Límite de secuencia numérica

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El límite de una sucesión numérica es el límite de una sucesión de elementos de un espacio numérico. Un espacio numérico es un espacio métrico , en el que la distancia se define como el módulo de la diferencia entre elementos. Por lo tanto, un número se llama límite de una sucesión si para cualquier existe un número que depende de , tal que para cualquier se cumple la desigualdad . $a$ $\{x_n\}$ $\varepsilon > 0$ $N_\varepsilon$ $\varepsilon$ $n > N_\varepsilon$ $\ |x_n-a| < \varepsilon$

En el caso de los números complejos, la existencia de un límite de una sucesión equivale a la existencia de límites de las correspondientes sucesiones de partes reales e imaginarias de los números complejos.

El límite (de una sucesión numérica) es uno de los conceptos básicos del análisis matemático . Cada número real se puede representar como el límite de una secuencia de aproximaciones al valor deseado. El sistema numérico proporciona tal secuencia de refinamientos. Los números enteros y racionales se describen mediante secuencias periódicas de aproximaciones, mientras que los números irracionales se describen mediante secuencias no periódicas de aproximaciones. [1] En los métodos numéricos , donde se utiliza la representación de números con un número finito de signos, la elección del sistema de aproximaciones juega un papel especial. El criterio para la calidad del sistema de aproximaciones es la tasa de convergencia. A este respecto, las representaciones de números en fracciones continuas resultan eficaces .

Historia

El concepto de límite de una sucesión fue utilizado por Newton en la segunda mitad del siglo XVII y por matemáticos del siglo XVIII , como Euler y Lagrange , pero entendieron el límite de forma intuitiva. Las primeras definiciones rigurosas del límite de una secuencia fueron dadas por Bolzano en 1816 y por Cauchy en 1821 .

Definición

Un número se llama límite de una sucesión numérica si la sucesión es infinitamente pequeña, es decir, todos sus elementos, a partir de algunos, son menores que cualquier número positivo preestablecido en valor absoluto. $a\en \mathbb {R}$ $\{x_n\}$ $\{x_{n}-a\}$

\lim _{n\to \infty }x_{n}=a~\Leftrightarrow ~\forall \varepsilon >0~\exists N(\varepsilon)\in \mathbb {N} \colon ~n\geqslant N~\Flecha derecha |x_{n}-a|<\varepsilon

(para cualquier épsilon pequeño, hay un número a partir del cual los elementos de la secuencia diferirán del límite en menos de épsilon)

Si un número es el límite de una sucesión numérica , también se dice que la sucesión converge a . Si ningún número real es el límite de la secuencia , se llama divergente . $a\en \mathbb {R}$ $\{x_n\}$ $\{x_n\}$ $a$ $\{x_n\}$

Para algunas sucesiones, se supone que el límite es infinito . Es decir, dicen que la sucesión tiende a infinito , si para cualquier número real todos los miembros de la sucesión, a partir de algunos, resultan ser mayores que ese número en valor absoluto. Formalmente, $\{x_n\}$

\lim_{n \to \infty} x_n = \infty ~ \Leftrightarrow ~ \forall E > 0 ~ \exists N (E) \in \N \colon ~ \forall n \geqslant N \Rightarrow |x_n| > mi

Además, si todos los elementos de una sucesión que tiende a infinito, a partir de cierto número, tienen signo positivo, entonces se dice que el límite de tal sucesión es más infinito .

\lim_{n \to \infty} x_n = +\infty ~ \Leftrightarrow ~ \forall E > 0 ~ \exists N (E) \in \N \colon ~ \forall n \geqslant N \Rightarrow x_n > E

Si los elementos de una sucesión que tiende a infinito, a partir de cierto número, tienen signo negativo, entonces se dice que el límite de tal sucesión es igual a menos infinito .

\lim_{n \to \infty} x_n = -\infty ~ \Leftrightarrow ~ \forall E > 0 ~ \exists N (E) \in \N \colon ~ \forall n \geqslant N \Rightarrow x_n < -E

Cualquier secuencia que tiende a infinito es ilimitada . Sin embargo, lo contrario no es cierto.

El límite parcial de una sucesión es el límite de una de sussubsucesiones.

El límite superior de una sucesión es el mayor de sus puntos límite (lo que equivale al límite parcial mayor).

El límite inferior de una sucesión es el menor de sus puntos límite.

Notación

El hecho de que una sucesión converja a un número se indica de una de las siguientes formas: $\{x_n\}$ $a$

$\lim_{n \to \infty} x_n = a$

$x_n ~ \xrightarrow[n \to \infty]{} ~ a$

Propiedades

Hay ciertas características para el límite de sucesiones de números reales . [2]

Se pueden dar definiciones alternativas del límite de una secuencia. Por ejemplo, llamar límite a un número en cualquier entorno del cual hay infinitos elementos de la secuencia, mientras que fuera de tales entornos solo hay un número finito de elementos. Así, el límite de una sucesión sólo puede ser el punto límite del conjunto de sus elementos. Esta definición concuerda con la definición general de un límite para espacios topológicos.

Esta definición tiene un defecto inevitable: explica qué es un límite, pero no da una forma de calcularlo, ni información sobre su existencia. Todo esto se deduce de las siguientes propiedades (demostrables por definición) del límite.

Propiedades

Unicidad del límite.

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a,\;\lim _{n\to \infty }x_{n}=b\;\Rightarrow \;a=b$

Propiedades aritméticas

tomar el límite de una secuencia numérica es lineal , es decir, exhibe dos propiedades de aplicaciones lineales.
- aditividad _ El límite de la suma de sucesiones numéricas es la suma de sus límites, si cada uno de ellos existe. $\lim_{n \to \infty} (x_n + y_n) = \lim_{n \to \to \infty} x_n + \lim_{n \to \to \infty} y_n$
- uniformidad _ La constante se puede sacar de debajo del signo de límite. $\forall k \in \R \colon \lim_{n \to \infty} k x_n = k \lim_{n \to \to \infty} x_n$
El límite de un producto de sucesiones numéricas se factoriza por el producto de los límites, si cada uno de ellos existe. $\lim_{n \to \infty}(x_n \cdot y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n \cdot \lim_{n \to \infty} y_n$
El límite de la razón de sucesiones numéricas es la razón de sus límites si estos límites existen y la sucesión del divisor no es infinitesimal. $\lim _{{n\a \infty}}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {\lim \limits_{{n\a \infty}}x_{n }}{\lim\limits_{{n\to\infty}}y_{n}}}$

Propiedades de conservación de pedidos

Si todos los elementos de una sucesión convergente, a partir de algún número, no exceden algún número, entonces el límite de esta sucesión tampoco excede este número. $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \leqslant a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant a$
Si algún número no excede todos los elementos de una sucesión convergente, a partir de algún número, entonces tampoco excede el límite de esta sucesión. $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \geqslant a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \geqslant a$
Si algún número excede estrictamente todos los elementos de una sucesión convergente, a partir de algún número, entonces el límite de esta sucesión no excede este número. $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n < a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant a$
Si todos los elementos de una sucesión convergente, a partir de algún número, exceden estrictamente algún número, entonces este número no excede el límite de esta sucesión. $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n > a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \geqslant a$
Si, a partir de algún número, todos los elementos de una secuencia convergente no exceden los elementos correspondientes de otra secuencia convergente, entonces el límite de la primera secuencia no excede el límite de la segunda. $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \leqslant y_n ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant \lim_{n \to \infty} y_n$
Para secuencias numéricas, el teorema de los dos policías (principio de restricción bilateral) es válido. $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \leqslant z_n \leqslant y_n ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant \lim_{n \to \infty} z_n \ leqslant \lim_{n \to \infty} y_n$

Otras propiedades

Una secuencia de números convergentes tiene un solo límite. $\lim_{n \to \infty} x_n = a ~ \land ~ \lim_{n \to \infty} x_n = b ~ \Rightarrow ~ a = b$

cierre _ Si todos los elementos de una sucesión numérica convergente se encuentran en un determinado segmento , entonces su límite también se encuentra en el mismo segmento. $\forall n \in \N \colon x_n \in [a,~b] ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \in [a,~b]$

El límite de una secuencia del mismo número es igual a este número. $\lim_{n \to \infty} x = x$

Reemplazar o eliminar un número finito de elementos en una secuencia numérica convergente no afecta su límite.

Una secuencia ascendente acotada desde arriba tiene un límite. Lo mismo es cierto para una secuencia decreciente acotada a continuación.
El producto de una sucesión infinitamente grande acotada por debajo es una sucesión infinitamente grande.

Se cumple el teorema de Stolz .

Si una sucesión tiene un límite, entonces la sucesión de medias aritméticas tiene el mismo límite (corolario del teorema de Stolz). $x_n$ $\frac{x_1 + \puntos + x_n}{n}$

Si una sucesión de números tiene un límite , y si se da una función , definida para cada uno y continua en el punto , entonces $\{x_n\}$ $X$ $f(x)$ $x_{n}$ $X$ $\lim_{n\to\infty}{f(x_{n})}=f(x)$

Ejemplos

$\lim_{n \a \infty} \frac{1}{n} = \lim_{n \a \infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0$

$\forall q \in \R \colon \lim_{n \to \infty} \frac{q^n}{n!} = 0$

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$

$\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e$

$\forall a \in \R\setminus\{0\} \colon \lim_{n \to \infty} \underbrace{\sqrt{a + \sqrt{a + \cdots + \sqrt{a))))_ {n} = \frac{1 + \sqrt{1 + 4 a}}{2}$

$\lim_{n \a \infty} x_n = x ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \a \infty} \sqrt[n]{\prod_{k = 1}^{n} x_k} = x$

$\forall n \in \N \colon x_n > 0 ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = \lim_{n \to \to \infty} \sqrt [n]{x_n}$

$\lim_{n \to \infty} n = +\infty$

$\existe \lim_{n \to \infty} (-1)^n$

El caso de los números complejos

Un número complejo se llama límite de una secuencia si, para cualquier número positivo, es posible especificar tal número , a partir del cual todos los elementos de esta secuencia satisfacen la desigualdad para $a$ $\{z_n\}$ $\varepsilon$ $N=N(\varepsilon)$ $z_n$
$|z_n - a|< \varepsilon$ $n\geqslant N(\varepsilon)$

Se dice que una sucesión que tiene un límite converge a un número , que se escribe como . $\{z_n\}$ $a$ $a$ $\lim \limits _{{n\to \infty }}z_{n}=a$

Ejemplos

No toda sucesión acotada tiene un límite. Por ejemplo, si tomamos como espacio el conjunto de números reales con topología estándar, y como sucesión , entonces no tendrá límite (sin embargo, puede encontrar límites superior e inferior , es decir, los límites de sus subsecuencias - límites parciales ). $x_n$ $x_n = (-1)^n$ $once$

Véase también

Notas

↑ Esto implica la repetición de números en la notación de un número en algún sistema numérico fijo.
↑ V. A. Ilyin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . Capítulo 3. Teoría de Límites // Análisis Matemático / Ed. A. N. Tijonova . - 3ra ed. , revisado y adicional - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 68-105. — 672 pág. — ISBN 5-482-00445-7 .