Un grupo topológico ( grupo continuo ) es [1] un grupo que también es un espacio topológico , y la multiplicación de elementos del grupo G × G → G y la operación de tomar el elemento inverso G → G son continuos en la topología utilizada .
De la definición anterior se sigue directamente que las operaciones de desplazamiento a la izquierda y a la derecha, así como la operación de conjugación, tradicionalmente denotadas por las letras l , r , a y definidas por las igualdades
l gramo ( h ) = gh , r gramo ( h ) = h gramo , un gramo ( h ) = ghg −1 ,son homeomorfismos del espacio G sobre sí mismo.
Un isomorfismo de un grupo topológico G sobre un grupo topológico H es [2] una aplicación biyectiva del grupo G sobre H , que es tanto un isomorfismo de la estructura de grupo en G sobre la estructura de grupo en H como un homeomorfismo de G sobre H .
La noción de grupo topológico generaliza la noción de grupo de Lie ; este último requiere que las operaciones de multiplicación de elementos y toma del elemento inverso no solo sean continuas, sino también analíticas u holomorfas (en este caso, no solo se introduce la topología sobre el grupo, sino también la estructura de una variedad analítica o compleja) .
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