El signo de Ermakov es un signo de convergencia de series numéricas con términos positivos, establecido por Vasily Ermakov . Su especificidad radica en el hecho de que supera a todos los demás signos con su "sensibilidad". Este trabajo fue publicado en los artículos: "La teoría general de la convergencia de series" ("Colección Matemática", 1870 y "Bullet. des sciences mathém. et astronom.", 2-me série, t. III), "A nuevo criterio de convergencia y divergencia infinitas series alternas" ("Universitetskie Izvestia de la Universidad de St. Vladimir" para 1872).
Deje que la función realice:
Entonces la serie converge si se cumple la siguiente desigualdad para: ,donde _ Si para , entonces la serie diverge. |
1. Sea válida la siguiente desigualdad:
Multiplicamos ambos lados de esta desigualdad por e integramos usando la sustitución :
de aquí
ya que el sustraendo en los últimos paréntesis es positivo. Por lo tanto, dividiendo la desigualdad por , obtenemos:
Sumando la integral a ambos lados , obtenemos
Considerando que , en
Dado que la integral aumenta con el aumento de y, existe un límite finito para ella en :
Dado que esta integral converge, según la prueba integral de Cauchy-Maclaurin , la serie también converge.
2. Ahora supongamos que se cumple la siguiente desigualdad:
Multiplicando ambas partes de esta desigualdad por e integrando, usando la sustitución en el lado izquierdo , obtenemos:
Sumamos la integral a ambos lados :
Porque , entonces . Ahora definimos la secuencia de la siguiente manera:
Usando esta secuencia, la última desigualdad se puede escribir como:
Sumamos esta integral sobre :
es decir, esta integral es ilimitada para . Es por eso:
Dado que esta integral diverge, de acuerdo con la prueba integral de Cauchy-Maclaurin , la serie también diverge. ■
Si hay un límite: entonces para , la serie converge y para , diverge. |
Deje que la función realice:
Tomemos alguna función , que:
Entonces la serie converge si se cumple la siguiente desigualdad: .Si ,entonces la serie diverge. |
Signos de convergencia de series. | ||
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Para todas las filas | ||
Para series de signo positivo |
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Para series alternas | signo de leibniz | |
Para filas de la forma | ||
Para series funcionales | ||
Para la serie de Fourier |
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