Signo de Schlömilch

El criterio de Schlömilch es un criterio de convergencia de series numéricas con términos positivos, establecido por Oskar Schlömilch .

Redacción

Si existe tal que, a partir de algún número , se cumple la siguiente desigualdad: $\delta>0$ $norte$

S_{n}=n\cdot \ln \left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right)\geqslant 1+\delta ,

entonces la serie converge. $\sum _{{n=1}}^{\infty}a_{n}$

Si , a partir de algunos , entonces la serie diverge. $S_{n}\leqslant 1$ $norte$

Formulación en forma límite

Si hay un límite :

{\displaystyle S=\lim _{n\to \infty}S_{n))

entonces para , la serie converge y para , diverge. ${\ estilo de visualización S> 1}$ ${\ estilo de visualización S <1}$

Comentario. Si , entonces el criterio de Schlömilch no responde a la pregunta sobre la convergencia de la serie. ${\ estilo de visualización S = 1}$

Comparación con el rasgo de Raabe

El signo de Schlömilch permite establecer la convergencia de algunas series para las que no es aplicable el signo de Raabe [1] . Por ejemplo, para una fila:

\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {4^{n-1}[(n-1)!]^{2}}{[(2n-1)!!] ^{2}}}

relación de miembros adyacentes:

{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}={\frac {4^{n-1}[(n-1)!]^{2}}{[(2n -1)!!]^{2))}\cdot {\frac {[(2n+1)!!]^{2)){4^{n}[n!]^{2))}={ \frac {1}{4}}\cdot {\frac {(2n+1)^{2}}{n^{2}}}=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{4n^{2}}}

;

el signo de Raabe para él da:

R_{n}=1+{\frac {1}{4n}}\xrightarrow {n\to \infty } 1

y el signo de Schlömilch:

S_{n}=n\cdot \ln \left(1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{4n^{2}}}\right)\xrightarrow {n \to \infty } 0

De manera similar, la prueba de Bertrand también confirma la convergencia de esta serie:

B_{n}={\frac {\ln n}{4n))\xrightarrow {n\to \infty } 0

Ejemplo de inaplicabilidad

Sin embargo, el signo de Schlömilch es menos sensible que el de Bertrand. Por ejemplo, no permite establecer la convergencia de la serie: [1]

\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {(n-1)!\cdot (n+2)!}{[(n+1)!]^{2))}

Para él, la razón de los términos vecinos:

{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}={\frac {(n-1)!\cdot (n+2)!}{[(n+1)!] ^{2}}}\cdot {\frac {[(n+2)!]^{2}}{n!\cdot (n+3)!}}={\frac {(n+2)^{ 2}}{n\cdot (n+3)}}=1+{\frac{n+4}{n^{2}+3n}}

El signo de Raabe para él da:

R_{n}=n\cdot {\frac {n+4}{n^{2}+3n))={\frac {n^{2}+4n}{n^{2}+3n }}\xrightarrow {n\to \infty} 1

así como el signo de Schlömilch:

S_{n}=n\cdot \ln \left(1+{\frac {n+4}{n^{2}+3n}}\right)\xrightarrow {n\to \infty } 1

Por otro lado, la prueba de Bertrand indica sin ambigüedad la convergencia de esta serie:

B_{n}=\ln n\cdot \left({\frac {n^{2}+4n}{n^{2}+3n))-1\right)={\frac {\ln n}{n+3}}\xrightarrow {n\to \infty} 0

Notas

↑ 1 2 Franciszek Prus-Wiśniowski, Comparación de las pruebas de Raabe y Schlömilch Archivado el 29 de enero de 2022 en Wayback Machine , Tatra Mt. Matemáticas. publ. 42 (2009), 119-130

Literatura

Subir Kumar Mukherjee. Teorema 15 // Primer Curso de Análisis Real (Inglés) . - Kolkata: Academic Publishers, 2009. - P. 190. - 383 p. — ISBN 9788189781903 .

Signos de convergencia de series.
Para todas las filas	Condición necesaria criterio de Cauchy	$\sum _{n=1}^{\infty}a_{n}$
Para series de signo positivo	Criterio principal Signo de comparación signo de kummer signo de Gauss signo radical de Cauchy característica integral Signo de D'Alembert signo de poder signo logarítmico Signo de Raabe Signo de Bertrand Signo de Jamet Signo de Schlömilch Signo de Ermakov Signo de Lobachevsky señal telescópica Signo de Sapogov
Para series alternas	signo de leibniz
Para filas de la forma $\sum _{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n}$	signo de abel Signo de Dedekind Signo de Dubois-Reymond signo de dirichlet
Para series funcionales	Signo de Weierstrass
Para la serie de Fourier	signo dini Signo de de la Vallée Poussin Signo de Jordania signo de jung signo de salem signo de lebesgue Signo de Lebesgue-Gergen Signo de Martsinkevich