Grupo fuchs

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El grupo fucsia es un subgrupo discreto del grupo PSL(2, R ) . El grupo puede considerarse como el grupo de movimientos del plano hiperbólico , o aplicaciones conformes del disco unitario, o aplicaciones conformes del semiplano superior . En consecuencia, un grupo fucsia puede considerarse como un grupo que actúa sobre cualquiera de estos espacios. En otras interpretaciones, un grupo fucsia se define como un grupo con un número finito de generadores , o como un subgrupo que contiene elementos que conservan la orientación. También es aceptable definir un grupo fucsiano como un kleiniano (grupo discreto de PSL(2, C ) ) que es conjugado a un subgrupo de . ${\ estilo de visualización \ mathrm {PSL} (2, \ mathbb {R})}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {PGL} (2, \ mathbb {R})}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {PSL} (2, \ mathbb {R})}$

Los grupos fucsianos se utilizan para crear un modelo fucsiano de superficies de Riemann . En este caso, el grupo puede denominarse grupo de superficie fucsia . En cierto sentido, los grupos fucsianos hacen por la geometría no euclidiana lo que hacen los grupos cristalográficos por la geometría euclidiana . Algunos de los dibujos de Escher se basan en grupos fucsianos (para el modelo de disco de la geometría de Lobachevsky ).

Los grupos del General Fuchsian fueron los primeros en ser estudiados por Henri Poincaré [1] , quien se interesó por el artículo de Lazarus Fuchs [2] , y este nombre proviene de su nombre.

Grupos fucsias en el semiplano superior

Sea el semiplano superior . Entonces se tiene un modelo del plano hiperbólico el cual está provisto de la métrica $\mathbb {H} =\{z\in \mathbb {C} :\mathrm {Im} (z)>0$ ${\ matemáticas {H}}$

ds={\frac {1}{y}}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}.

El grupo PSL(2, R ) actúa sobre una transformación lineal fraccionaria (que se conoce como la transformación de Möbius ): ${\ matemáticas {H}}$

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot z={\frac {az+b}{cz+d)).

Esta acción es eficiente y, de hecho, isomorfa al grupo de todos los movimientos que conservan la orientación de . ${\ estilo de visualización \ mathrm {PSL} (2, \ mathbb {R})}$ ${\ matemáticas {H}}$

Un grupo fucsia se puede definir como un subgrupo de un grupo que actúa de forma discontinua sobre . Eso es $\Gama$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {PSL} (2, \ mathbb {R})}$ ${\ matemáticas {H}}$

Para cualquier z , las órbitas no tienen puntos límite en . ${\ matemáticas {H}}$ ${\displaystyle {\Gamma }z=\{{\gamma }z\colon \gamma \in \Gamma \))$ ${\ matemáticas {H}}$

Una definición equivalente es un grupo fucsia cuando . Esto significa que: $\Gama$ $\Gama$

Cualquier secuencia de elementos que converge al elemento identidad en la topología habitual de convergencia puntual es finalmente constante, es decir, existe un número entero N tal que para cualquier n > N , donde E es la matriz identidad. ${\ estilo de visualización \ {\ gamma _ {n} \)}$ $\Gama$ ${\ estilo de visualización \ gamma _ {n} = E}$

Aunque la discontinuidad y la discreción son equivalentes en este caso, esto no es cierto para el caso de grupos arbitrarios de homeomorfismos conformes que actúan sobre la esfera completa de Riemann (en contraste con ). Además, el grupo Fuchsian es discreto pero tiene puntos límite en la línea real Im z = 0: los elementos tendrán z = 0 para cualquier número racional, y los números racionales son densos en . ${\ matemáticas {H}}$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ $\matemáticas {Q}$ $\matemáticas {R}$

Definición básica

La transformación lineal-fraccional, definida por una matriz de , conserva la esfera de Riemann , pero envía el semiplano superior a algún disco abierto . La transformación conjugada a tal transformación envía un subgrupo discreto a un subgrupo discreto del grupo conservando . $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {C} )$ $\mathbf {P} ^{1}(\mathbb {C} )=\mathbb {C} \cup \infty$ ${\ matemáticas {H}}$ $\Delta$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {PSL} (2, \ mathbb {R})}$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {C} )$ $\Delta$

Esto da lugar a la siguiente definición de un grupo fucsia . Let actúa invariablemente en su propio disco abierto , es decir, . Entonces es fucsia si y solo si se cumple alguna de las siguientes propiedades equivalentes: $\Gamma \subconjunto \mathrm {PSL} (2,\mathbb {C} )$ $\Delta \subset \mathbb {C} \cup \infty$ ${\ estilo de visualización \ Gamma (\ Delta) = \ Delta}$ $\Gama$

$\Gama$ es un grupo discreto (teniendo en cuenta la topología estándar en ). $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {C} )$
$\Gama$ actúa propiamente discontinuamente en cada punto . ${\ estilo de visualización z \ en \ Delta}$
el conjunto es un subconjunto de la región de discontinuidad de . $\Delta$ ${\ estilo de visualización \ Omega (\ Gamma)}$ $\Gama$

Es decir, cualquiera de estas tres propiedades se puede utilizar como definición de un grupo fucsiano, las demás se derivan de la definición elegida como teorema. La noción de un subconjunto discontinuo invariante propio es importante. El llamado grupo de Picard es discreto, pero no conserva ningún disco en la esfera de Riemann. Además, incluso el grupo modular , que es un grupo fucsia, no actúa discontinuamente sobre la línea real. Tiene puntos límite en los números racionales . Asimismo, es importante la idea de qué es un subconjunto propio de la región de discontinuidad. Si esto no está presente, el subgrupo se llama grupo kleiniano . $\Delta$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} [i])$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ $\Delta$

Por lo general, se toma como región invariante un disco unitario abierto o un semiplano superior . $\Delta$

Conjuntos de límites

En vista de la discreción de la acción, la órbita del punto z en el semiplano superior bajo la acción no tiene puntos de condensación en el semiplano superior. Sin embargo, puede haber puntos límite en el eje real. Sea el conjunto límite del grupo , es decir, el conjunto de puntos límite para . entonces _ El conjunto límite puede estar vacío o constar de uno o dos puntos, o puede constar de un número infinito. En este último caso, hay dos opciones: ${\ Displaystyle {\ Gamma} z}$ $\Gama$ ${\ estilo de visualización \ Lambda (\ Gamma)}$ $\Gama$ ${\ Displaystyle {\ Gamma} z}$ $z\in \mathbb {H}$ $\Lambda (\Gamma )\subseteq \mathbb {R} \cup \infty$

Un grupo fucsia del primer tipo es un grupo cuyo límite establecido es una línea real cerrada . Esto sucede cuando el espacio del cociente tiene volumen finito, pero existen grupos fucsianos de primera clase con covolumen infinito. $\mathbb {R} \taza \infty$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {H} / \ Gamma}$

De lo contrario, se dice que el grupo fucsia es del segundo tipo . De manera equivalente, es un grupo para el cual el conjunto límite es un conjunto perfecto , es decir, un conjunto denso en ninguna parte . Dado que no es denso en ninguna parte, se sigue que cualquier punto límite está arbitrariamente cerca de algún conjunto abierto que no pertenece al conjunto límite. En otras palabras, el conjunto límite es el conjunto de Cantor . $\mathbb {R} \taza \infty$

El tipo de un grupo fucsiano no tiene por qué ser el mismo si se considera un grupo kleiniano; de hecho, todos los grupos fucsianos son grupos kleinianos del segundo tipo, ya que sus conjuntos límite (como grupos kleinianos) son subconjuntos propios de la esfera de Riemann. contenida en algún círculo.

Ejemplos

Un ejemplo de grupo fucsia es el grupo modular . Es un subgrupo del grupo formado por transformaciones lineales-fraccionarias $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ ${\ estilo de visualización \ matemáticas {PSL} (2, R)}$

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}

donde a , b , c , d son números enteros. El espacio del cociente es el espacio de los módulos de las curvas elípticas . $\mathbb {H} /\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$

Los grupos fucsianos también incluyen grupos para cada n > 0. Aquí consisten en transformaciones fraccionarias lineales de la forma anterior, donde los elementos de la matriz ${\ estilo de visualización \ gamma (n)}$ ${\ estilo de visualización \ gamma (n)}$

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}

son comparables con los elementos de la matriz identidad con respecto al submódulo n .

Un ejemplo compacto es el (habitual) Triangle Group (2,3,7) (por rotaciones), que contiene todos los grupos fucsianos de las superficies cuartica de Klein y McBeath , como otros grupos de Hurwitz . De manera más general, cualquier grupo hiperbólico de von Dyck (un subgrupo del grupo triangular con índice 2 correspondiente a movimientos que conservan la orientación) es un grupo fucsiano.

Todos ellos son grupos fucsias de primera especie .

Todos los subgrupos cíclicos hiperbólicos y parabólicos del grupo son fucsianos. ${\ estilo de visualización \ mathrm {PSL} (2, \ mathbb {R})}$
Cualquier subgrupo cíclico elíptico es fucsia si y solo si es finito.
Cualquier grupo abeliano fucsiano es cíclico.
Ningún grupo fucsia es isomorfo . $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$
Sea un grupo fucsiano no abeliano. Entonces el normalizador del grupo es Fucsia. $\Gama$ $\Gama$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {PSL} (2, \ mathbb {R})}$

Propiedades métricas

Si h es un elemento hiperbólico, la longitud de traslación L de la acción de grupo en el semiplano superior está relacionada con la traza de h como matriz por la relación ${\ estilo de visualización 2 \ veces 2}$

|\mathrm {tr} \;h|=2\cosh {\frac {L}{2)).

Una propiedad similar se cumple para la sístole de la superficie de Riemann correspondiente si el grupo de Fuchsian está libre de torsión y es cocompacto.

Véase también

Grupo cuasi-fucsia
Grupo cristalográfico no euclidiano
Grupo Schottky

Literatura

Lázaro Fuchs . Ueber eine Klasse von Funktionen mehrerer Variablen, welche durch Umkehrung der Integrale von Lösungen der linearen Differentialgleichungen mit racionalen Coeffizienten entstehen // J. Reine Angew. Matemáticas.. - 1880. - T. 89 . — S. 151–169 .
Hershel M. Farkas, Irwin Kra. Ver sección 1.6 // Constantes Theta, Superficies de Riemann y el Grupo Modular. — Providence R.I.: Sociedad Matemática Estadounidense . — ISBN 978-0-8218-1392-8 .
Henryk Iwaniec . Consulte el Capítulo 2. // Métodos espectrales de formas automórficas, segunda edición. - Providence, RI: America Mathematical Society, 2002. - V. 53. - ( Estudios de Posgrado en Matemáticas ). - ISBN 978-0-8218-3160-1 .
Svetlana Katok . Grupos Fucsia. - Chicago: University of Chicago Press, 1992. - ISBN 978-0-226-42583-2 .
David Mumford , Serie Caroline, David Wright. Las perlas de Indra: La visión de Felix Klein . - Prensa de la Universidad de Cambridge, 2002. - ISBN 978-0-521-35253-6 . .
Peter J. Nicholls. La teoría ergódica de los grupos discretos. - Cambridge: Cambridge University Press, 1989. - V. 143. - (Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society). - ISBN 978-0-521-37674-7 .
Henri Poincaré . Théorie des groupes fuchsiens // Acta Mathematica . - Springer Holanda, 1882. - T. 1 . — Pág. 1–62 . — ISSN 0001-5962 . -doi : 10.1007/ BF02592124.
Ernest B. Winberg . Enciclopedia matemática / editor jefe I.M. Vinogradov. - Enciclopedia soviética, 1977. - V. 5.