Círculos de embalaje

El artículo describe el empaquetado de círculos en superficies. Para un artículo relacionado sobre el empaquetado circular con un gráfico de intersección dado , consulte el artículo " Teorema del empaquetado circular ".

En geometría , el empaquetamiento de círculos es el estudio de colocar círculos (del mismo tamaño o de diferentes tamaños) en una superficie dada de tal manera que no se intersequen y los círculos se toquen entre sí. La densidad de empaque correspondiente η del arreglo es la fracción del área ocupada por los círculos. Es posible generalizar los empaques circulares a dimensiones más altas; esto se denomina empaque de bolas , que generalmente funciona con las mismas esferas.

Si bien los círculos tienen una densidad máxima de empaquetamiento relativamente baja de 0,9069 en el plano euclidiano , esta densidad no es mínima. No se conoce la "peor" figura de empaquetado del plano, aunque un octágono suavizado tiene una densidad de empaquetado de aproximadamente 0,902414, que es la densidad de empaquetado máxima más pequeña conocida para figuras convexas simétricas centralmente [1] . La densidad de empaquetamiento de las formas cóncavas, como los polígonos en estrella , puede ser arbitrariamente baja.

La rama de las matemáticas conocida como "empaquetamiento de círculos" se ocupa de la geometría y la combinatoria de empaquetamientos de círculos de tamaño arbitrario, y de esto surgen análogos discretos de aplicaciones conformes , superficies de Riemann y similares.

Embalaje plano

Para un espacio euclidiano bidimensional, Joseph Louis Lagrange demostró en 1773 que el empaquetamiento de círculos de celosía de mayor densidad es un empaquetamiento hexagonal [2] en el que los centros de los círculos están ubicados en un entramado hexagonal (filas en zigzag como panales de abeja ), y cada círculo está rodeado por otros seis círculos. La densidad de dicho relleno es igual a

Axel Thue dio la primera prueba de que este empaque es óptimo en 1890, mostrando que la red hexagonal es la más densa de todos los empaques circulares posibles, tanto regulares como irregulares. Sin embargo, esta prueba se consideró incompleta. La primera prueba completa se atribuye a Laszlo Fejes Toth (1940) [2] .

Por otro lado, se han encontrado empaquetaduras rígidas de círculos de baja densidad.

Empaques homogéneos

Hay 11 empaques circulares basados ​​en 11 teselaciones planas uniformes [3] . En estos paquetes, cualquier círculo se puede mapear a cualquier otro círculo por reflexión o rotación. Los espacios hexagonales se pueden llenar con un círculo y los espacios dodecagonales se pueden llenar con 7 círculos, formando empaques de 3 uniformes. Un mosaico trihexagonal truncado con ambos tipos de espacios se puede llenar como un relleno homogéneo de 4. El mosaico trihexagonal chato tiene dos formas de espejo.

1-empaques homogéneos basados ​​en teselados uniformes

triangular
Cuadrado
Hexagonal
Triangular alargado

trihexagonal
cuadrado chato
cuadrado truncado
Hexagonal truncado

Rombotrihexagonal
chato hexagonal
Snub hexagonal (espejo)
Trihexagonal truncado

Embalaje en una esfera

Un problema relacionado es determinar la ubicación de energía mínima de puntos equidistantes que deben estar sobre una superficie dada. El problema de Thomson considera la distribución de cargas eléctricas con la energía más baja en la superficie de una esfera. El problema de Tammes es una generalización de este problema y maximiza la distancia mínima entre círculos en una esfera.

Embalaje en áreas limitadas

Empaquetar círculos en formas acotadas simples es un tipo común de problema matemático recreativo . El efecto de las paredes del contenedor es importante, y el empaque hexagonal generalmente no es óptimo para una pequeña cantidad de círculos.

Círculos desiguales

También hay una serie de problemas que permiten que los tamaños de los círculos no sean uniformes. Una de esas extensiones es el problema de encontrar la densidad máxima posible de un sistema con dos tamaños de círculo ( sistema binario ). Solo nueve proporciones definidas de radios permiten un empaquetamiento compacto en el que si dos círculos se tocan, tocan dos círculos más juntos (si conectas los centros de los círculos que se tocan con segmentos de línea, triangulan la superficie) [4] . Para siete de estas relaciones de radios, se conocen empaquetaduras compactas en las que se logra la máxima relación de empaquetamiento posible (más alta que para círculos del mismo diámetro) para una mezcla de círculos de una relación dada de radios. La densidad de empaquetamiento más alta es 0,911627478 para una relación de radio de 0,545151042• [5] [6] .

También se sabe que si la relación de radios es superior a 0,742, la mezcla binaria no puede empaquetarse mejor que círculos del mismo tamaño [5] . También se obtienen [7] los límites superiores que se pueden lograr mediante un empaquetado binario de este tipo para proporciones de radios más pequeñas .

Aplicaciones de círculos envolventes

La modulación de amplitud en cuadratura se basa en el empaquetamiento de círculos en círculos de espacio de amplitud de fase. El módem transmite datos como una serie de puntos en un plano de amplitud de fase bidimensional. La distancia entre los puntos determina la susceptibilidad del ruido de transmisión, mientras que el diámetro del círculo exterior determina la potencia de transmisión requerida. El rendimiento se maximiza cuando la constelación de señales de puntos de código está en los centros de los círculos densamente empaquetados. En la práctica, el empaquetamiento rectangular se usa a menudo para simplificar la decodificación.

Empaquetar círculos se ha convertido en una herramienta esencial en el arte del origami , ya que cada pieza de una figura de origami requiere un círculo en una hoja de papel [8] . Robert Lang usó las matemáticas del empaquetado circular para desarrollar programas de computadora diseñados para diseñar formas complejas de origami.

Véase también

Notas

  1. ↑ Weisstein, Eric W. Smoothed Octagon  en el sitio web de Wolfram MathWorld .
  2. ↑ 1 2 Chang, Hai-Chau & Wang, Lih-Chung (2010), Una prueba simple del teorema de Thue sobre el empaquetado circular, arΧiv : 1009.4322 [math.MG]. 
  3. ↑ Williams, 1979 , pág. 35-39.
  4. ↑ 1 2 Kennedy, 2006 , pág. 255–267.
  5. ↑ 1 2 3 Heppes, 2003 , pág. 241–262.
  6. ↑ Kennedy .
  7. ↑ de Laat, de Oliveira Filho, Vallentin .
  8. ↑ Lectures on Modern Origami " Robert Lang on TED Archivado el 15 de octubre de 2011 en Wayback Machine ".

Literatura