Distribución de Pareto

Distribución de Pareto
$x_{\text{m}}=1$ Densidad de probabilidad
$x_{\text{m}}=1$ función de distribución
Designacion	$P(k,x_{\text{m)))$
Opciones	$x_{\text{m}}>0$ - factor de escala $k>0$
Transportador	$x\in [x_{\text{m));+\infty )$
Densidad de probabilidad	${\frac {k\,x_{\text{m}}^{k}}{x^{k+1}}}$
función de distribución	$1-\left({\frac {x_{\text{m}}}{x}}\right)^{k}$
Valor esperado	${\frac{kx_{\text{m}}}{k-1}}$ , si $k>1$
Mediana	$x_{\text{m}}{\sqrt[{k}]{2}}$
Moda	$x_{\text{m))$
Dispersión	$\left({\frac {x_{\text{m}}}{k-1}}\right)^{2}{\frac {k}{k-2}}$ a $k>2$
Coeficiente de asimetría	${\displaystyle {\frac {2(1+k)}{k-3))\,{\sqrt {\frac {k-2}{k))))$ a ${\ Displaystyle k> 3}$
Coeficiente de curtosis	${\frac {6(k^{3}+k^{2}-6k-2)}{k(k-3)(k-4)))$ a ${\ Displaystyle k> 4}$
entropía diferencial	$\ln \left({\frac {k}{x_{\text{m))))\right)-{\frac {1}{k}}-1$
Función generadora de momentos	no determinado
función característica	$k{\grande (}\Gamma (-k){\grande [}x_{\text{m}}^{k}(-it)^{k}-(-ix_{\text{m} }t)^{k}{\grande ]}+{}$ ${\displaystyle {}+E_{\text{k+1}}(-ix_{\text{m}}t){\grande )))$

La distribución de Pareto en la teoría de la probabilidad es una familia de dos parámetros de distribuciones absolutamente continuas que son leyes de potencia. Es llamado con el nombre de Wilfredo Pareto . Ocurre en el estudio de diversos fenómenos, en particular, sociales, económicos y físicos [1] . Fuera del campo de la economía, a veces también se le llama distribución de Bradford.

Definición

Sea una variable aleatoria tal que su distribución esté dada por la igualdad $X$

F_{X}(x)=P(X<x)=1-\left({\frac {x_{\text{m}}}{x}}\right)^{k},\ \ para todo x\geqslant x_{\text{m)),

donde _ Entonces decimos que tiene una distribución de Pareto con parámetros y . La densidad de la distribución de Pareto tiene la forma $x_{\text{m)),k>0$ $X$ $x_{\text{m))$ $k$

f_{X}(x)={\begin{casos}{\dfrac {kx_{m}^{k}}{x^{k+1}}},&x\geqslant x_{m},\ \[1ex]0,&x<x_{m}.\end{casos}}

Momentos

Los momentos de una variable aleatoria , que tiene una distribución de Pareto, vienen dados por la fórmula

\mathbb {E} \left[X^{n}\right]={\frac {kx_{m}^{n}}{kn}},

de donde, en particular,

\mathbb {E} [X]={\frac {kx_{m}}{k-1)),

\mathrm {D} [X]=\left({\frac {x_{m}}{k-1}}\right)^{2}{\frac {k}{k-2}}.

Aplicaciones

Vilfredo Pareto usó originalmente esta distribución para describir la distribución de la riqueza así como la distribución del ingreso [2] . Sin embargo, su "regla de 20 a 80" (que dice: el 20% de la población posee el 80% de la riqueza) depende del valor específico de , y se argumenta que, de hecho, hay desviaciones cuantitativas significativas, por ejemplo, los datos de Pareto sobre Gran Bretaña en su obra "The Course of Political Economy" se dice que allí aproximadamente el 30% de la población posee el 70% de los ingresos totales. $k$

La distribución de Pareto no solo se encuentra en economía. Se pueden dar los siguientes ejemplos:

En lingüística, la distribución de Pareto se conoce como la ley de Zipf (para diferentes idiomas, el exponente puede variar ligeramente, también hay una ligera desviación de una ley de potencia simple para las palabras más frecuentes, pero en general, la ley de potencia describe esta distribución bastante bien). Se pueden considerar manifestaciones particulares de este patrón:
- La dependencia de la frecuencia absoluta de las palabras (cuántas veces ocurrió cada palabra en particular) en un texto suficientemente largo del rango (número de serie cuando se ordenan las palabras por frecuencia absoluta). El carácter de poder permanece independientemente de si las palabras se reducen a la forma inicial o se toman del texto tal cual.
- Una curva similar para la popularidad de los nombres.
Distribución del tamaño de los asentamientos [3] .

Véase también

Notas

↑ Guerriero, V. Distribución de la ley de potencias: método de estadística inferencial multiescala // Journal of Modern Mathematics Frontier ( JMMF). - 2012. - vol. 1 , no. 1 . - P. 21-28 . Archivado desde el original el 5 de diciembre de 2013.
↑ Pareto, Vilfredo, Cours d'Économie Politique: Nouvelle édition par G.-H. Bousquet et G. Busino , Librairie Droz, Ginebra, 1964, páginas 299-345.
↑ Reed, WJ , Jorgensen, M. La distribución doble Pareto-Lognormal: un nuevo modelo paramétrico para distribuciones de tamaño // Comunicaciones en estadística: teoría y métodos. - 2004. - vol. 33 , edición. 8 _ - Pág. 1733-1753 . -doi : 10.1081 / STA-120037438 .

Literatura

Artyukhov VV Eficiencia // Teoría General de Sistemas: Autoorganización, Estabilidad, Diversidad, Crisis. - M. : Casa del libro "LIBROKOM", 2009. - S. 60-68. — 224 págs. - ISBN 978-5-397-00855-6 .

Distribuciones de probabilidad
Discreto	Bernoulli Binomio Geométrico hipergeométrico logarítmico binomio negativo veneno Uniforme discreto multinomial
Absolutamente continuo	Beta Weibulla Gama- hiperexponencial Gompertz Kolmogorov cauchy Laplace logaritmo normal Normal (Gaussiano) Logístico Nakagami Pareto Pearson semicircular uniforme continuo Arroz Rayleigh Alumno Tracey - Vidoma Pescador Chi-cuadrado Exponencial Varianza-gamma Normal multivariado cópula