¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?

¿ Cuánto mide la costa de Gran Bretaña? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension ” ( Ing.  ¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension ) es un artículo del matemático franco-estadounidense Benoit Mandelbrot , publicado por primera vez en la revista Science en 1967 [2] . En este artículo, Mandelbrot considera curvas autosimilares , que tienen una dimensión de Hausdorff entre 1 y 2. Estas curvas son fractales , aunque el término "fractal" fue introducido por Mandelbrot recién en 1975. El artículo de Mandelbrot es una de sus primeras publicaciones sobre fractales [3] .

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El artículo considera la paradoja del litoral  - la propiedad del litoral, que consiste en que su longitud depende de la forma en que se mide. Si la longitud de una frontera o línea costera se estima superponiendo N segmentos iguales de longitud l en un mapa, la evidencia empírica sugiere que cuanto más corta sea la longitud del segmento de medición, mayor será la longitud final medida. En este caso, si la longitud del segmento de medida tiende a cero, el valor de la longitud de la línea de costa aumenta hasta el infinito. Por lo tanto, no tiene sentido hablar de la longitud de la costa en el sentido habitual; se necesitan otros medios para cuantificar las costas. Mandelbrot considera una ley empírica derivada de Lewis Richardson , quien señaló que la longitud medida L ( G ) de varios límites geográficos es una función de la escala de medición G. Al reunir evidencia empírica de varios ejemplos diferentes, Richardson sugirió que L ( G ) podría aproximarse mediante una función de la forma

donde M es una constante positiva y D es una constante llamada dimensión mayor o igual a 1. En este caso, la línea de costa, si se ve suave, debe tener una dimensión cercana a 1, y cuanto más sangrada esté, más cerca su dimensión al valor de 2. Richardson cita en sus estudios como ejemplo la dimensión de 1,02 para la costa de Sudáfrica y 1,25 para la costa oeste de Gran Bretaña.

Mandelbrot continúa describiendo varias curvas matemáticas asociadas con el copo de nieve de Koch , que se definen como estrictamente autosimilares. Mandelbrot muestra cómo calcular la dimensión de Hausdorff para curvas que tienen dimensiones entre 1 y 2 (y también menciona, pero sin detalles, la curva de Peano que llena el espacio , que tiene una dimensión exactamente 2). Señala que la aproximación de la longitud de las curvas a través de segmentos de longitud G tiene la forma , similar al patrón derivado por Richardson. Al mismo tiempo, Mandelbrot no afirma que ninguna línea costera o límite geográfico tenga realmente una dimensión fraccionaria. En cambio, señala que la ley empírica de Richardson es compatible con la idea de que las curvas geográficas, como las costas, se pueden modelar con figuras autosimilares aleatorias de dimensión fraccionaria.

Al final del artículo, Mandelbrot menciona brevemente cómo se podría abordar el estudio de los objetos similares a los fractales en la naturaleza, que en su mayoría son aleatorios. Para ello, define figuras estadísticamente autosimilares y anota que se dan en la naturaleza.

El artículo de Mandelbrot es el punto de partida de una serie de sus trabajos sobre la teoría de los fractales [4] .

Véase también

• Paradoja de la costa
• Lista de países por longitud de costa

Notas

1. ↑ PubMed  - PMID : 17837158
2. ↑ Benoit Mandelbrot (1967). ¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña? Autosimilitud estadística y dimensión fraccionaria, Science, nueva serie, vol. 156, núm. 3775. (5 de mayo de 1967), págs. 636-638. doi : 10.1126/ciencia.156.3775.636
3. ↑ Dra. Mandelbrot remontó su trabajo sobre los fractales a una pregunta que se planteó por primera vez cuando era un joven investigador: ¿cuán larga es la costa de Gran Bretaña?: Benoit Mandelbrot (1967). " Benoît Mandelbrot, Novel Mathematician, Dies at 85 Archivado el 31 de diciembre de 2018 en Wayback Machine ", The New York Times .
4. ↑ "¿Cuál es la esencia de una costa, por ejemplo? Mandelbrot hizo esta pregunta en un artículo que se convirtió en un punto de inflexión para su pensamiento: '¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?'": James Gleick (1988) Chaos: Making a New Science , p.94. ISBN 978-0-7474-0413-2 .

Enlaces

• Artículo de N. Mandelbrot ¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña? Autosimilitud estadística y dimensión  fraccionaria