\geqslant x_{0}$

Prueba [1]

1. Sea válida la siguiente desigualdad:

{\frac {e^{x}\cdot f(e^{x})}{f(x)}}\leqslant \lambda .

Multiplicamos ambos lados de esta desigualdad por e integramos usando la sustitución : $f(x)$ $t=e^{u}$

\int \limits_{{e^{{x_{0}}}}}^{{e^{x}}}f(t)\,dt=\int \limits_{{x_{0}}} ^{x}f(e^{u})\cdot e^{u}\,du\leqslant \lambda \int \limits _{{x_{0}}}^{x}f(t)\,dt ,

de aquí

(1-\lambda)\int \limits_{{e^{{x_{0}}}}}^{{e^{x}}}f(t)\,dt\leqslant \lambda \left(\ int \limits _{{x_{0}}}}^{x}f(t)\,dt-\int \limits _{{e^{{x_{0}}}}}^{{e^{ x }}}f(t)\,dt\right)\leqslant \lambda \left(\int \limits _{{x_{0}}}^{{e^{{x_{0}}}}}f ( t)\,dt-\int \limits _{x}^{{e^{x}}}f(t)\,dt\right)\leqslant \lambda \int \limits _{{x_{0} } }^{{e^{{x_{0}}}}}f(t)\,dt,

ya que el sustraendo en los últimos paréntesis es positivo. Por lo tanto, dividiendo la desigualdad por , obtenemos: $e^{x}>x$ $1-\lambda$

\int \limits _{{e^{{x_{0}}}}}^{{e^{x}}}f(t)\,dt\leqslant {\frac {\lambda }{(1-\ lambda )}}\int \limits _{{x_{0}}}^{{e^{{x_{0}}}}}f(t)\,dt.

Sumando la integral a ambos lados , obtenemos $\int \limits _{{x_{0}}}^{{e^{{x_{0}}}}}\,f(t)dt$

\int \limits _{{x_{0}}}^{{e^{x}}}f(t)\,dt\leqslant {\frac {1}{(1-\lambda )))\int \ límites _{{x_{0}}}^{{e^{{x_{0}}}}}f(t)\,dt=L.

Considerando que , en $e^{x}>x$ $x\geqslant x_{0}$

\int \limits _{{x_{0}}}^{x}f(t)\,dt\leqslant L.

Dado que la integral aumenta con el aumento de y, existe un límite finito para ella en : $X$ $x\a\infty$

\int \limits _{{x_{0}}}^{\infty }f(t)\,dt\leqslant L.

Dado que esta integral converge, según la prueba integral de Cauchy-Maclaurin , la serie también converge. $\sum _{{n=1}}^{\infty}f(n)$

2. Ahora supongamos que se cumple la siguiente desigualdad:

{\frac {e^{x}\cdot f(e^{x})}{f(x)}}\geqslant 1.

Multiplicando ambas partes de esta desigualdad por e integrando, usando la sustitución en el lado izquierdo , obtenemos: $f(x)$ $t=e^{u}$

\int \limits _{{{e^{{x_{0}}}}}^{{e^{x}}}f(t)\,dt\geqslant \int \limits _{{x_{0}} }^{x}f(t)\,dt.

Sumamos la integral a ambos lados : $\int \limits _{x}^{{e^{{x_{0}}}}}f(t)\,dt$

\int \limits_{{x}}^{{e^{x}}}f(t)\,dt\geqslant \int \limits_{{x_{0}}}^{{e^{{x_ {0}}}}}f(t)\,dt=\gamma.

Porque , entonces . Ahora definimos la secuencia de la siguiente manera: $x_{0}<e^{{x_{0}}}$ $\gamma >0$ $\{x_i\}$

x_{i}=e^{{x_{{i-1}}}},\;\;i=0,\;1,\;\ldots ,\;n,\;\ldots

Usando esta secuencia, la última desigualdad se puede escribir como:

\int \limits _{{x_{{i-1}}}}^{{x_{i}}}f(t)\,dt\geqslant \gamma .

Sumamos esta integral sobre : $i=0,\;1,\;\ldots,\;n$

\int \limits_{{x_{0}}}^{{x_{n}}}f(t)\,dt=\sum_{{i=1}}^{n}\int \limits__ {x_{{i-1}}}}^{{x_{i}}}f(t)\,dt\geqslant n\gamma ,

es decir, esta integral es ilimitada para . Es por eso: $n\to\infty$

\int \limits_{{x_{0}}}^{\infty}f(t)\,dt=\lim_{{x\to \infty}}\int \limits_{{x_{0}} }^{x}f(t)\,dt=+\infty .

Dado que esta integral diverge, de acuerdo con la prueba integral de Cauchy-Maclaurin , la serie también diverge. ■ $\sum _{{n=1}}^{\infty}f(n)$

Formulación en forma límite

Si hay un límite:

\varepsilon =\lim _{{{x\to \infty}}\varepsilon (x),

entonces para , la serie converge y para , diverge. $\varepsilon<1$ $\varepsilon >1$

Generalización [2]

Deje que la función realice: $f(x)$

$f(x)>0\;\para todo x$ (la función solo acepta valores positivos);
la función decrece monótonamente como . $f(x)$ $x\geqslant 1$

Tomemos alguna función , que: ${\ estilo de visualización \ varphi (x)> x}$

$\varphi (x)>0\;\para todas las x$ (la función solo acepta valores positivos);
aumenta monótonamente;
tiene una variable continua.

Entonces la serie converge si se cumple la siguiente desigualdad: $\sum _{{n=1}}^{\infty}f(n)$

{\frac {\varphi (x)\cdot f(\varphi (x))}{f(x)))\leqslant \lambda <1

{\frac {\varphi (x)\cdot f(\varphi (x))}{f(x)))\geqslant 1

entonces la serie diverge.

Notas

↑ Fikhtengolts G. M. Curso de cálculo diferencial e integral . — M .: Nauka, 1970.
↑ A. D. Polianina, A. V. Manzhirov. Manual de Matemáticas para Ingenieros y Científicos. - 2006. - S. 340. - 1544 p. - ISBN 978-1420010510 .

Literatura

Signo de Ermakov - artículo de la Enciclopedia de Matemáticas

Enlaces

Weisstein, prueba de Eric W. Ermakoff (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .

Signos de convergencia de series.
Para todas las filas	Condición necesaria criterio de Cauchy	$\sum _{n=1}^{\infty}a_{n}$
Para series de signo positivo	Criterio principal Signo de comparación signo de kummer signo de Gauss signo radical de Cauchy característica integral Signo de D'Alembert signo de poder signo logarítmico Signo de Raabe Signo de Bertrand Signo de Jamet Signo de Schlömilch Signo de Ermakov Signo de Lobachevsky señal telescópica Signo de Sapogov
Para series alternas	signo de leibniz
Para filas de la forma $\sum _{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n}$	signo de abel Signo de Dedekind Signo de Dubois-Reymond signo de dirichlet
Para series funcionales	Signo de Weierstrass
Para la serie de Fourier	signo dini Signo de de la Vallée Poussin Signo de Jordania signo de jung signo de salem signo de lebesgue Signo de Lebesgue-Gergen Signo de Martsinkevich