Teoría de Brans-Dicke

La teoría de Brans-Dicke (con menos frecuencia la teoría de Jordan-Brans-Dicke ) es una teoría escalar-tensor de la gravedad, coincidiendo en uno de los límites con la teoría general de la relatividad . En la teoría de Jordan-Brans-Dicke como teoría métrica tensor-escalar, el efecto gravitacional sobre la materia se realiza a través del tensor espacio-temporal métrico , y la materia afecta a la métrica no solo directamente, sino también a través de un campo escalar generado adicionalmente . Por ello, en la teoría de Jordan-Brance-Dicke, la constante gravitatoria G no es necesariamente constante, sino que depende de un campo escalar , que puede variar en el espacio y el tiempo. $\fi$ ${\ estilo de visualización 1/G \ sim \ phi}$

Esta teoría fue finalmente formulada en 1961 en un artículo de Carl Brans y Robert Dicke , [1] que se basó en gran medida en el trabajo de Pascual Jordan de 1959 . [2] En la "edad de oro" de la relatividad general , esta teoría fue vista como un digno rival de la relatividad general entre las teorías alternativas de la gravedad .

Como teoría que se reduce a la relatividad general con un conjunto especial de parámetros, la teoría de Jordan-Brance-Dicke no puede ser refutada por experimentos que no contradigan la teoría de la relatividad general. Sin embargo, los experimentos que confirman las predicciones de la teoría de la relatividad limitan significativamente la arbitrariedad admisible de los parámetros de la teoría de Jordan-Brance-Dicke. En la actualidad, la teoría de Jordan-Brance-Dicke cuenta con el apoyo de una minoría de físicos.

Comparación con la Relatividad General

Tanto GR como la teoría de Brans-Dicke son ejemplos de teorías clásicas del campo gravitatorio llamadas teorías métricas . En estas teorías , el espacio-tiempo se describe mediante un tensor métrico , y el campo gravitatorio se representa, total o parcialmente, mediante el tensor de curvatura de Riemann , que se define mediante el tensor métrico. $charla}}$ $R_{abcd}$

Todas las teorías métricas satisfacen el principio de equivalencia de Einstein , que en el lenguaje geométrico moderno dice que en una pequeña región del espacio, demasiado pequeña para exhibir efectos de curvatura espacial , todas las leyes de la física que se encuentran en la relatividad especial son verdaderas en el sistema de referencia local de Lorentz . De ello se deduce que, en todas las teorías métricas, se manifiesta el efecto del corrimiento al rojo gravitacional .

Como en la relatividad general, la fuente del campo gravitatorio es el tensor de energía-momento . Sin embargo, la forma en que la presencia de este tensor en cualquier región del espacio afecta el campo gravitatorio en esa región resulta ser diferente. En la teoría de Brans-Dicke, además de la métrica, que es un tensor de segundo rango , también existe un campo escalar , que se manifiesta físicamente como un cambio en el espacio de la constante gravitacional efectiva. $\fi$

Las ecuaciones de campo de la teoría de Brans-Dicke contienen un parámetro llamado constante de acoplamiento de Brans-Dicke . Esta es una verdadera constante adimensional que se elige una vez y no cambia. Por supuesto, debe elegirse de modo que coincida con las observaciones. Además, el valor de fondo existente de la constante gravitacional efectiva debe usarse como condición límite . A medida que aumenta la constante de acoplamiento, la teoría de Brans-Dicke da predicciones que se acercan cada vez más a la relatividad general, y en el límite pasa a ella. $\omega$ ${\ estilo de visualización \ omega \ flecha derecha \ inf}$

No hay constantes adimensionales en la relatividad general y, por lo tanto, es más fácil de falsificar que la teoría de Brans-Dicke. Las teorías que permiten el ajuste de parámetros se consideran, en principio, menos satisfactorias y, al elegir entre dos teorías alternativas, se debe elegir la que contiene menos parámetros ( principio de la navaja de Occam ). Sin embargo, en algunas teorías tales parámetros son necesarios.

La teoría de Brans-Dicke es menos rigurosa que la relatividad general y, en otro sentido, permite más soluciones. En particular, la solución de vacío exacta de las ecuaciones GR de Einstein, complementada con un campo escalar trivial , se convierte en la solución de vacío exacta en la teoría de Brans-Dicke, sin embargo, algunas soluciones que no son soluciones de vacío de GR, con una elección apropiada de la campo escalar, se convierten en soluciones de vacío de la teoría de Brans-Dicke. De manera similar, una clase importante de métricas de espacio-tiempo, llamadas ondas pp , son soluciones de polvo cero tanto en GR como en la teoría de Brans-Dicke, pero hay soluciones de onda adicionales en la teoría de Brans-Dicke que tienen geometrías que son imposibles en GR. ${\ estilo de visualización \ phi = 1}$

Al igual que GR, la teoría de Brans-Dicke predice la lente gravitatoria y la precesión del perihelio de los planetas que orbitan alrededor del Sol. Sin embargo, las fórmulas exactas que describen estos efectos dependen del valor de la constante de acoplamiento . Esto significa que se puede derivar un límite inferior de los valores posibles a partir de las observaciones . En 2003, durante el experimento Cassini-Huygens , se demostró que debería superar los 40.000. $\omega$ $\omega$ $\omega$

A menudo se puede escuchar que la teoría de Brans-Dicke, en contraste con la relatividad general, satisface el principio de Mach . Sin embargo, algunos autores argumentan que este no es el caso (especialmente dada la falta de consenso sobre lo que, de hecho, es el principio de Mach). Por lo general, se afirma que la relatividad general se puede obtener a partir de la teoría de Brans-Dicke en . Sin embargo, Faraón (ver referencias) argumenta que este punto de vista es una simplificación. También se afirma que sólo la relatividad general satisface el principio de equivalencia fuerte . ${\displaystyle\omega\rightarrow\infty}$

Ecuaciones de campo

Las ecuaciones de campo en la teoría de Brans-Dicke tienen la siguiente forma:

\Box \phi ={\frac {8\pi }{3+2\omega }}T

G_{ab}={\frac {8\pi }{\phi }}T_{ab}+{\frac {\omega }{\phi ^{2}}}(\parcial _{a}\ phi \parcial _{b}\phi -{\frac {1}{2}}g_{ab}\parcial _{c}\phi \parcial ^{c}\phi )+{\frac {1}{\ phi }}(\nabla _{a}\nabla _{b}\phi -g_{ab}\Box \phi ),

dónde

$\omega$ es la constante de acoplamiento adimensional de Brans-Dicke,
$charla}}$ es el tensor métrico ,
$G_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{2}}Rg_{ab}$ es el tensor de Einstein ,
$R_{ab}={R^{\,m}}_{amb}$ es el tensor de Ricci , traza del tensor de curvatura,
$R={R^{\,m}}_{m}$ es el escalar de Ricci , la traza del tensor de Ricci,
$Pestaña}}$ es el tensor de energía-momento ,
$T$ - rastrear , $Pestaña}}$
$\fi$ — campo escalar,
$\Caja$ es el operador de Laplace-Beltrami o el operador de onda covariante, ${\displaystyle \Box \phi =\phi _{\;\;;a}^{;a))$

La primera ecuación establece que la traza del tensor de energía-momento es la fuente del campo escalar . Dado que el campo electromagnético contribuye solo a los términos sin rastro del tensor de energía-momento, entonces en las regiones del espacio que contienen solo el campo electromagnético (más el campo gravitacional), el lado derecho de la expresión se desvanece y pasa libremente a través de la región de electrovacío y satisface la ecuación de onda (para espacio curvo). Esto significa que cualquier cambio en se propaga libremente a través de la región de electrovacío ; en este sentido, podemos argumentar que es un campo de largo alcance $\fi$ $\fi$ $\fi$ $\fi$ $\fi$

La segunda ecuación describe cómo el tensor de energía-momento y el campo escalar juntos afectan el espacio-tiempo. A la izquierda , el tensor de Einstein se puede ver como la curvatura media. Matemáticamente , en cualquier teoría métrica, el tensor de Riemann se puede escribir como la suma del tensor de Weyl (también llamado tensor de curvatura conforme ) más un término extraído del tensor de Einstein. $\fi$

A modo de comparación, las ecuaciones de campo en relatividad general

G_{ab}=8\pi T_{ab}.

Significa que en la relatividad general la curvatura de Einstein está completamente determinada por el tensor energía-momento, y el otro término, la curvatura de Weyl , corresponde a la parte del campo gravitatorio que se propaga a través del vacío. Y en la teoría de Brans-Dicke, el tensor de Einstein está determinado en parte por la energía y el momento directamente presentes, y en parte por un campo escalar de largo alcance . $\fi$

Las ecuaciones de campo en el vacío de ambas teorías se obtienen desvaneciendo el tensor energía-momento. Describen la situación cuando todos los campos, excepto el gravitacional, están ausentes.

Acción

El Lagrangiano que contiene una descripción completa de la teoría de Brans-Dicke es el siguiente:

S={\frac {1}{16\pi }}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\;\left(\phi R-\omega {\frac {\parcial _{a}\phi \parcial ^{a}\phi }{\phi }}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right),

dónde

$gramo$ es el determinante de la métrica,
${\sqrt {-g}}\,d^{4}x$ - forma tetradimensional del volumen ,
$\mathcal{L}_\mathrm{M}$ es el Lagrangiano de la materia .

El último término incluye la contribución de la materia ordinaria y el campo electromagnético. En el vacío, se desvanece y lo que queda se llama término gravitacional . Para obtener las ecuaciones del vacío, debemos calcular sus variaciones con respecto a la métrica ; esto nos dará la segunda de las ecuaciones de campo. Al calcular las variaciones con respecto al campo escalar, obtendremos la primera de las ecuaciones. Tenga en cuenta que, a diferencia de las ecuaciones GR, el término no se establece en cero, ya que el resultado no es un diferencial total. Se puede demostrar que: ${\ Displaystyle g_ {ab}}$ $\fi$ ${\displaystyle \delta R_{ab}/\delta g_{cd))$

{\frac {\delta (\phi R)}{\delta g^{ab))}=\phi R_{ab}+g_{ab}g^{cd}\phi _{;cd}- \phi _{;ab}.

Para probar esto, usamos el hecho de que

\delta (\phi R)=R\delta \phi +\phi R_{mn}\delta g^{mn}+\phi \nabla _{s}(g^{mn}\delta \Gamma _ {nm}^{s}-g^{ms}\delta \Gamma _{rm}^{r}).

Cuando se calcula en coordenadas normales de Riemann, 6 términos individuales resultan ser iguales a cero. Otros 6 se pueden combinar usando el teorema de Stokes , que da . ${\ estilo de visualización \ delta \ gamma}$ ${\displaystyle (g_{ab}g^{cd}\phi _{;cd}-\phi _{;ab})\delta g^{ab))$

A modo de comparación, en la teoría general de la relatividad, la acción tiene la forma:

S=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\;({\frac {R}{16\pi G}}+{\mathcal {L}}_{\mathrm { M} }).

Considerando las variaciones del término gravitacional con respecto a , obtenemos las ecuaciones de campo de Einstein en el vacío. ${\ Displaystyle g_ {ab}}$

En ambas teorías, las ecuaciones de campo completas se pueden obtener variando el Lagrangiano completo, de modo que tengan la acción .

Véase también

Teorías clásicas de la gravedad
Cosmología de producción continua de materia , una modificación de la teoría de Brans-Dicke que permite que un campo escalar no acoplado mínimamente interactúe con la materia.

Enlaces y notas

↑ Salvados, CH; Dicke, el principio de RH Mach y una teoría relativista de la gravitación // Revisión física : revista . - 1961. - vol. 124 , núm. 3 . - Pág. 925-935 . -doi : 10.1103 / PhysRev.124.925 . Archivado desde el original el 8 de noviembre de 2012.
↑ Jordan, P. Zum gegenwärtigen Stand der Diracschen kosmologischen Hypothesen (alemán) // Zeitschrift für Physik A Hadrons and Nuclei: magazin. - 1959. - Bd. 157 , núm. 1 . - S. 112-121 . -doi : 10.1007/ BF01375155 . (enlace no disponible)

Enlaces externos

PG Bergman. Comentarios sobre la teoría escalar-tensorial // Int . J. Teor. física : diario. - 1968. - vol. 1 . — Pág. 25 . -doi : 10.1007/ BF00668828 .
R. V. Waggoner. Teoría del tensor escalar y ondas gravitacionales (inglés) // Phys. Rvdo. : diario. - 1970. - vol. D1 . — Pág. 3209 .
Misner, Charles; Thorne, Kip S.; y Wheeler, John Archibald. Gravitación (neopr.) . —San Francisco: W. H. Freeman, 1973. - ISBN 0-7167-0344-0 .
Ver cuadro 39.1 .
Will, Clifford M. ¿Tenía razón Einstein?: Poniendo a prueba la relatividad general . - NY: Libros básicos , 1986. - ISBN 0-19-282203-9 .
Capítulo 8: "Auge y caída de la teoría de Brans-Dicke".
Faroni, Valeria. Ilusiones de la relatividad general en la gravedad de Brans-Dicke (inglés) // Phys. Rvdo. : diario. - 1999. - vol. D59 . — Pág. 084021 .
También preimpresión en ArXiv .
Faraoni, Valerio. Cosmología en gravedad escalar-tensor (neopr.) . Boston: Kluwer, 2004. - ISBN 1-4020-1988-2 .
Carl H. Brans, Las raíces de la teoría del tensor escalar: una historia aproximada . ArXiv . Consultado: 14 de junio de 2005. (indefinido)

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