Jerarquía de alefs

La jerarquía de alefs en la teoría de conjuntos y en las matemáticas en general es un sistema ordenado de números generalizados ("cardinales") utilizados para representar la potencia (número de elementos) de conjuntos infinitos bien ordenados [1] . La cardinalidad de un conjunto finito es el número de sus elementos, por lo que la jerarquía de los números cardinales incluye a los números naturales ordinarios , ordenados de forma tradicional. Los siguientes en la jerarquía son conjuntos infinitos bien ordenados, cuya cardinalidad (número cardinal) se denota con la letra aleph (ℵ) del alfabeto hebreo con índices, y el índice mismo puede ser un número ordinal infinito . Los conjuntos de mayor cardinalidad corresponden a un mayor valor del índice.

El primero de los alephs es la potencia del conjunto de los números naturales (“ contables ”), que se indica con el símbolo (léase: “aleph-cero”), seguido de (aleph-uno), y así sucesivamente. $\aleph_0$ $\aleph_1$

La jerarquía de los alefs fue descrita por el matemático alemán Georg Kantor en el artículo "Sobre la fundamentación de la doctrina de los conjuntos transfinitos" (en dos partes, 1895-1897) [2] .

La notación aleph no debe confundirse con el símbolo de infinito de Wallis ( ), que aparece con frecuencia en el cálculo y otras ramas de las matemáticas. El símbolo de Wallis denota un aumento ilimitado ( significa una disminución ilimitada) de una función, o un punto especial ("en el infinito ") en la recta numérica extendida o plano complejo , mientras que el aleph es una medida de la cardinalidad de los conjuntos. $\infty$ $-\infty$

Definición general y propiedades

Como se mencionó anteriormente, el símbolo denota el poder contable de la serie natural. Sea algún número ordinal ; considere el ordinal correspondiente Entonces el símbolo denota [1] la cardinalidad del conjunto de todos los números ordinales menores que $\aleph_0$ $\alfa$ ${\ estilo de visualización \ omega _ {\ alfa}.}$ $\aleph _{\alfa}$ ${\ estilo de visualización \ omega _ {\ alfa}.}$

Algunas propiedades [3] .

Todos los alefs son comparables entre sí, de los dos alefs, el que tiene el índice más grande es más grande.
Cada número cardinal es igual a uno de los alefs ( se necesita el axioma de elección para la demostración ).
Suposición: conocida como la hipótesis del continuo . ${\ estilo de visualización 2 ^ {\ aleph _ {0}} = \ aleph _ {1}}$
El conjunto de todos los alefs menores que uno dado está bien ordenado, y su tipo ordinal es igual a ${\ estilo de visualización \ aleph _ {\ alfa},}$ $\alfa.$
El número cardinal sigue inmediatamente, no hay potencias intermedias en el medio. ${\ estilo de visualización \ aleph _ {\ alfa +1))$ ${\ estilo de visualización \ aleph _ {\ alfa},}$
No hay elemento más grande entre los alefs. La jerarquía de alefs no forma un conjunto en el sentido de la axiomática de Zermelo-Fraenkel .

Ejemplos

Aleph cero

$\aleph_0$ (alef-cero) es la potencia del conjunto de los números naturales, el primer infinito cardinal. El conjunto de todos los ordinales finitos se denota con una letra griega minúscula ( omega ), o tiene cardinalidad ${\ estilo de visualización \ mathbb {N},}$ $\omega$ ${\ estilo de visualización \ omega _ {0};}$ ${\ estilo de visualización \ aleph _ {0}.}$

Un conjunto tiene potencia si y solo si es numerable , es decir, existe una correspondencia biunívoca entre él y el conjunto de los números naturales . Ejemplos de conjuntos de potencia : $\aleph_0$ $\matemáticas {N}$ $\aleph_0$

el conjunto de todos los números cuadrados , el conjunto de todos los números cúbicos ;
conjunto de todos los números pares , conjunto de todos los números impares;
el conjunto de todos los números primos , el conjunto de todos los números compuestos ;
el conjunto de todos los enteros ;
el conjunto de todos los números racionales ;
la totalidad de todas las cantidades geométricas que se pueden construir con compás y regla ;
el conjunto de todos los números algebraicos ,
el conjunto de todos los números computables ,
el conjunto de todos los números definibles ;
el conjunto de todas las cadenas binarias de longitud finita;
el conjunto de todos los subconjuntos finitos de un conjunto contable dado.

ordinales infinitos :

{\displaystyle \omega ,\omega +1,\omega \cdot 2,\omega ^{2},\omega ^{\omega ))

todos se refieren a conjuntos contables [4] . Por ejemplo, la siguiente secuencia (con el ordinal ω 2) que contiene primero todos los números impares positivos y luego todos los números pares positivos:

{1, 3, 5, 7, 9, ..., 2, 4, 6, 8, 10, ...}

describe algún orden en el conjunto de enteros positivos de cardinalidad . $\aleph_0$

Si se cumple el axioma de elección , o al menos el axioma de elección contable (más débil), entonces menos que cualquier otro cardinal infinito. $\aleph_0$

Alef-uno

$\aleph_1$ (alef-uno) es la cardinalidad del conjunto de todos los números ordinales contables , que se denota (a veces ). El ordinal es mayor que todos los ordinales contables y corresponde a conjuntos incontables . Por lo tanto, no coincide con y es mayor que ella. $\omega_{1}$ ${\ estilo de visualización \ Omega _ {1}}$ $\omega_{1}$ $\aleph_1$ $\aleph_0$

Si se acepta el axioma de Zermelo-Fraenkel (incluso sin el axioma de elección ), entonces no hay otros números cardinales entre y . Con la ayuda del axioma de elección, podemos mostrar una de las propiedades más útiles de un conjunto, cualquier subconjunto contable tiene un límite superior (esto se deriva del hecho de que una unión contable de conjuntos contables es contable). Este hecho es análogo a la situación en : todo conjunto finito de números naturales tiene un elemento máximo que también es un número natural, y la unión finita de conjuntos finitos es finita. $\aleph_0$ $\aleph_1$ ${\ estilo de visualización \ omega _ {1} \ dos puntos}$ $\omega_{1}$ $\omega_{1}$ $\aleph_0$

Si aceptamos la hipótesis del continuo , entonces coincide con la potencia del campo de los números reales ( continuum ). Si la hipótesis del continuo es incorrecta, entonces el continuo corresponde a una de las alefs más distantes. $\aleph_1$

Aritmética de los Alefs

Georg Cantor definió operaciones similares a la aritmética ordinaria para cualquier número cardinal. Sin embargo, sus propiedades difieren en muchos aspectos de las habituales y, a menudo, requieren la aplicación del axioma de elección . Ejemplos [5] :

La suma de cualquier alef consigo misma da el mismo alef: $\aleph_{\alpha}+\aleph_{\alpha}=\aleph_{\alpha}.$
El grado finito de cualquier aleph da el mismo aleph.
La suma y el producto de diferentes alefs da el mayor de ellos.

Véase también

numero de apuesta

Notas

↑ 1 2 Enciclopedia de Matemáticas, 1977 .
↑ Joseph Warren Dauben; José Warren Dauben. Georg Cantor: sus matemáticas y filosofía del infinito (inglés) . — ISBN 9780691024479 .
↑ Kuratovsky, Mostovsky, 1970 , p. 283-284.
↑ Jech, Thomas (2003), Teoría de conjuntos , Springer Monographs in Mathematics, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag
↑ Kuratovsky, Mostovsky, 1970 , p. 284-286.

Literatura

Efimov B. A. Alephs // Enciclopedia matemática (en 5 volúmenes) . - M .: Enciclopedia soviética , 1977. - T. 1. - S. 235.
Kuratovsky K. , Mostovsky A. Teoría de conjuntos / Traducido del inglés por M. I. Brevemente, editado por A. D. Taimanov. - M. : Mir, 1970. - 416 p.

Enlaces

Weisstein, Eric W. Aleph-0 (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .