Truncamiento completo (geometría)

En geometría euclidiana, el enderezamiento o truncamiento completo es el proceso de truncar un poliedro marcando el centro de todas sus aristas y cortando todos los vértices hasta estos puntos [1] . El poliedro resultante estará delimitado por facetas (facetas de dimensión n-1, en el espacio tridimensional estos son polígonos) de formas de vértice y facetas truncadas del poliedro original. La operación de enderezamiento recibe el símbolo de una sola letra r . Entonces, por ejemplo, r {4,3} es un cubo rectificado, es decir cuboctaedro.

Conway usa la notación ambo para esta operación . En la teoría de grafos, esta operación crea un gráfico medio .

Un ejemplo de enderezamiento como etapa final del truncamiento de bordes

El truncamiento completo es la etapa final del proceso de truncamiento. La figura muestra las cuatro etapas de un proceso de truncamiento continuo desde un cubo regular hasta un estado completamente truncado:

Mayores grados de truncamiento completo

Se pueden implementar grados más altos de truncamiento total en poliedros regulares de dimensiones más altas. El grado más alto de truncamiento completo crea un poliedro dual . Enderezar trunca los bordes en puntos. El enderezamiento doble trunca (2D) caras a puntos. En dimensiones superiores, la triple rectificación trunca las celdas (caras 3D) en puntos, y así sucesivamente.

Un ejemplo de doble enderezamiento como etapa final del truncamiento facial

La secuencia de la figura muestra el doble truncamiento del cubo como etapa final del proceso del cubo al octaedro dual, en el que la cara original se trunca en un punto:

Para polígonos

El polígono dual es igual que su forma completamente truncada. Los nuevos vértices se ubican en los puntos medios de los lados del polígono original.

Para poliedros y mosaicos planos

Cualquier politopo regular y su dual tienen el mismo politopo completamente truncado. (Esto no es cierto para politopos en espacios de dimensión 4 o más).

Se puede obtener un politopo completamente truncado como la intersección del politopo regular original con una versión concéntrica del dual a escala adecuada. Por ello, sus nombres se construyen como combinaciones del nombre del poliedro original y su dual:

El tetraedro totalmente truncado , cuyo dual es el tetraedro, se denomina tetratetraedro , más conocido como octaedro .
El octaedro completamente truncado , cuyo dual es el cubo , se llama cuboctaedro .
El icosaedro completamente truncado , cuyo dual es el dodecaedro , se llama icosidodecaedro .
Un parquet cuadrado totalmente truncado es un parquet cuadrado .
Un parquet triangular completamente truncado , cuyo dual es un parquet hexagonal , se denomina parquet trihexagonal .

Ejemplos

Familia	Padre	truncamiento completo	Doble
[pq]
[3,3]	tetraedro	Octaedro	tetraedro
[4,3]	Cubo	cuboctaedro	Octaedro
[5,3]	Dodecaedro	icosidodecaedro	icosaedro
[6,3]	mosaico hexagonal	Mosaico Trihexagonal	mosaico triangular
[7,3]	Teselado heptagonal de tercer orden	Mosaico Trisemigonal	Teselado triangular de séptimo orden
[4,4]	mosaico cuadrado	mosaico cuadrado	mosaico cuadrado
[5,4]	Mosaico pentagonal de cuarto orden	Mosaico cuadrado-pentagonal	Azulejo cuadrado de quinto orden

Para poliedros irregulares

Si el poliedro no es regular, los puntos medios de las aristas que rodean el vértice pueden no estar en el mismo plano. Sin embargo, también es posible alguna forma de truncamiento completo en este caso: cualquier politopo tiene un gráfico poliédrico , como un esqueleto de 1 (politopo), y a partir de este gráfico se puede formar un gráfico medio colocando vértices en el medio de las aristas del grafo original y conectando dos nuevas aristas vértices si pertenecen a aristas sucesivas a lo largo de una cara común. El gráfico central resultante sigue siendo poliédrico, por lo que, según el teorema de Steinitz, se puede representar como un poliedro.

El equivalente de la notación de Conway para el truncamiento completo es ambo , denotado por a . Aplicar dos veces aa (rectificación tras rectificación) es la operación de expansión de Conway , e , que es la misma operación que la operación de bisel de Johnson , t 0.2 para politopos regulares y mosaicos.

Para poliedros de 4 dimensiones y teselaciones de 3 dimensiones

Cualquier 4-politopo regular convexo tiene una forma de truncamiento completo, como un 4-politopo uniforme .

Un politopo regular de 4 dimensiones {p,q,r} tiene celdas {p,q}. Truncarlo por completo dará dos tipos de celdas: poliedros {p,q} completamente truncados que quedan de las celdas originales y poliedros {q,r} como nuevas celdas formadas en los lugares de los vértices truncados.

Sin embargo, el truncamiento de {p,q,r} no es lo mismo que el truncamiento de {r,q,p}. Otro truncamiento, llamado truncamiento total doble , es simétrico con respecto al 4-politopo y su dual. Ver Uniforme 4-politopo .

Ejemplos

Familia	Padre	truncamiento completo	Truncamiento completo doble (truncamiento doble)	Truncamiento completo triple (dual)
[pqr]
[3,3,3]	cinco celdas	Cinco celdas completamente truncado	Cinco celdas completamente truncado	cinco celdas
[4,3,3]	teseracto	Teseracto completamente truncado	Dieciséis celdas completamente truncadas ( veinticuatro celdas )	celda hexadecimal
[3,4,3]	veinticuatro celda	Completamente truncado de 24 celdas	Completamente truncado de 24 celdas	veinticuatro celda
[5,3,3]	120 celdas	Completamente truncado de 120 celdas	Completamente truncado de 600 celdas	seiscientas celdas
[4,3,4]	panal cúbico	Panal cúbico completamente truncado	Panal cúbico completamente truncado	panal cúbico
[5,3,4]	Panales dodecaédricos de cuarto orden	Panal dodecaédrico de cuarto orden completamente truncado	Panal cúbico de quinto orden completamente truncado	Panales cúbicos de quinto orden

Grados de alisado

El primer truncamiento completo trunca los bordes en puntos. Si el poliedro es regular , esta forma se representa con el símbolo de Schläfli extendido t 1 {p,q,...} o r {p,q,...}.

El segundo truncamiento completo, o doble enderezamiento , trunca las caras en puntos. Si el poliedro es regular, el doble truncamiento se denota por t 2 {p,q,...} o 2 r {p,q,...}. Para politopos tridimensionales, el truncamiento completo doble da el politopo dual .

Se pueden construir grados más altos de truncamiento completo para poliedros en espacios de dimensión 4 y superiores. En general, el nivel de truncamiento completo n recorta caras n-dimensionales en puntos.

Si un poliedro en un espacio n-dimensional se trunca completamente al grado (n-1), sus facetas (facetas de dimensión n-1) se truncan a un punto y se vuelve dual al original.

Notación y facetas

Hay tres notaciones equivalentes diferentes para cada grado de truncamiento completo. Las siguientes tablas muestran los nombres por dimensión y dos tipos de facetas para cada uno.

Polígonos regulares

Las facetas son bordes representados como {2}.

nombre {p}	Gráfico de Coxeter	símbolo t-record Schläfli	Símbolo vertical de Schläfli
nombre {p}	Gráfico de Coxeter	símbolo t-record Schläfli	Nombre	Faceta-1	Faceta-2
Padre		t 0 {p}	{pags}	{2}
Completamente truncado		t 1 {p}	{pags}		{2}

Politopos y mosaicos uniformes tridimensionales regulares

Las facetas son polígonos regulares.

Título {p,q}	Gráfico de Coxeter	símbolo t-record Schläfli	Símbolo vertical de Schläfli
Título {p,q}	Gráfico de Coxeter	símbolo t-record Schläfli	Nombre	Faceta-1	Faceta-2
Padre		t 0 {pq}	{pq}	{pags}
Completamente truncado		t 1 {pq}	${\begin{Bmatriz}p\\q\end{Bmatriz))$ = r{p,q}	{pags}	{q}
doble truncado		t 2 {pq}	{q, p}		{q}

Politopos y panales regulares uniformes de 4 dimensiones

Las facetas son poliedros regulares o completamente truncados.

nombre {p, q, r}	Gráfico de Coxeter	símbolo t-record Schläfli	Símbolo de Schläfli extendido
nombre {p, q, r}	Gráfico de Coxeter	símbolo t-record Schläfli	Nombre	Faceta-1	Faceta -2
Padre		t 0 {p, q, r}	{p, q, r}	{pq}
Rectificado		t 1 {p, q, r}	${\begin{Bmatriz}p\ \ \\q,r\end{Bmatriz))$ = r{p, q, r}	$\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}$ = r{p,q}	{qr}
Doble completamente truncado (Doble completamente truncado)		t 2 {p, q, r}	${\begin{Bmatriz}q,p\\r\ \ \end{Bmatriz))$ = r{r, q, p}	{qr}	${\begin{Bmatriz}q\\r\end{Bmatriz))$ = r{q,r}
Trix completamente truncado (Dual)		t 3 {p, q, r}	{rqp}		{rq}

Politopos regulares en espacio de 5 dimensiones y panales de 4 dimensiones

Las facetas son poliedros tetradimensionales regulares o completamente truncados.

Título {p, q, r, s}	Gráfico de Coxeter	registro t del símbolo de Schläfli	Símbolo de Schläfli extendido
Título {p, q, r, s}	Gráfico de Coxeter	registro t del símbolo de Schläfli	Nombre	Faceta-1	Faceta -2
Padre		t 0 {p, q, r, s}	{p, q, r, s}	{p, q, r}
Completamente truncado		t 1 {p, q, r, s}	${\begin{Bmatriz}p\ \ \ \ \ \\q,r,s\end{Bmatriz))$ = r{p,q,r,s}	${\begin{Bmatriz}p\ \ \\q,r\end{Bmatriz))$ = r{p, q, r}	{q, r, s}
Doble completamente truncado (dos veces dual completamente truncado)		t 2 {p, q, r, s}	${\begin{Bmatriz}q,p\\r,s\end{Bmatriz))$ = 2r{p,q,r,s}	${\begin{Bmatriz}q,p\\r\ \ \end{Bmatriz))$ = r{r, q, p}	${\begin{Bmatriz}q\ \ \\r,s\end{Bmatriz))$ = r{q,r,s}
Triple truncado (Doble totalmente truncado)		t 3 {p, q, r, s}	${\begin{Bmatriz}r,q,p\\s\ \ \ \ \ \end{Bmatriz))$ = r{s,r,q,p}	{rqp}	${\begin{Bmatriz}r,q\\s\ \ \end{Bmatriz))$ = r{s,r,q}
Cuádruple completamente truncado (doble)		t 4 {p, q, r, s}	{s,r,q,p}		{s, r, q}

Véase también

Notas

↑ Weisstein, Eric W. Rectificación en el sitio web de Wolfram MathWorld .

Literatura

HSM Coxeter . Politopos regulares . — 3ra edición. - Nueva York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 . (p.145-154 Capítulo 8: Truncamiento)
NW Johnson . Politopos uniformes. — Manuscrito, 1991.
- NW Johnson . La teoría de politopos uniformes y panales. — Universidad de Toronto: Ph.D. disertación, 1966.
John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Las simetrías de las cosas. - Nueva York: AK Peters/CRC Press, 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 . (Capítulo 26)

Enlaces

George Olszewski Rectificación en Glosario para Hiperespacio.

Operaciones sobre poliedros

La Fundación	truncamiento	truncamiento completo	Truncamiento profundo	Dualidad _	extensión	Truncamiento	alternancia


t 0 {p, q} {p, q}	t 01 {p,q} t{p,q}	t 1 {p, q} r{p, q}	t 12 {p,q} 2t{p, q}	t 2 {p, q} 2r{p, q}	t 02 {p, q} rr{p, q}	t 012 {p, q} tr{p, q}	ht 0 {p,q} h{q, p}	ht 12 {p,q} s{q, p}	ht 012 {p, q} sr{p, q}