Ecuación de Poisson apantallada

En matemáticas , una ecuación de Poisson filtrada es una ecuación diferencial parcial de la forma:

\left[\nabla ^{2}-\lambda ^{2}\right]u(\mathbf {r} )=-f(\mathbf {r} ),

donde es el operador de Laplace , es una constante, es una función de posición arbitraria (conocida como la "función fuente") y es la función deseada. La ecuación de Poisson apantallada se usa a menudo en física , incluida la teoría de Yukawa de apantallamiento de mesones y apantallamiento de campos eléctricos en plasmas . ${\displaystyle {\nabla}^{2))$ $\lambda$ $F$ $tu$

Cuando es igual a cero, la ecuación se convierte en la ecuación de Poisson . Por lo tanto, cuando es muy pequeña, la solución se aproxima a la solución de la ecuación de Poisson sin blindaje, que es una superposición de funciones, una función fuente ponderada estadísticamente : $\lambda$ $\lambda$ ${\ estilo de visualización 1/r}$ $F$

u(\mathbf {r} )_{(Poisson)}=\int d^{3}r'{\frac {f(\mathbf {r} ')}{4\pi |\mathbf {r } -\mathbf {r} '|}}.

En cambio, cuando es muy grande, se acerca al valor de , que a su vez se acerca a cero cuando tiende a infinito. Como veremos, la solución promedio se comporta como una superposición de funciones apantalladas (o amortiguadas) , y será la fuerza de apantallamiento. $\lambda$ $tu$ $f/\lambda^{2}$ $\lambda$ $\lambda$ ${\ estilo de visualización 1/r}$ $\lambda$

La ecuación de Poisson filtrada se puede resolver para el general usando la función de Green . La función de Green se define como $F$ $GRAMO$

\left[\nabla ^{2}-\lambda ^{2}\right]G(\mathbf {r} )=-\delta ^{3}(\mathbf {r} ).

Suponiendo que sus derivadas también son despreciables en general , podemos realizar la transformada de Fourier en coordenadas espaciales: $tu$ $r$

{\displaystyle G(\mathbf {k} )=\int d^{3}r\;G(\mathbf {r} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} ))

donde la integral se toma sobre todo el espacio. Entonces se puede demostrar que

\left[k^{2}+\lambda ^{2}\right]G(\mathbf {k} )=1.

Por lo tanto, la función de Green en está dada por la transformada inversa de Fourier: $r$

G(\mathbf {r} )={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\;\int d^{3}\!k\;{\frac {e^ {-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}{k^{2}+\lambda ^{2}}}.

Esta integral se puede evaluar usando coordenadas esféricas en el espacio. La integración sobre coordenadas angulares no es difícil, y la integral está simplificada; ahora necesita integrar solo sobre una coordenada radial : $k$ $k$

G(\mathbf {r} )={\frac {1}{2\pi ^{2}r}}\;\int \limits _{0}^{\infty }dk\;{\frac {k\,\sin kr}{k^{2}+\lambda^{2}}}.

Esta integral se puede evaluar por integración de contorno ( teoría de residuos ). Como resultado, obtenemos:

G(\mathbf {r} )={\frac {e^{-|\lambda |r}}{4\pi r}}.

La solución final a todo el problema:

u(\mathbf {r} )=\int d^{3}r'G(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')f(\mathbf {r} ')=\int d^ {3}r'{\frac {e^{-|\lambda ||\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} ' |}}f(\mathbf{r} ').

Como se mencionó anteriormente, esta es una superposición de funciones filtradas, ponderada estadísticamente por la función fuente , y es el factor de filtrado. La función apantallada aparece a menudo en física como el potencial de Coulomb apantallado, y también se conoce el " potencial de Yukawa " . ${\ estilo de visualización 1/r}$ $F$ $\lambda$ ${\ estilo de visualización 1/r}$

Véase también

interacción Yukawa

física matemática

Tipos de ecuaciones

Condiciones de borde

Ecuaciones de la física matemática

Difusión y Convección	Ecuación de calor Ecuación de difusión Ecuación de Mason-Weaver
hidrodinámica	Ecuación de transferencia Ecuaciones de Navier-Stokes ecuación de Euler Ecuación de Gromeka-Lamb Ecuación de vórtice Ecuación de hamburguesas Ecuaciones de aguas poco profundas Ecuación de Korteweg-de Vries
Electromagnetismo	ecuaciones de Maxwell Ecuación de Helmholtz Ecuación de Landau-Lifshitz Ecuación de Poisson apantallada
Mecánica cuántica	Ecuación de Schrödinger Ecuación de Heisenberg Ecuación de Rarita-Schwinger ecuación de Hartree Ecuación de Dirac Ecuación de Klein-Gordon
Modelos Generales	Ecuación de continuidad ecuación de onda Ecuación de Fokker-Planck Ecuación de Poisson

Métodos de solución

Métodos para resolver ecuaciones diferenciales

Métodos de cuadrícula

Métodos de elementos finitos	Método de elementos finitos método Galerkin Método de Galerkin discontinuo Método de elementos finitos multiescala método multired
Otros metodos	Método de diferencias finitas Método de volumen finito método de Godunov Método de elementos de contorno

Métodos sin cuadrícula

Estudio de Ecuaciones

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