Ecuación elíptica

Las ecuaciones elípticas son una clase de ecuaciones diferenciales parciales que describen procesos estacionarios.

Definición

Considere la forma general de una ecuación diferencial parcial escalar de segundo orden con respecto a la función : $u:R^{n}\flecha derecha R$

\sum _{{i=1}}^{n}\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}{\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial x_ {i}\parcial x_{j}}}+\sum_{{k=1}}^{n}b_{k}{\frac {\parcial u}{\parcial x_{k}}}+cu= f(x_{1},\ldots,x_{n})

En este caso, la ecuación se escribe en forma simétrica, es decir: . Entonces la ecuación equivalente en forma de forma cuadrática : $a_{{ij}}=a_{{ji}}$

\left(\nabla A\nabla ^{T}\right)u+{\mathbf {b}}\cdot \nabla u+cu=f(x_{1},\ldots,x_{n})

donde _ La matriz se llama matriz de coeficientes principales . Si todos los valores propios de la matriz tienen el mismo signo, entonces la ecuación es de tipo elíptica [1] . Otra definición equivalente: una ecuación se llama elíptica si se puede representar como: $A=A^{T}$
$A$
$A$

Lu=f(x_{1},\ldots,x_{{n}})

donde es un operador elíptico . $L$

Las ecuaciones elípticas se oponen a las parabólicas e hiperbólicas , aunque esta clasificación no es exhaustiva.

Resolución de ecuaciones elípticas

Para la solución analítica de ecuaciones elípticas bajo condiciones de contorno dadas , se utilizan el método de separación de variables de Fourier , el método de la función de Green y el método del potencial .

Ejemplos de ecuaciones elípticas

En física matemática , las ecuaciones elípticas surgen en problemas que se reducen solo a coordenadas espaciales : o nada depende del tiempo (procesos estacionarios), o de alguna manera se excluye.

La ecuación de Laplace y la ecuación de Poisson describen varios campos físicos estacionarios.
Análogo estacionario de la ecuación de Schrödinger , cuando se supone una dependencia temporal armónica.
Ecuaciones derivadas de las ecuaciones de Maxwell . Estos se obtienen asumiendo que el campo electromagnético no cambia con el tiempo o cambia de acuerdo con una ley armónica. Una de las ecuaciones obtenidas bajo tales supuestos es la ecuación de Helmholtz .
La ecuación de Stokes es un análogo estacionario del sistema de ecuaciones de Navier-Stokes , para un flujo constante.

Así como muchos otros análogos estacionarios de ecuaciones hiperbólicas y parabólicas.

Véase también

Notas

↑ Tikhonov A.N. , Samarsky A.A. Ecuaciones de la física matemática. - 5ª ed. — Moscú: Nauka, 1977.

física matemática

Tipos de ecuaciones

Condiciones de borde

Ecuaciones de la física matemática

Difusión y Convección	Ecuación de calor Ecuación de difusión Ecuación de Mason-Weaver
hidrodinámica	Ecuación de transferencia Ecuaciones de Navier-Stokes ecuación de Euler Ecuación de Gromeka-Lamb Ecuación de vórtice Ecuación de hamburguesas Ecuaciones de aguas poco profundas Ecuación de Korteweg-de Vries
Electromagnetismo	ecuaciones de Maxwell Ecuación de Helmholtz Ecuación de Landau-Lifshitz Ecuación de Poisson apantallada
Mecánica cuántica	Ecuación de Schrödinger Ecuación de Heisenberg Ecuación de Rarita-Schwinger ecuación de Hartree Ecuación de Dirac Ecuación de Klein-Gordon
Modelos Generales	Ecuación de continuidad ecuación de onda Ecuación de Fokker-Planck Ecuación de Poisson

Métodos de solución

Métodos para resolver ecuaciones diferenciales

Métodos de cuadrícula

Métodos de elementos finitos	Método de elementos finitos método Galerkin Método de Galerkin discontinuo Método de elementos finitos multiescala método multired
Otros metodos	Método de diferencias finitas Método de volumen finito método de Godunov Método de elementos de contorno

Métodos sin cuadrícula

Estudio de Ecuaciones

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