Clasificación de grupos finitos simples

El teorema de clasificación para grupos finitos simples  es un teorema de la teoría de grupos que clasifica, hasta el isomorfismo , grupos finitos simples .

Los grupos finitos simples son "bloques de construcción elementales" a partir de los cuales se puede construir cualquier grupo finito, al igual que cualquier número natural se puede descomponer en un producto de números primos. El teorema de Jordan-Hölder es una forma más precisa de expresar este hecho para grupos finitos. Sin embargo, la diferencia esencial de la factorización de números enteros es que tales "bloques de construcción" no definirán un grupo de manera única, ya que puede haber muchos grupos no isomorfos con la misma serie de composición .

El teorema se considera probado en una serie de artículos de unos 100 autores, publicados principalmente entre 1955 y 2004, y que contienen un total de miles de páginas de texto. Richard Lyons , Ronald Solomon y (anteriormente) Daniel Gorenstein están publicando gradualmente una versión simplificada y revisada de la demostración.

El teorema de clasificación tiene aplicaciones en muchas áreas de las matemáticas, ya que las preguntas sobre la estructura de los grupos finitos (y sus acciones sobre otros objetos matemáticos ) a veces pueden reducirse a preguntas sobre grupos finitos simples. Gracias al teorema de clasificación, tales preguntas a veces se pueden responder verificando cada familia de grupos simples y cada grupo esporádico.

Redacción

1. grupos cíclicos de primer orden ;
2. alternancia de grupos de permutación de al menos 5 elementos;
3. grupos simples de tipo Lie, a saber:

• grupos de Lie clásicos sobre un campo finito , a saber, los grupos de Chevalley , y ;
• formas excepcionales y retorcidas de grupos de tipo Lie (incluido el grupo de Tetas ).

Una visión general de la prueba del teorema de clasificación

Gorenstein [1] [2] escribió un bosquejo de dos volúmenes de la prueba para rangos bajos y características impares, y Aschbacher [3] escribió un tercer volumen que cubre los casos restantes de la característica 2. La prueba se puede dividir en varias partes principales :

Grupos de pequeños de 2 rangos

Los grupos simples de bajo rango 2 son en su mayoría grupos de tipo Lie de bajo rango sobre campos de característica impar, junto con cinco grupos alternos , siete grupos de característica tipo 2 y nueve grupos esporádicos.

Los grupos simples pequeños de 2 rangos incluyen:

• Grupos de 2-rango 0, en otras palabras, grupos de orden impar, que son todos solucionables por el teorema de Thompson-Fate .
• Grupos de 2 rangos 1. Los 2 subgrupos de Sylow son cíclicos, con los que es fácil trabajar usando funciones de transición, o cuaterniones generalizados , con los que se trabaja usando el teorema de Brouwer-Suzuki . En particular, no existen grupos simples de 2 de rango 1.
• Grupos de 2-rango 2. Alperin mostró que un subgrupo de Sylow debe ser un subgrupo diédrico, cuasi-diédrico, coronado o de Sylow 2 del grupo U 3 (4). El primer caso está cubierto por el teorema de Gorenstein-Walter , que muestra que solo los grupos simples son isomorfos a L 2 ( q ) para q impar , o al grupo A 7 . El segundo y tercer caso están cubiertos por el teorema de Alperin-Brauer-Gorenstein , del cual se sigue que sólo los grupos simples son isomorfos para q impar o para el grupo M 11 . Este último caso lo cubre Lyons, que se ha mostrado como la única posibilidad fácil.
• Los grupos de 2 seccionales de rango que no excedan de 4 se clasifican por el teorema de Gorenstein-Harada .

La clasificación de grupos pequeños de 2 rangos, especialmente los rangos de 2 como máximo, hace un uso intensivo de la teoría del carácter modular y ordinario , que casi nunca se aplica explícitamente en otras partes de la clasificación.

Todos los grupos más allá de los rangos pequeños de 2 se pueden dividir en dos grandes clases: grupos de tipo de componente y grupos de tipo de característica 2. Si un grupo tiene rango seccional de 2 al menos 5, McWilliams demostró que sus subgrupos de Sylow 2 están conectados, y del equilibrio del teorema se deduce que cualquier grupo simple con un subgrupo Sylow 2 conexo es un grupo de tipo componente o un grupo de tipo característico 2. (Para grupos de bajo rango 2, la prueba de esto falla porque teoremas como el teorema del funtor señalizador solo funcionan para grupos con subgrupos abelianos elementales de rango al menos 3).

Grupos de tipos de componentes

Se dice que un grupo es un grupo de tipo componente si, para algún centralizador C , la involución C / O ( C ) tiene un componente (un subgrupo subnormal cuasi-simple; aquí O ( C ) es el núcleo de C , el máximo subgrupo normal de orden impar). Están representados principalmente por grupos tipo Lie de características singulares con rango alto y grupos alternos, así como algunos grupos esporádicos. El paso principal en este caso es eliminar el obstáculo con el núcleo de involución. Esto se hace usando el teorema B , que establece que cualquier componente de C / O ( C ) es la imagen de un componente del kernel C.

La idea es que estos grupos tengan un centralizador de involución con un componente que sea un grupo cuasi-simple más pequeño, que se puede suponer que ya se conoce por inducción. Entonces, para clasificar estos grupos, uno puede tomar cada extensión central de cada grupo simple finito conocido y encontrar todos los grupos simples con un centralizador de involución con ese grupo como componente. Esto da una gran cantidad de casos diferentes que deben verificarse, además del hecho de que hay 26 grupos esporádicos, 16 familias de grupos de tipo Lie y grupos alternos, muchos grupos de rango pequeño o sobre campos pequeños se comportan de manera diferente al caso principal y debe considerarse por separado. Además, los grupos de tipo Lie de características pares e impares también se comportan de manera diferente.

Grupos de característica tipo 2

Un grupo tiene el tipo de característica 2 si el grupo de ajuste generalizado F *( Y ) de cualquier subgrupo local de 2 Y es un grupo de 2. Como sugiere el nombre, estos grupos son, en términos generales, grupos de tipo Lie sobre campos de característica 2, más una serie de otros grupos de características alternas, esporádicas o impares. La clasificación de estos grupos se divide en casos de rango alto y bajo, donde el rango es el rango más grande de un subgrupo abeliano impar que normaliza un subgrupo 2 no trivial, y este rango es a menudo (pero no siempre) el rango de la subálgebra de Cartan cuando el grupo es un grupo de tipo Lie de característica 2.

Los grupos de rango 1 son los grupos delgados clasificados por Aschbacher, y los grupos de rango 2 son los grupos cuasi-delgados , que causaron muchos problemas , clasificados por Aschbacher y Smith. En términos generales, corresponden a grupos de tipo Lie de rangos 1 o 2 sobre campos de característica 2.

Los grupos de rango 3 y superior se dividen en tres clases según el teorema de la tricotomía demostrado por Aschbacher para el rango 3 y Gorenstein y Lyons para el rango 4 y superior. Estas tres clases son grupos de tipo GF(2) (principalmente clasificados por Timmesfeld), grupos de "tipo estándar" para algunos primos impares (clasificados por el teorema de Gilman-Gries y algunos otros autores), y grupos de tipo "singularidad", por lo que el resultado de Aschbacher implica que no existen grupos simples entre ellos. El caso de rango alto general está representado mayoritariamente por grupos de tipo Lie sobre campos de característica 2 con rango al menos 3 o 4.

Existencia y unicidad de grupos simples

La mayor parte de la clasificación da una descripción de cada grupo simple. Hay que comprobar que existe un grupo simple para cada caso descrito y que es único. Esto da muchos problemas adicionales. Por ejemplo, las pruebas originales de la existencia y singularidad del Monstruo ocupan unas 200 páginas, y la identificación de los grupos por parte de Ree Thompson y Bombieri fue una de las partes más difíciles de la clasificación. Muchas de las pruebas de existencia y algunas de las pruebas de unicidad para grupos esporádicos utilizaron originalmente cálculos informáticos, la mayoría de los cuales han sido reemplazados desde entonces por pruebas manuales más breves.

Antecedentes

El programa de Gorenstein

En 1972, Gorenstein [4] anunció un programa para completar la clasificación de grupos finitos simples, que constaba de los siguientes 16 pasos:

1. Grupos bajos de 2 rangos. Esencialmente, esto fue hecho por Gorenstein y Harada, quienes clasificaron grupos con rango 2 seccional que no excedía de 4. La mayoría de los casos de rango 2 que no excedía de 2 ya habían sido realizados en ese momento por Gorenstein, quien anunció el programa.
2. Semisimplicidad de 2 capas. El problema es probar que el centralizador de involución de 2 capas en un grupo simple es semisimple.
3. Forma estándar con característica impar. Si un grupo tiene una involución con 2 componentes que es un grupo de tipo Lie con característica impar, se debe demostrar que el grupo tiene un centralizador de involución en "forma estándar", lo que significa que el centralizador de involución tiene un componente de tipo Lie con característica impar. característica y tiene un centralizador con 2- rango 1.
4. Clasificación de grupos de tipo impar. El problema es probar que si un grupo tiene un centralizador de involución en "forma estándar", entonces este grupo es un grupo de tipo Lie con características impares. Aschbacher resolvió el problema demostrando el teorema de involución clásico .
5. Forma cuasi-estándar
6. Involuciones centrales
7. Clasificación de grupos alternos
8. Algunos grupos esporádicos
9. grupos delgados. Grupos finitos delgados simples con p de 2 locales - rango como máximo 1 para p primo impar , clasificados por Aschbacher en 1978
10. Grupos con un subgrupo anidado estrictamente p para p impar
11. Método del funtor de señalización para primos impares . La tarea principal es probar el teorema del funtor de señalización para funtores de señalización indecidibles. El problema fue resuelto por McBride en 1982.
12. Grupos de característica tipo p . Este es el problema del grupo con un subgrupo local de 2 estrictamente incrustado en p para p impar , que fue resuelto por Aschbacher.
13. Grupos de cuasitinas. Un grupo cuasifino  es un grupo cuyos 2 subgrupos locales tienen rango p como máximo 2 para todos los números primos impares p . La tarea es clasificar estos grupos simples con la característica tipo 2. La tarea fue completada por Aschbacher y Smith en 2004.
14. Grupos de 2-locales bajos de 3-rango. El problema ya estaba esencialmente resuelto por el teorema de la tricotomía de Aschbacher para grupos con e ( G )=3. El cambio principal fue reemplazar el rango 3 de 2 locales con un rango p de 2 locales para números primos impares.
15. Centralizadores de 3 elementos en forma estándar. El problema se resuelve esencialmente mediante el teorema de la tricotomía .
16. Clasificación de grupos simples con característica tipo 2. Esta parte de la clasificación se llevó a cabo utilizando el teorema de Gilman-Gries , en el que los 3-elementos fueron reemplazados por p - elementos para primos impares.

Gorenstein anunció en 1983 que todos los grupos finitos simples estaban clasificados, pero el anuncio fue prematuro porque no estaba bien informado sobre la clasificación de los grupos cuasifines . La finalización definitiva de la prueba fue anunciada por Aschbacher [5] en 2004 después de que él y Smith publicaran una prueba de 1221 páginas para el caso del cuasifin desaparecido.

Cronología de la prueba

Gran parte de la información de la lista proviene del artículo de Solomon [6] . Las fechas dadas son generalmente la fecha de publicación de la prueba completa del resultado. Esta fecha es a veces varios años después de la prueba o el primer anuncio del resultado, por lo que puede parecer que los eventos están en el orden "incorrecto".

Fecha de publicación
1832	Galois introduce subgrupos normales y encuentra grupos simples A n ( ) y PSL 2 ( F p ) ( )
1854	Cayley define grupos abstractos
1861	Mathieu describe los dos primeros grupos Mathieu M 11 , M 12 , los primeros grupos simples esporádicos, y anuncia la existencia del grupo M 24 .
1870	Jordan enumera algunos grupos simples, grupos lineales especiales alternos y proyectivos, y enfatiza la importancia de estos grupos simples.
1872	Syulow demuestra los teoremas de Sylow
1873	Mathieu presenta tres grupos Mathieu más M 22 , M 23 , M 24 .
1892	Otto Hölder demuestra que el orden de cualquier grupo simple finito no abeliano debe ser el producto de al menos cuatro primos (no necesariamente diferentes) y plantea la cuestión de la clasificación de los grupos simples finitos.
1893	Cole clasifica grupos simples hasta el orden 660
1896	Frobenius y Burnside comenzaron a estudiar la teoría de caracteres de grupos finitos.
1899	Burnside clasifica los grupos simples en los que el centralizador de cualquier involución es un 2-grupo abeliano elemental no trivial .
1901	Frobenius prueba que el grupo Frobenius tiene un núcleo Frobenius, por lo que no es simple.
1901	Leonard Dixon define grupos clásicos sobre campos finitos arbitrarios y grupos excepcionales de tipo G 2 sobre campos de características impares.
1901	Dixon introduce grupos simples finitos excepcionales de tipo E 6 .
1904	Burnside usa la teoría de los caracteres para probar el teorema de Burnside , que el orden de cualquier grupo simple no abeliano debe ser divisible por al menos 3 números primos distintos.
1905	Dixon introduce grupos simples de tipo G 2 sobre campos de característica par
1911	Burnside conjetura que cualquier grupo simple finito no abeliano tiene un orden par
1928	Hall prueba la existencia de subgrupos de Hall de grupos solubles
1933	Hall comienza a estudiar los grupos p
1935	Brouwer comienza a estudiar caracteres modulares
1936	Zassenhaus clasifica grupos de permutación estrictamente 3-transitivos finitos
1938	Fitting introduce un subgrupo de Fitting y prueba el teorema de Fitting de que, para grupos solubles, un subgrupo de Fitting contiene un centralizador de grupo.
1942	Brouwer describe caracteres p -modulares de grupos cuyo orden es divisible por p pero no por p 2 .
1954	Brouwer clasifica grupos simples con centralizador de involución GL 2 ( F q ).
1955	Del teorema de Brouwer -Fowler se deduce que el número de grupos simples finitos con un centralizador de involución dado es finito, lo que da lugar a un intento de clasificación utilizando centralizadores de involución.
1955	Chevalley introduce los grupos de Chevalley , en particular, grupos simples excepcionales de tipo F 4 , E 7 y E 8 .
1956	Teorema de Hall-Higman
1957	Suzuki demostró que todos los grupos CA simples finitos de orden impar son cíclicos.
1958	El teorema de Brouwer-Suzuki-Wall describe grupos lineales especiales proyectivos de rango 1 y clasifica grupos CA simples .
1959	Steinberg introdujo los grupos de Steinberg , que dieron nuevos grupos simples finitos de tipos 3 D 4 y 2 E 6 (el segundo de ellos fue encontrado independientemente por Jacques Tits casi al mismo tiempo ).
1959	El teorema de Brouwer-Suzuki sobre grupos con 2 subgrupos de Sylow cuaterniónicos generalizados mostró que no hay grupos simples entre ellos.
1960	Thompson demostró que un grupo con automorfismos sin puntos fijos de orden primo es nilpotente .
1960	Feit, Hall y Thompson muestran que todos los grupos CN simples finitos de orden impar son cíclicos.
1960	Suzuki presenta los grupos Suzuki del tipo 2 B 2 .
1961	Ree introduce grupos Ree de tipo 2 F 4 y 2 G 2 .
1963	Feith y Thompson demostraron el teorema del orden impar .
1964	Tetas introduce pares BN para grupos tipo Lie y encuentra el grupo Tetas
1965	El teorema de Gorenstein-Walter clasifica los grupos con 2 subgrupos diédricos de Sylow.
1966	Glauberman demuestra el teorema Z*
1966	Janko presenta al grupo Janko J1 , el primer grupo esporádico nuevo en casi un siglo.
1968	Glauberman demuestra el teorema ZJ
1968	Higman y Sims presentan al grupo Higman - Sims
1968	Conway presenta los grupos de Conway
1969	El teorema de Walter clasifica grupos con Abelian Sylow 2-subgrupos
1969	Surgimiento del grupo Suzuki esporádico , el grupo Janko J2 , el grupo Janko J3 , el grupo McLaughlin y el grupo Held .
1969	Gorenstein introduce los funtores de señalización basados ​​en las ideas de Thompson.
1970	McWilliams demostró que los 2-grupos sin subgrupos abelianos normales de rango 3 tienen un rango seccional de 2 como máximo 4. (Los grupos simples con subgrupos de Sylow que satisfacen la última condición fueron clasificados más tarde por Gorenstein y Harada).
1970	Bender presenta el subgrupo Fitting
1970	El teorema de Alperin-Brauer-Gorenstein clasifica los grupos con 2 subgrupos de Sylow cuasi diédricos o retorcidos, completando así la clasificación de los grupos simples con 2 rangos como máximo 2
1971	Fischer presenta tres grupos de Fischer
1971	Thompson clasifica pares cuadráticos
1971	Bender clasifica grupos con un subgrupo fuertemente anidado
1972	Gorenstein propone un programa de 16 etapas para la clasificación de grupos finitos simples.
1972	Lyons presenta el grupo Lyons
1973	Rudvalis presenta el grupo Rudvalis
1973	Fischer descubre el grupo Little Monster (obra inédita), que Fischer y Griss utilizan para descubrir el grupo Monster , lo que a su vez lleva al descubrimiento de Thompson del grupo esporádico de Thompson y Norton del grupo Harada-Norton (también encontrado de manera diferente por Harada).
1974	Thompson clasifica los N-grupos: grupos en los que todos los subgrupos locales son solubles.
1974	El teorema de Gorenstein-Harada clasifica los grupos simples cuyos rangos seccionales 2 no exceden de 4, dividiendo así los grupos simples finitos restantes en grupos de tipo componente y grupos de tipo característico 2.
1974	Tetas muestra que los grupos con pares (B, N) de rango al menos 3 son grupos de tipo Lie
1974	Aschbacher clasifica los grupos con un kernel adecuado de 2 generados
1975	Gorenstein y Walter prueban el teorema del equilibrio L
1976	Glauberman demuestra el teorema del funtor de señalización solucionable
1976	Aschbacher demuestra el teorema de los componentes mostrando que los grupos de tipo impar que satisfacen ciertas condiciones tienen un componente en forma estándar. Los grupos con un componente en forma estándar se han clasificado en una gran cantidad de artículos de varios autores.
1976	O'Nan presenta al grupo O'Nan
1976	Janko presenta al grupo Janko J4 , el último grupo esporádico descubierto
1977	Aschbacher describe grupos de tipo Lie con características extrañas en su teorema de involución clásico . Después de este teorema, que, en cierto sentido, se ocupa de los grupos "más" simples, se tenía la sensación de que el final de la clasificación no estaba lejos.
1978	Timmesfeld descompone la clasificación de grupos de tipo GF(2) en varios problemas menores.
1978	Aschbacher clasifica los grupos finitos delgados , que son principalmente grupos de tipo Lie con rango 1 sobre un campo de características uniformes.
1981	Bombieri utiliza la teoría de la eliminación para completar el trabajo de Thompson sobre los grupos de Ree , uno de los pasos más difíciles de la clasificación.
mil novecientos ochenta y dos	McBride demuestra el teorema del funtor de señalización para todos los grupos finitos.
mil novecientos ochenta y dos	Griss construye el grupo Monster a mano
1983	El teorema de Gilman-Gries clasifica los grupos de característica tipo 2 y rango al menos 4 con componentes estándar, uno de los tres casos del teorema de la tricotomía.
1983	Aschbacher demuestra que ningún grupo finito satisface la hipótesis de unicidad , uno de los tres casos del teorema de la tricotomía para grupos de característica tipo 2.
1983	Gorenstein y Lyons prueban el teorema de la tricotomía para grupos de característica tipo 2 y rango al menos 4, mientras que Aschbacher lo prueba para el rango 3. Esto divide dichos grupos en 3 subclases: el caso de unicidad, grupos de tipo GF(2) y grupos con componentes estándar.
1983	Gorenstein anuncia la finalización de la prueba del teorema de clasificación. Algo prematuro, ya que la demostración del caso cuasifino no está completa.
1994	Gorenstein, Lyons y Solomon comienzan la publicación de la clasificación revisada
2004	Aschbacher y Smith publican un artículo sobre grupos casi delgados (que son principalmente grupos de tipo Lie de rango 2 o superior sobre campos de características uniformes), llenando el último vacío de clasificación conocido en ese momento.
2008	Harada y Solomon llenan un pequeño vacío en la clasificación al describir grupos con un componente estándar que cubre el grupo Mathieu M22 . Este caso se omitió accidentalmente de la prueba de clasificación debido a un error en el cálculo del multiplicador de Schur para M22.
2012	Georges Gontir con los coautores anunció una versión verificada por computadora del teorema de Thompson-Fate , para la cual se utilizó el sistema de prueba automática Coq [7] .

Clasificación de segunda generación

La demostración del teorema de alrededor de 1985 se puede llamar primera generación . En vista de la extremadamente larga prueba de la primera generación y la fragmentación de los materiales incluidos en ella, se está trabajando mucho para crear una prueba única y más simple, llamada prueba de clasificación de la segunda generación ; esta dirección también se conoce como "revisionismo". Este trabajo está siendo dirigido por Richard Lyons y Ronald Solomon, y fue dirigido por Gorenstein hasta su muerte en 1992. Publican la prueba como una serie de libros, a veces denominados GLS por los nombres de los autores.

La prueba contenida en la serie GLS no es completamente autónoma, sino que se basa en varios otros trabajos, incluidos los dos volúmenes La clasificación de los grupos cuasifines de Aschbacher y Smith [8] sobre el caso cuasifino [9] .

Para 2021, nueve volúmenes de GLS están listos ; está previsto que el último volumen 12 se publique en 2023 [9] . Aunque la prueba de segunda generación es más compacta que la prueba de primera generación, todavía ocupa miles de páginas.

Gorenstein y otros dieron razones para simplificar la prueba anterior.

• Lo más importante es que ahora se conoce la afirmación final correcta del teorema en sí. Ahora se pueden usar métodos más simples, adecuados para tipos conocidos de grupos finitos simples. Por el contrario, los autores que trabajaron con la primera generación de la demostración no sabían cuántos grupos esporádicos había y, de hecho, algunos grupos esporádicos (como los grupos de Janko ) se descubrieron durante la demostración de otros casos del teorema de clasificación. Como resultado, muchas partes del teorema se demostraron utilizando métodos demasiado generales.
• Dado que no se conocía el enunciado final, la primera generación de la demostración consta de un gran número de teoremas independientes que tratan casos especiales importantes. La mayor parte del trabajo sobre la demostración de estos teoremas está dedicada al análisis de numerosos casos especiales. En una demostración grande y ordenada, muchos de estos casos especiales se pueden diferir hasta que se puedan aplicar suposiciones más sólidas. El precio de esta estrategia es que algunos teoremas de la primera generación no tienen demostraciones relativamente cortas, sino que se basan en una clasificación completa.
• Muchos teoremas de primera generación se superponen y, por lo tanto, dividen la clasificación en casos posibles de manera ineficiente. Como resultado, se han identificado repetidamente familias y subfamilias de grupos finitos simples. La prueba revisada elimina estas repeticiones al dividirla en casos.
• Los teóricos de grupos finitos han adquirido mucha experiencia en este tipo de trabajo y tienen la oportunidad de utilizar nuevos métodos.

Aschbacher [5] se refirió al trabajo sobre el problema de clasificación de Ulrich Mayrfrankenfeld, Bernd Stellmacher, Gernot Stroth y varios otros como la tercera generación del programa . Uno de los objetivos de este trabajo es tratar a todos los grupos en la característica 2 de la misma manera utilizando el método de unión.

¿Por qué la prueba es tan larga?

Gorenstein discutió enfoques para encontrar una prueba mucho más simple, como la clasificación de grupos de Lie compactos , y las razones por las que tal prueba podría no existir en absoluto.

• La razón más obvia es que la lista de grupos simples es bastante complicada: además de los 26 grupos esporádicos, hay muchos casos especiales que necesitan ser considerados en cualquier demostración. Hasta el momento, no se ha encontrado una descripción uniforme clara de grupos simples finitos, similar a la parametrización de grupos de Lie compactos utilizando diagramas de Dynkin .
• Atiyah y otros han sugerido que la clasificación podría simplificarse construyendo algún objeto geométrico sobre el cual actúan los grupos y luego clasificando las estructuras geométricas de ese objeto. El problema aquí es que nadie ha sido capaz de ofrecer una manera fácil de encontrar una estructura geométrica asociada con un grupo simple. En cierto sentido, la clasificación ya funciona al encontrar estructuras geométricas como pares (B, N) , pero aparecen al final de un análisis muy largo y difícil de la estructura de un grupo simple finito.
• Otra sugerencia para simplificar la prueba es hacer más uso de la teoría de la representación . El problema aquí es que la teoría de la representación parece requerir un control muy estricto sobre los subgrupos de un grupo para funcionar bien. Para los grupos de rango bajo existe tal control y la teoría de la representación funciona bien, pero para los grupos de rango más alto nadie ha logrado usar la teoría de la representación para simplificar la clasificación. Al comienzo de los intentos de clasificación, se hicieron grandes esfuerzos para usar la teoría de la representación, pero esto no tuvo mucho éxito en los casos de rangos altos.

Consecuencias de la clasificación

Esta sección enumera algunos de los resultados que se prueban usando el teorema de clasificación para grupos simples finitos.

• La hipótesis de Schreier
• Teorema del funtor de señalización
• Hipótesis B
• El teorema de Schur-Satzenhaus para todos los grupos (aunque solo utiliza el teorema de Thompson-Fate ).
• Un grupo de permutaciones transitivas en un conjunto finito con más de un elemento tiene un elemento sin punto fijo con orden igual a la potencia de un número primo.
• Clasificación de los grupos de permutación 2-transitivos .
• Clasificación de los grupos de permutaciones de rango 3 .
• hipótesis de los sims
• La conjetura de Frobenius sobre el número de soluciones de la ecuación x n  = 1 para elementos de grupo.
• Los tipos de O'Nan-Scott son una consecuencia del teorema de O'Nan-Scott .

Notas

1. ↑ Gorenstein, 1982 .
2. ↑ Gorenstein, 1983 .
3. ↑ Aschbacher, Lyon, Smith, Solomon, 2011 .
4. ↑ Gorenstein, 1979 .
5. ↑ 12Aschbacher , 2004 .
6. ↑ Salomón, 2001 .
7. ↑ El teorema de Feit-Thompson se ha comprobado totalmente en Coq (enlace descendente) . MSR-Inria (20 de septiembre de 2012). Consultado el 9 de enero de 2018. Archivado desde el original el 19 de noviembre de 2016. (indefinido) 
8. ↑ Aschbacher y Smith, 2004 .
9. ↑ 12 Salomón , 2018 .

Literatura

• Aschbacher M. Grupos simples finitos y su clasificación  // Uspekhi Mat . - 1981. - T. 36 , núm. 2(218) . — S. 141–172 .
• Michael Aschbacher. El estado de la clasificación de los grupos simples finitos  // Avisos de la American Mathematical Society . - 2004. - T. 51 , núm. 7 . — S. 736–740 .
• Michael Aschbacher, Richard Lyons, Stephen D. Smith, Ronald Solomon. La Clasificación de Grupos Simples Finitos: Grupos de Tipo Característica 2 . - 2011. - V. 172. - (Estudios y Monografías Matemáticas). - ISBN 978-0-8218-5336-8 .
• John Horton Conway , Robert Turner Curtis, Simon Phillips Norton, Richard A. Parker, Robert Arnott Wilson. Atlas de Grupos Finitos : Subgrupos Máximos y Caracteres Ordinarios para Grupos Simples. - Oxford University Press, 1985. - ISBN 0-19-853199-0 .
• Gorenstein D. La clasificación de grupos finitos simples. I. Grupos simples y análisis local  // American Mathematical Society. Boletín. series nuevas. - 1979. - Vol. 1 , número. 1 . — págs. 43–199 . — ISSN 0002-9904 . -doi : 10.1090/ S0273-0979-1979-14551-8.
• Gorenstein D. Grupos simples finitos . - Nueva York: Plenum Publishing Corp., 1982. - (University Series in Mathematics). - ISBN 978-0-306-40779-6 .
• Gorenstein D. La clasificación de grupos finitos simples. vol. 1. Grupos de tipo no característico 2. - Plenum Press, 1983. - (La Serie Universitaria en Matemáticas). - ISBN 978-0-306-41305-6 .
• Gorenstein D. El enorme teorema  // Scientific American. - 1985. - Diciembre ( vol. 253 , número 6 ). — S. 104–115. .
• Gorenstein D. Clasificación de los grupos simples finitos  // American Mathematical Society. Boletín. series nuevas. - 1986. - T. 14 , núm. 1 . — S. 1–98 . — ISSN 0002-9904 . -doi : 10.1090/ S0273-0979-1986-15392-9 .
• Prueba de Clasificación de Segunda Generación - Serie GLS:
  • Gorenstein D., Lyons R., Solomon R. La clasificación de los grupos finitos simples. número 1 Parte I, capítulo 1: Descripción general y capítulo 2: Resumen de la prueba. - Providence, RI: Sociedad Matemática Americana , 1994. - vol. 40.1. — 166p. — (Estudios y Monografías Matemáticas). - ISBN 978-0-8218-0334-9 . SEÑOR : 1303592
  • Gorenstein D., Lyons R., Solomon R. La clasificación de los grupos finitos simples. numero 2 Parte I, capítulo G: Teoría general de grupos. - Providence, RI: Sociedad Matemática Americana , 1996. - vol. 40.2. — 218p. — (Estudios y Monografías Matemáticas). - ISBN 978-0-8218-0390-5 . SEÑOR : 1358135
  • Gorenstein D., Lyons R., Solomon R. La clasificación de los grupos finitos simples. numero 3 Parte I, capítulo A: Grupos 𝒦 casi simples. - Providence, RI: American Mathematical Society , 1998. - vol. 40.3. — 419 pág. — (Estudios y Monografías Matemáticas). - ISBN 978-0-8218-0391-2 . SEÑOR : 1490581
  • Gorenstein D., Lyons R., Solomon R. La clasificación de los grupos finitos simples. numero 4 Parte II, capítulos 1–4: Teoremas de unicidad. - Providence, RI: Sociedad Matemática Americana , 1999. - vol. 40.4. — 341 pág. — (Estudios y Monografías Matemáticas). - ISBN 978-0-8218-1379-9 . SEÑOR : 1675976
  • Gorenstein D., Lyons R., Solomon R. La clasificación de los grupos finitos simples. numero 5 Parte III, capítulos 1–6: El caso genérico, etapas 1–3a. - Providence, RI: Sociedad Matemática Americana , 2002. - vol. 40.5. — 467 pág. — (Estudios y Monografías Matemáticas). - ISBN 978-0-8218-2776-5 . SEÑOR : 1923000
  • Gorenstein D., Lyons R., Solomon R. La clasificación de los grupos finitos simples. numero 6 Parte IV: El caso impar especial. - Providence, RI: Sociedad Matemática Americana , 2005. - vol. 40.6. — 529 pág. — (Estudios y Monografías Matemáticas). - ISBN 978-0-8218-2777-2 . SEÑOR : 2104668
  • Gorenstein D., Lyons R., Solomon R. La clasificación de los grupos finitos simples. numero 7 Parte III, capítulos 7–11: El caso genérico, etapas 3b y 4a. - Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , 2018. - Vol. 40.7. — 344 pág. — (Estudios y Monografías Matemáticas). - ISBN 978-0-8218-4069-6 .
  • Gorenstein D., Lyons R., Solomon R. La clasificación de los grupos finitos simples. numero 8 Parte III, capítulos 12–17: El caso genérico, completado. - Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense, 2018. - Vol. 40.8. — 488 pág. — (Estudios y Monografías Matemáticas). — ISBN 978-1-4704-4189-0 . - ISBN 978-1-4704-5059-5 .
  • Capdeboscq I., Gorenstein D., Lyons R., Solomon R. La clasificación de los grupos finitos simples. numero 9 Parte V, Capítulos 1–8: Teorema C 5 y Teorema C 6 , Etapa 1. - Providence, RI: American Mathematical Society, 2021. - Vol. 40.9. — 520p. — (Estudios y Monografías Matemáticas). — ISBN 978-1-4704-6437-0 . - ISBN 978-1-4704-6561-2 .
  • Errata Archivado el 12 de mayo de 2020 en Wayback Machine .
• Michael Aschbacher y Stephen D. Smith. La clasificación de los grupos cuasifines: I. Estructura de los grupos 𝒦 fuertemente cuasifines . - Sociedad Matemática Americana, 2004. - Vol. 111. - 477 pág. — (Estudios y Monografías Matemáticas). - ISBN 978-0-8218-3410-7 . — ISBN 978-1-4704-1338-5 .
• Michael Aschbacher y Stephen D. Smith. La clasificación de los grupos de cuasitinas: II. Teoremas principales: la clasificación de grupos QTKE simples . - Sociedad Matemática Americana, 2004. - Vol. 112. - 743 pág. — (Estudios y Monografías Matemáticas). — ISBN 978-0-8218-3411-4 . — ISBN 978-1-4704-1339-2 .
• Marcos Ronan. La simetría y el monstruo. - Oxford University Press, 2006. - ISBN 978-0-19-280723-6 . (Resumen para no especialistas)
• Marcus du Sautoy . Encontrar el alcohol ilegal . - Cuarto Poder, 2008. - ISBN 978-0-00-721461-7 . (Otro resumen para no especialistas)
• Esteban D. Smith. Aplicación de la clasificación de grupos simples finitos: guía del usuario . - AMS, 2018. - ISBN 9781470442910 .
• Ron Salomón. Sobre grupos finitos simples y su clasificación  // Avisos de la American Mathematical Society. - 1995. (Presentación técnicamente no demasiado complicada, buena para investigar la historia del tema)
• Ron Salomón. Una breve historia de la clasificación de los grupos finitos simples  // American Mathematical Society. Boletín. series nuevas. - 2001. - T. 38 , núm. 3 . — S. 315–352 . — ISSN 0002-9904 . -doi : 10.1090/ S0273-0979-01-00909-0 . — artículo que ganó el premio Levi L. Conant. Archivado el 31 de marzo de 2016 en Wayback Machine .
• Ronald Salomón. La clasificación de grupos simples finitos: un informe de progreso  // Avisos de la AMS. - 2018. - Vol. 65.—Pág. 646–651. -doi : 10.1090/ noti1689 .
• John G. Thompson . Grupos finitos no solucionables // Teoría de grupos. Ensayos para Philip Hall. - Boston, MA: Academic Press , 1984. - págs. 1-12. — ISBN 978-0-12-304880-6 .
• Roberto A. Wilson. Los grupos simples finitos. - Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , 2009. - V. 251. - (Textos de Grado en Matemáticas). - ISBN 978-1-84800-987-5 . -doi : 10.1007 / 978-1-84800-988-2 .
• Michael Aschbacher, Richard Lyons, Stephen D. Smith, Ronald Solomon. La Clasificación de Grupos Simples Finitos: Grupos de Tipo Característica 2 . - 2011. - V. 172. - (Estudios y Monografías Matemáticas). - ISBN 978-0-8218-5336-8 .
• N. A. Vavilov. Álgebras de Lie simples, grupos algebraicos simples y grupos finitos simples // Matemáticas del siglo XX. Vista desde San Petersburgo / Ed. A. M. Vershika. — M.  : MTsNMO, 2010. — ISBN 978-5-94057-586-3 .

Enlaces

• ATLAS de Representaciones de Grupos Finitos. Archivado el 9 de abril de 2011 en la base de datos de búsqueda Wayback Machine de representaciones de grupos simples finitos y otros datos sobre ellos.
• Elwes, Richard, " Un teorema enorme: la clasificación de grupos finitos simples", archivado el 2 de febrero de 2009 en Wayback Machine " Plus Magazine , número 41, diciembre de 2006. Para no especialistas.
• Madore, David (2003) Órdenes de grupos simples no abelianos. Archivado el 4 de abril de 2005 en Wayback Machine . Incluye una lista de todos los grupos simples no abelianos hasta el orden 10 10 .
• “¿En qué sentido es “imposible” la clasificación de todos los grupos finitos?” en mathoverflow.net Archivado el 10 de enero de 2018 en Wayback Machine .