Punto feuerbach

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El punto de Feuerbach ( teorema de Feuerbach ) es el punto de tangencia de la circunferencia inscrita a la circunferencia de nueve puntos del triángulo . El punto de Feuerbach es un punto tangente de un triángulo, lo que significa que su definición no depende de la ubicación y tamaño del triángulo. El punto se incluye con el código X(11) en la Enciclopedia de centros de triángulos de Clark Kimberling y lleva el nombre de Karl Wilhelm Feuerbach [1] [2] .

El teorema de Feuerbach establece que la circunferencia de nueve puntos toca las tres excircunferencias de un triángulo, así como su circunferencia inscrita [3] . Publicado por Feuerbach en 1822 [4] . Una prueba muy breve de este teorema se basa en el teorema de Casey sobre las tangentes externas a cuatro círculos que no se cortan entre sí y tocan el quinto círculo, estando dentro de él [5] . El teorema de Feuerbach también se utilizó como caso de prueba para la prueba automática [6] . Los tres puntos de tangencia de los excírculos forman el llamado triángulo de Feuerbach del triángulo dado.

Edificio

La circunferencia inscrita del triángulo ABC es la circunferencia tangente a los tres lados del triángulo. Su centro es el punto de intersección de las tres bisectrices del triángulo.

El círculo de nueve puntos se define para un triángulo y se llama así porque pasa por nueve puntos notables del triángulo, entre los cuales los puntos medios de los lados del triángulo son los más simples en términos de construcción. Por estos tres puntos medios de los lados pasa una circunferencia de nueve puntos. Por lo tanto, es el círculo circunscrito del triángulo mediano .

Estos dos círculos se encuentran en el mismo punto donde se tocan . Este punto tangente es el punto de Feuerbach del triángulo .

Además de la circunferencia inscrita del triángulo, se le asocian otras tres circunferencias excéntricas . Estos son círculos que tocan las tres extensiones de los lados del triángulo. Cada excircunferencia es tangente a un lado del triángulo en el exterior y dos extensiones de los otros lados. Al igual que la circunferencia inscrita, las excircunferencias son tangentes a la circunferencia de nueve puntos. Sus puntos de contacto con el círculo de nueve puntos forman el triángulo de Feuerbach.

Propiedades

El punto de Feuerbach se encuentra en una línea recta que pasa por los centros de los círculos que definen este punto . Estos centros son el centro de la circunferencia inscrita y el centro de la circunferencia de las nueve puntas del triángulo [1] [2] .

Sean , y tres distancias del punto de Feuerbach a los vértices del triángulo medio (los puntos medios de los lados BC=a, CA=b y AB=c del triángulo original). Entonces: [7] [8]

o, de manera equivalente, la mayor de las tres distancias es igual a la suma de las otras dos.

En particular, tenemos

donde O es el centro de la circunferencia del triángulo e I es su centro de la circunferencia [9] .

La última propiedad también se cumple para los puntos tangentes de cualquier excircunferencia con un círculo de nueve puntos: la mayor distancia desde este punto tangente al punto medio del lado del triángulo original es igual a la suma de las distancias a los otros dos puntos medios de los lados [8] .

Si un círculo inscrito en el triángulo ABC toca los lados BC, CA, AB en los puntos X , Y y Z respectivamente, y los puntos medios de estos lados son los puntos P , Q y R , entonces los triángulos FPX , FQY y FRZ con el punto F de Feuerbach son semejantes a los triángulos AOI, BOI, COI respectivamente [10] .

Del teorema de Feuerbach se sigue que el punto de Feuerbach se encuentra en círculos circunscritos alrededor de:

  1. los puntos medios de los lados del triángulo;
  2. bases de alturas;
  3. puntos de tangencia del círculo inscrito, pero del teorema de Emelyanov también se deduce que este punto se encuentra en;
  4. un círculo descrito cerca de las bases de las bisectrices;
  5. la circunferencia circunscrita a los puntos de contacto de las excircunferencias con los lados del triángulo [11] .

Punto de Feuerbach y líneas de Simson

El punto de Feuerbach para un círculo inscrito o excírculo dado (círculo de tres tangentes del inglés. Un círculo tritangente ) es el punto de intersección de 2 líneas de Simson , construido para los extremos del diámetro del círculo circunscrito que pasa por el centro correspondiente del inscrito o excírculo. Así, el punto de Feuerbach se puede construir sin utilizar la circunferencia inscrita o excircunferencia correspondiente y la circunferencia de Euler tangente a él [12] .

Puntos de Feuerbach como ortopolos

En la literatura inglesa, 4 centros de 4 círculos: 1 inscrito y 3 excírculos con centros, respectivamente , tocando respectivamente 3 lados diferentes del triángulo o sus extensiones, se denominan 4 centros tritangentes del triángulo (ing. los centros tritangentes ) [13] .

Esta observación es importante para la siguiente afirmación: " Los puntos de Feuerbach de un triángulo son ortópolos de un triángulo dado, si los diámetros del círculo circunscrito que pasa por los centros de tres tangentes correspondientes se toman como líneas ℓ para estos ortópolos " [14] .

Coordenadas

Las coordenadas trilineales del punto de Feuerbach son: [2]

Sus coordenadas baricéntricas son: [8]

donde s es el semiperímetro ( a+b+c)/2 del triángulo.

Tres líneas desde los vértices del triángulo original a través de los vértices correspondientes del triángulo de Feuerbach se cruzan en otro punto notable del triángulo, enumerado con el número X (12) en la Enciclopedia de puntos notables de un triángulo.

Sus coordenadas trilineales son [2] :

Notas

  1. ↑ 1 2 Kimberling, 1994 , pág. 163–187.
  2. ↑ 1 2 3 4 Enciclopedia de puntos notables de un triángulo Archivado el 19 de abril de 2012. , consultado el 24 de octubre de 2014.
  3. ↑ Scheer, 2011 , pág. 205–210.
  4. ↑ Feuerbach, Buzengeiger, 1822 .
  5. ↑ Casey, 1866 , pág. 396–423.
  6. ↑ Chou, 1988 , pág. 237–267.
  7. ↑ Punto de Eric Weisstein Feuerbach
  8. ↑ 1 2 3 Beso, 2016 , pág. 283–290.
  9. ↑ Beso, 2016 , pág. 283-290 Proposiciones. 3.
  10. ↑ Beso, 2016 , pág. 283-290 Proposiciones. cuatro
  11. ↑ Emelyanovs, 2002 , p. 78.
  12. ↑ Geometría universitaria: una introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo. Nathan Altshiller-Court. Mineola, Nueva York: Dover Publication, Inc., 2012. - §648. Observación. Pág. 273
  13. ↑ Geometría universitaria: una introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo. Nathan Altshiller-Court. Mineola, Nueva York: Dover Publication, Inc., 2012. - §b. Los centros tritangentes. P.73-78
  14. ↑ Geometría universitaria: una introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo. Nathan Altshiller-Court. Mineola, Nueva York: Dover Publication, Inc., 2012. - §698. corolario. P.290

Literatura

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