Grupo fundamental

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Un grupo fundamental es un grupo definido que está asociado con un espacio topológico . En términos generales, este grupo mide el número de "agujeros" en el espacio. La presencia de un "agujero" está determinada por la imposibilidad de deformar continuamente alguna curva cerrada en un punto.

El grupo fundamental de un espacio se suele denotar con o , esta última notación es aplicable a espacios conexos. La trivialidad del grupo fundamental suele escribirse como , aunque la notación es más adecuada. $X$ $\pi _{1}(X,x_{0})$ $\pi_{1}(X)$ ${\ estilo de visualización \ pi _ {1} (X) = 0}$ ${\ estilo de visualización \ pi _ {1} (X) = \ {1 \))$

Definición

Sea un espacio topológico con punto marcado . Considere el conjunto de bucles desde ; es decir, el conjunto de aplicaciones continuas tales que . Dos bucles y se consideran equivalentes si son homotópicos entre sí en la clase de bucles, es decir, hay una homotopía que los conecta que satisface la propiedad . Las clases de equivalencia correspondientes (denotadas ) se denominan clases de homotopía . El producto de dos bucles es un bucle determinado por su paso sucesivo: $X$ $x_{0}\en X$ $X$ $x_{0}$ $f\dos puntos [0,1]\a X$ $f(0)=x_{0}=f(1)$ $F$ $gramo$ $pie$ $f_{t}(0)=x_{0}=f_{t}(1)$ $[F]$

(f*g)(t)={\begin{casos}f(2t),~t\in [0,{1 \over 2}]\\g(2t-1),~t\in [{1 \sobre 2},1]\end{casos}}

El producto de dos clases de homotopía es la clase de homotopía de un producto de bucles. Se puede demostrar que no depende de la elección de bucles en las clases. El conjunto de clases de bucles de homotopía con dicho producto se convierte en un grupo . Este grupo se denomina grupo fundamental del espacio de puntos marcado y se denota por . $[F]$ $[gramo]$ $[mierda]$ $X$ $x_{0}$ $\pi _{1}(X,x_{0})$

Comentarios

Se puede pensar en un pro como un par de espacios . $(X,x_{0})$ ${\ estilo de visualización (X, \ {x_{0}\})}$
La unidad del grupo es la clase del bucle idéntico o fijo, el elemento inverso es la clase del bucle recorrido en sentido contrario.
Si es un espacio conexo por caminos , entonces, salvo isomorfismo, el grupo fundamental no depende del punto marcado. Por lo tanto, para tales espacios, uno puede escribir en su lugar sin temor a causar confusión. Sin embargo, para dos puntos existe un isomorfismo canónico entre y sólo si el grupo fundamental es abeliano. $X$ $\pi_{1}(X)$ $\pi _{1}(X,x_{0})$ $x,y\en X$ $\pi_{1}(X,x)$ $\pi _{1}(X,y)$

Definiciones relacionadas

Todo mapeo continuo de espacios puntiagudos induce un homomorfismo definido por la fórmula . Así, tomando el grupo fundamental junto con la operación descrita se forma un funtor . $\varphi :(X,x_{0})\to (Y,\varphi(x_{0}))$ $\varphi _{*}=\pi _{1}\varphi :\pi _{1}(X,x_{0})\a \pi _{1}(Y,\varphi (x_{0}))$ $\varphi _{*}[f]=[\varphi f]$ $\pi _{1}:{\mathbf {hTop}}\to {\mathbf {Grp}}$

Un espacio se llama simplemente conexo si es conexo por caminos y el grupo es trivial (consiste en uno solo). $X$ $\pi_{1}(X)$

Ejemplos

B tiene solo una clase de ciclo de homotopía. Por lo tanto, el grupo fundamental es trivial, . Lo mismo es cierto para cualquier espacio: un subconjunto convexo de . $\mathbb{R} ^{n}$ ${\ estilo de visualización \ pi _ {1} (\ mathbb {R} ^ {n}) = 0}$ $\mathbb{R} ^{n}$

En un círculo , cada clase de homotopía consta de bucles que dan vueltas alrededor del círculo un número determinado de veces, que pueden ser positivas o negativas según la dirección. Por tanto, el grupo fundamental de la circunferencia es isomorfo al grupo aditivo de los enteros . ${\mathbb S}^{1}$ $\matemáticas {Z}$

El grupo fundamental de la esfera -dimensional es trivial para todos . $norte$ ${\mathbb S}^{n}$ $n\geq 2$

El grupo fundamental de los ocho no es abeliano, es un producto libre . Es válido un resultado más general, que se sigue del teorema de van Kampen : si y son espacios conexos por caminos y están localmente simplemente conexos, entonces el grupo fundamental de su ramillete (pegado en un punto seleccionado) es isomorfo al producto libre de sus grupos fundamentales: $\mathbb {S} ^{1}\vee \mathbb {S} ^{1}$ $\mathbb {Z} *\mathbb {Z}$ $X$ $Y$ $\pi_{1}(X\vee Y)\cong \pi_{1}(X)*\pi_{1}(Y).$

El grupo fundamental del plano con puntas pinchadas es un grupo libre con generadores. $\matemáticas {R} ^{2}$ $norte$ $norte$

El grupo fundamental de una superficie cerrada orientada del género puede estar dado por generadores con una sola relación: . $gramo$ $a_{1},\puntos,a_{g},b_{1},\puntos,b_{g}$ $a_{1}b_{1}a_{1}^{{-1}}b_{1}^{{-1}}\puntos a_{g}b_{g}a_{g}^{{-1} }b_{g}^{{-1}}=1$

Propiedades

El grupo fundamental de un espacio depende únicamente de su tipo de homotopía .
- Lo contrario es cierto para los espacios asféricos conectados por caminos ; ver también espacio K(G,n) .

Si es un retracto que contiene un punto marcado , entonces el homomorfismo inducido por la incrustación es inyectivo . $A$ $X$ $x_{0}$ $i_{*}:\pi_{1}(A,x_{0})\a \pi_{1}(X,x_{0})$ $i:A\hookrightarrow X$
- En particular, el grupo fundamental del componente conectado por caminos que contiene el punto marcado es isomorfo al grupo fundamental de todo . $X$ $X$
- Si es una
retracción de deformación estricta , entonces es un isomorfismo. $A$ $X$ $i_{*}:\pi_{1}(A,x_{0})\a \pi_{1}(X,x_{0})$

$\pi_{1}$ conserva el producto : para cualquier par de espacios topológicos con puntos marcados y hay un isomorfismo $(X,x_{0})$ $(Y,y_{0})$ $\pi _{1}(X\times Y,(x_{0},y_{0}))\cong \pi_{1}(X,x_{0})\times \pi_{1}(Y ,y_{0}),$

natural en y .

(X,x_{0})

(Y,y_{0})

Teorema de Van Kampen : Si es la unión de conjuntos abiertos conexos por caminos , cada uno de los cuales contiene un punto marcado , y si cada intersección es conexa por caminos, entonces el homomorfismo inducido por las incrustaciones es sobreyectivo. Además, si cada intersección está conectada por caminos, entonces el núcleo de homomorfismo es el subgrupo normal más pequeño que contiene todos los elementos de la forma (donde es inducido por la incrustación ), y por lo tanto induce un isomorfismo ( el primer teorema de isomorfismo ). [1] En particular, $X$ $A_{\alfa}$ $x_{0}\en X$ $A_{\alfa}\cap A_{\beta}$ $\Phi :\ast _{\alpha }\pi _{1}(A_{\alpha })\to \pi _{1}(X)$ $A_{\alfa}\hookrightarrow X$ $A_{\alpha }\cap A_{\beta }\cap A_{\gamma }$ $\Fi$ $norte$ $i_{{\alfa \beta }}(\omega )i_{{\beta \alfa }}(\omega )^{{-1}}$ $i_{{\alfa\beta}}$ $A_{\alpha }\cap A_{\beta }\hookrightarrow A_{\alpha }$ $\Fi$ $\pi _{1}(x)\cong \ast _{\alfa}\pi _{1}(A_{\alfa})/N$
- $\pi_{1}$ conserva coproductos : naturalmente sobre todo . $\pi _{1}(\bigvee _{\alpha }X_{\alpha })\cong \ast _{\alpha }\pi _{1}(X_{\alpha })$ $X_{\alfa}$
- (caso de dos ): la condición para intersecciones triples se vuelve redundante, y resulta que , que es una forma acotada (caso de trayectoria conectada ) de conservación de
choques . $A_{\alfa}$ $\pi _{1}(A_{1}\cup A_{2})\cong \pi_{1}(A_{1}){\mathbin {\ast_{{\pi (A_{1}\cap A_{2})}}}}\pi_{1}(A_{2})$ $A_{1}\cap A_{2}$

El grupo fundamental de un grupo topológico es abeliano, como demuestra el argumento de Eckmann-Hilton .

Los grupos libres y solo ellos pueden realizarse como grupos fundamentales de gráficos (de hecho, la contracción de un árbol de expansión a un punto realiza la equivalencia de homotopía de un gráfico y un grupo de círculos , también se puede aplicar el teorema de van Kampen).

Un grupo arbitrario se puede realizar como el grupo fundamental de un complejo celular bidimensional .

Un grupo dado finitamente arbitrario se puede realizar como el grupo fundamental de un 4-variedad cerrado.

El grupo fundamental de un espacio actúa por turnos sobre la cobertura universal de ese espacio (si se define la cobertura universal).

Variaciones y generalizaciones

El grupo fundamental es el primero de los grupos de homotopía .
El grupoide fundamental de un espacio es un grupoide cuyos objetos son puntos y cuyos morfismos son clases de caminos de homotopía con composición de caminos. Además , y si está conectado por caminos, entonces la incrustación es una equivalencia de las categorías . $X$ $\Pi(X)$ $X$ $\pi _{1}(X,x_{0})\cong \nombre del operador {Aut}_({\Pi (X)))x_{0}$ $X$ $\pi _{1}(X,x_{0})\hookrightarrow \Pi (X)$

Notas

↑ A. Hatcher , Topología algebraica, M.: MTsNMO, 2011.

Literatura

Vasiliev V. A. Introducción a la topología. - M. : FAZIS, 1997. - 132 p. — ISBN 5-7036-0036-7 .
Matveev SV Grupo fundamental: Conferencias sobre el curso "Topología". - Cheliábinsk: ChelGU, 2001. - 16 p. (hay un pdf)
Fomenko Anatoly Timofeevich. Geometría diferencial y topología (capítulos adicionales). - Dinámica R&C, 1999. - 250 p.