Espacio proyectivo

Un espacio proyectivo sobre un campo $k$ es un espacio que consta de líneas ( subespacios unidimensionales ) de algún espacio lineal sobre un campo dado. Los espacios rectos se llaman puntos del espacio proyectivo. Esta definición puede generalizarse a un cuerpo arbitrario .En el caso de que el campo o , el espacio proyectivo correspondiente se llame real o complejo , respectivamente. $L(K)$ $L(K)$ $k$ $K=\mathbb{R}$ $K=\mathbb {C}$

Si tiene dimensión , entonces la dimensión del espacio proyectivo se denomina número , y el propio espacio proyectivo se denota y se denomina asociado con (para indicar esto, se adopta la notación ). $L$ $n+1$ $norte$ $KP^n$ $L$ $P(B)$

La transición de un espacio vectorial de dimensión al correspondiente espacio proyectivo se denomina proyectivización espacial . $L(K)$ $n+1$ $KP^n$ $L(K)$

Los puntos se pueden describir utilizando coordenadas homogéneas . $KP^n$

Definición como espacio cociente

Identificando los puntos donde es diferente de cero, obtenemos un conjunto de factores (por la relación de equivalencia ) $(x_{0},\ldots,x_{n})\sim (\lambda x_{0},\ldots,\lambda x_{n})$ $\lambda$ $\sim$

\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {R} ):=(\mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{\mathbf {0} \})/{\sim }

Los puntos del espacio proyectivo se denotan como , donde los números se denominan coordenadas homogéneas [1] . Por ejemplo, y denota el mismo punto en el espacio proyectivo. $[x_{0}:\ldots:x_{n}]$ $x_{yo}$ ${\ estilo de visualización [1: 2: 3]}$ ${\ estilo de visualización [2: 4: 6]}$

Definición axiomática

Un espacio proyectivo también se puede definir mediante un sistema de axiomas de tipo Hilbert . En este caso, un espacio proyectivo se define como un sistema formado por un conjunto de puntos , un conjunto de rectas y una relación de incidencia , que suele expresarse como “un punto se encuentra sobre una recta”, satisfaciendo los siguientes axiomas: $PAGS$ $L$ $yo$

Para cualesquiera dos puntos distintos, existe una única línea incidente a ambos puntos;
Cada línea es incidente a por lo menos tres puntos;
Si las rectas y se intersecan (tienen un punto incidente común), los puntos y se encuentran sobre la recta , y los puntos y se encuentran sobre la recta , entonces las rectas y se intersecan. $L$ $METRO$ $pags$ $q$ $L$ $s$ $r$ $METRO$ $pd$ ${\ estilo de visualización qr}$

Un subespacio de un espacio proyectivo es un subconjunto del conjunto tal que para cualquiera de este subconjunto todos los puntos de la línea pertenecen a . La dimensión de un espacio proyectivo es el mayor número tal que existe una cadena estrictamente creciente de subespacios de la forma $T$ $PAGS$ $p,q\en P$ $pq$ $T$ $PAGS$ $norte$

\varnada =X_{-1}\subconjunto X_{0}\subconjunto \cdots X_{n}=P

Clasificación

Dimensión 0: el espacio consta de un único punto.
Dimensión 1 ( línea proyectiva ): un conjunto de puntos arbitrario no vacío y la única línea en la que se encuentran todos estos puntos.
Dimensión 2 ( plano proyectivo ): en este caso, la clasificación es más compleja. Todos los planos de visión de algún cuerpo satisfacen el axioma de Desargues , pero también hay planos no desarguesianos . $KP^n$ $k$
Grandes dimensiones: De acuerdo con el teorema de Veblen -Young [2] , cualquier espacio proyectivo de dimensión mayor a dos puede obtenerse como una proyectivación de un módulo sobre algún anillo de división.

Definiciones y propiedades relacionadas

Sea un hiperplano en un espacio lineal . El espacio proyectivo se llama hiperplano proyectivo en . $METRO$ $L$ $P(M)\subconjunto P(L)$ $P(B)$
Hay una estructura de espacio afín natural en el complemento de un hiperplano proyectivo . $A=P(L)\barra invertida P(M)$
Por el contrario, tomando como base el espacio afín , se puede obtener un espacio proyectivo como afín, al que se denomina. puntos en el infinito. El espacio proyectivo se introdujo originalmente de esta manera. $A$
Sean y sean dos subespacios proyectivos. El conjunto se llama el casco proyectivo del conjunto y se denota por . [3] $P(L')$ $P(L'')$ $P(L' + L'')$ $P(L') \taza P(L'')$ $P(L' + L'') = \overline {P(L') \cup P(L'')}$

Paquete tautológico

Un paquete tautológico es un paquete vectorial cuyo espacio de paquete es un subconjunto del producto directo $\gamma ^{n}\dos puntos E\to \mathbb {R} P^{n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}\times \mathbb {R} ^{n+1))$

E(\gamma ^{n}):={\big \{}(\{\pm x\},v)\in \mathbb {R} P^{n}\times \mathbb {R} ^{n+1}:v=\lambda x,\;\lambda \in \mathbb {R} {\grande \))

y la capa es una línea real . La proyección canónica mapea la línea a través de los puntos al punto correspondiente en el espacio proyectivo. Además , este paquete no es trivial . Cuando el espacio de paquetes es la cinta de Möbius . $\matemáticas {R}$ $\gamma^n$ $\pm x\in \mathbb {R} ^{n+1}$ ${\ Displaystyle n \ geqslant 1}$ $n=1$

Notas

↑ Kostrikin A. I., Manin Yu. I. Álgebra lineal y geometría, parte 3, párr. 6, M .: Nauka 1986
↑ Veblen, Oswald; Joven, Juan Wesley . geometría proyectiva. vols. 1, 2, Blaisdell Publishing Co. Ginn y compañía Nueva York-Toronto-Londres, 1965 (Reimpresión de la edición de 1910)
↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Álgebra lineal y geometría, cap. 9, párr. 1, - Fizmatlit, Moscú, 2009.

Literatura

Artin E. Álgebra Geométrica - M .: Nauka, 1969.
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Geometría moderna. Métodos y aplicaciones. — M .: Nauka, 1979.
Kostrikin A. I., Manin Yu. I. Álgebra lineal y geometría - M. : Nauka 1986.
Hartshorne R. Fundamentos de geometría proyectiva - M. : Mir, 1970.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Álgebra lineal y geometría, Fizmatlit, Moscú, 2009.
Alexandrov A. D. , Netsvetaev N. Yu. Geometría. — Nauka, Moscú, 1990.
Baer R. Álgebra lineal y geometría proyectiva. - URSS, Moscú, 2004.
Finikov S.P. Geometría analítica: un curso de conferencias. — URSS, Moscú, 2008.

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