Identidad de Euler (análisis complejo)

La identidad de Euler es un caso especial de la fórmula de Euler para , una identidad bien conocida que conecta cinco constantes matemáticas fundamentales : $x=\pi$

e^{i\pi}+1=0,

dónde

mi

- el número e , o la base del logaritmo natural ,

i

es la unidad imaginaria ,

\Pi

- pi , la relación entre la circunferencia de un círculo y la longitud de su diámetro ,

una

— unidad , elemento neutro por la operación de multiplicación ,

{\ estilo de visualización 0}

— cero , elemento neutro por la operación de suma .

La identidad de Euler lleva el nombre del matemático suizo , alemán y ruso Leonhard Euler . La identidad se considera un modelo de belleza matemática , ya que muestra la profunda conexión entre los números más fundamentales de las matemáticas.

Conclusión

La identidad de Euler es un caso especial de la fórmula de Euler del análisis complejo :

e^{ix}=\cos x+i\sin x

para cualquier real . (Tenga en cuenta que los argumentos de las funciones trigonométricas y se toman en radianes ). En particular $X$ $\pecado$ $\ cos$

e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .

y de que

{\ estilo de visualización \ cos \ pi = -1}

{\ estilo de visualización \ sin \ pi = 0,}

debería

{\ estilo de visualización e ^ {i \ pi} = -1}

que da la identidad:

e^{i\pi}+1=0.

Generalizaciones

La identidad de Euler es también un caso especial de una identidad más general: la suma de las raíces de la unidad del grado th es igual a : $norte$ $n>1$ ${\ estilo de visualización 0}$

\sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi i{\frac {k}{n))}=0.

La identidad de Euler es el caso cuando . $n=2$

En otra área de las matemáticas, utilizando la exponenciación de cuaterniones , se puede demostrar que una identidad similar también se aplica a los cuaterniones. Sean { i , j , k } elementos básicos; después

e^{{\frac {1}{\sqrt {3}}}(i\pm j\pm k)\pi }+1=0.

En general, si se dan a 1 , a 2 y a 3 reales tales que a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 = 1 , entonces

e^{\left(a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k\right)\pi }+1=0.

Para octonions , con a n real tal que a 1 2 + a 2 2 + ... + a 7 2 = 1 , y con elementos básicos de octonions { i 1 , i 2 , ..., i 7 },

e^{\left(a_{1}i_{1}+a_{2}i_{2}+\dots +a_{7}i_{7}\right)\pi }+1=0.

Belleza matemática

La identidad de Euler, que combina tres operaciones matemáticas básicas ( suma , multiplicación y exponenciación ) y cinco constantes matemáticas fundamentales pertenecientes a las cuatro áreas clásicas de las matemáticas (los números y pertenecen a la aritmética , la unidad imaginaria al álgebra , el número a la geometría y el número e - al análisis matemático [1] ), causó una profunda impresión en el mundo científico, se interpretó místicamente como un símbolo de la unidad de las matemáticas y se cita a menudo como un ejemplo de profunda belleza matemática . ${\ estilo de visualización 0}$ $una$ $i$ $\Pi$

La identidad de Euler provocó muchas críticas muy favorables.

Carl Friedrich Gauss dijo que si esta fórmula no es inmediatamente obvia para un estudiante, entonces nunca se convertirá en un matemático de primera clase [2] .
El profesor de matemáticas, filosofía natural y astronomía de la Universidad de Harvard, Benjamin Pierce , tras demostrar la identidad de Euler en una conferencia, dijo que “esto probablemente sea cierto, pero es absolutamente paradójico; no podemos entenderlo, y no sabemos lo que significa, pero lo hemos probado, y por lo tanto sabemos que debe ser verdad” [3] .
El físico Richard Feynman llamó (1977) a la identidad de Euler "nuestro tesoro" y "la fórmula más notable de las matemáticas" [4] .
Keith Devlin , profesor de matemáticas de la Universidad de Stanford en su ensayo "La ecuación más bella" (2002) dijo: "Al igual que un soneto de Shakespeare captura la esencia misma del amor, o una pintura revela la belleza de la forma humana, mucho más profunda que la piel, la ecuación de Euler penetra las profundidades mismas de existencia" [5] .
Profesor emérito de la Universidad de New Hampshire Paul Nahinen su libro sobre la fórmula de Euler y su aplicación en el análisis de Fourier , describe la identidad de Euler como "belleza refinada" [5] .
Según la divulgadora de las matemáticas Constance Read , esta identidad es "la fórmula más famosa de todas las matemáticas" [6] .

Una encuesta de lectores realizada por The Mathematical Intelligencer en 1990 llamó a la identidad de Euler "el teorema más hermoso de las matemáticas" [7] . En otra encuesta de lectores realizada por la revista de física PhysicsWorld en 2004, la identidad de Euler (junto con las ecuaciones de Maxwell ) fue llamada "la mayor ecuación de la historia" [8] .

Un estudio de los cerebros de dieciséis matemáticos mostró que el "cerebro emocional" (en particular, la corteza orbitofrontal medial , que responde a la bella música, poesía, pinturas, etc.) se activó de manera más consistente en el caso de la identidad de Euler que en relación con cualquier otra fórmula [9] .

Historia

La fórmula de Euler, de la que se sigue inmediatamente la identidad de Euler , fue citada por primera vez en un artículo delmatemático inglés Roger Cotes ( asistente de Newton ) "Logometria" ( lat. Logometria ), publicado en Philosophical Transactions of the Royal Society en 1714 [10] ( cuando Euler tenía 7 años), y reimpreso en el libro "Armonía de medidas" ( lat. Harmonia mensurarum ) en 1722 [11] .

Euler publicó la fórmula de Euler en su forma habitual en un artículo de 1740 y en el libro "Introducción al análisis de los infinitesimales" ( lat. Introductio in analysin infinitorum ) ( 1748 ) [12] .

Sin embargo, en los artículos de Euler de 1740 y 1748 no aparece la identidad de Euler (en su forma clásica actual), donde es posible que nunca la haya derivado. Existe la posibilidad de que Euler haya obtenido información sobre la fórmula de Euler a través de su compatriota suizo Johann Bernoulli [13] .

Según Robín Wilson[14] :

Hemos visto cómo [la identidad de Euler] se puede deducir fácilmente de los resultados de Johann Bernoulli y Roger Kotes, pero ninguno de ellos parece haberlo hecho. Incluso Euler no parece haber escrito esto explícitamente, y por supuesto no aparece en ninguna de sus publicaciones, aunque sin duda se dio cuenta de que se sigue inmediatamente de su identidad [en este caso, la fórmula de Euler ], e ix \u003d cos x + yo seno x . Además, parece que no se sabe quién fue el primero en formular el resultado de forma explícita...

En la cultura

La película de Takashi Koizumi " La ecuación favorita del profesor " está dedicada a la identidad de Euler .

Notas

↑ Danzig, Tobías. Los números son el lenguaje de la ciencia . - M. : Technosfera, 2008. - S. 111 . - ISBN 978-5-94836-172-7 .
↑ Derbyshire, John . Obsesión simple. Bernhard Riemann y el mayor problema no resuelto de las matemáticas. Astrel, 2010. 464 págs. ISBN 978-5-271-25422-2 .
↑ Kasner, E. y Newman, J. (1940), Mathematics and the Imagination, Simon & Schuster , Maor, Eli (1998), e: The Story of a number, Princeton University Press ISBN 0-691-05854-7 .
↑ Feynman, Richard P. The Feynman Lectures on Physics (en ruso) . - Addison-Wesley , 1977. - T. I. - S. 22-10. — ISBN 0-201-02010-6 .
↑ 1 2 Nahin, Paul J. (2006), Dr. La fórmula fabulosa de Euler: cura muchos males matemáticos , Princeton University Press ISBN 978-0-691-11822-2 .
↑ Reid, Constance (varias ediciones), From Zero to Infinity, Mathematical Association of America
↑ Wells, David (1990), "¿Son estos los más bellos?", The Mathematical Intelligencer, 12: 37–41, doi:10.1007/BF03024015
↑ Crease, Robert P. (10 de mayo de 2004), "Las mejores ecuaciones de la historia", Physics World
↑ Zeki, S .; Romaya, JP ; Benincasa, DMT ; Atiyah, MF (2014), "La experiencia de la belleza matemática y sus correlatos neurales", Frontiers in Human Neuroscience, 8, doi:10.3389/fnhum.2014.00068, PMC 3923150
↑ Cotes R. Logometria // Philosophical Transactions of the Royal Society of London : revista. - 1714-1716. — vol. 29 . — Pág. 32 . -doi : 10.1098/ rstl.1714.0002 . Archivado desde el original el 6 de julio de 2017.
↑ Cotes R. Harmonia mensurarum . - 1722. - Pág. 28. Copia de archivo del 7 de junio de 2020 en Wayback Machine .
↑ Euler L. Cap.VIII. De quantitatibus transcendentibus ex Circulo ortis // Introductio in analysin infinitorum (neopr.) . - 1748. - T. 1. - S. 104.
↑ Sandifer, C. Edward. Grandes éxitos de Euler. - Asociación Matemática de América, 2007. - ISBN 978-0-88385-563-8 .
↑ Wilson, Robin. Ecuación pionera de Euler: el teorema más bello de las matemáticas (inglés) . — Prensa de la Universidad de Oxford, 2018.