Sistema de coordenadas rectangulares

Sistema de coordenadas rectangulares : un sistema de coordenadas rectilíneas con ejes mutuamente perpendiculares en un plano o en el espacio. El sistema de coordenadas más simple y, por lo tanto, más utilizado. Se generaliza muy fácil y directamente a espacios de cualquier dimensión, lo que también contribuye a su amplia aplicación.

Términos relacionados: Cartesiano se conoce comúnmente como un sistema de coordenadas rectangulares con las mismas escalas a lo largo de los ejes (llamado así por René Descartes ), y el sistema de coordenadas cartesianas general se conoce como un sistema de coordenadas afín (no necesariamente rectangular).

Historia

René Descartes fue el primero en introducir un sistema de coordenadas rectangulares en su Geometría en 1637 . Por lo tanto, el sistema de coordenadas rectangulares también se denomina - Sistema de coordenadas cartesianas . El método de coordenadas para describir objetos geométricos sentó las bases para la geometría analítica. Pierre Fermat también contribuyó al desarrollo del método de coordenadas , pero su trabajo se publicó por primera vez después de su muerte [1] . Descartes y Fermat usaron el método de coordenadas solo en el plano. El clérigo francés Nicolás Oresme utilizó construcciones similares a las coordenadas cartesianas mucho antes de la época de Descartes y Fermat [2] .

El desarrollo del sistema de coordenadas cartesianas jugaría un papel importante en el desarrollo del cálculo de Isaac Newton y Leibniz [3] . La descripción de dos coordenadas del plano se generalizó más tarde en el concepto de espacios vectoriales [4] .

El método de coordenadas para el espacio tridimensional fue aplicado por primera vez por Leonhard Euler ya en el siglo XVIII. El uso de orts parece remontarse a Hamilton y Maxwell .

Sistema de coordenadas rectangulares en el plano

Un sistema de coordenadas rectangulares en un plano está formado por dos ejes de coordenadas mutuamente perpendiculares y . Los ejes de coordenadas se cortan en un punto llamado origen y cada eje tiene una dirección positiva. $X'X$ $Y'Y$ $O$

La posición de un punto en el plano está determinada por dos coordenadas y . La coordenada es igual a la longitud del segmento , la coordenada es la longitud del segmento en las unidades seleccionadas. Los segmentos y están definidos por líneas trazadas desde un punto paralelo a los ejes y respectivamente. $A$ $X$ $y$ $X$ $transmisión exterior$ $y$ $jefe$ $transmisión exterior$ $jefe$ $A$ $Y'Y$ $X'X$

En este caso, se asigna un signo menos a la coordenada si el punto se encuentra en el rayo (y no en el rayo , como en la figura). Se asigna un signo menos a la coordenada si el punto se encuentra en el rayo . Por lo tanto, y son las direcciones negativas de los ejes de coordenadas (cada eje de coordenadas se trata como un eje real ). $X$ $B$ $BUEY'$ $BUEY$ $y$ $C$ $OY'$ $BUEY'$ $OY'$

El eje se llama eje de abscisas ( lat. abscissus - lit. " cortado, separado " [5] ), y el eje se llama eje de ordenadas ( lat. ordinatus - lit. " ordenado, colocado en un cierto orden " [ 5] ). La coordenada se llama abscisa del punto , la coordenada es la ordenada del punto . $X'X$ $Y'Y$ $X$ $A$ $y$ $A$

Simbólicamente se escribe así:

A(x,\;y)

A = (x,\;y)

o indicar la pertenencia de las coordenadas a un punto específico utilizando el índice:

x_A, x_B

etc.

En el sistema de coordenadas diestro , la dirección positiva de los ejes se elige de modo que cuando el eje se dirige hacia arriba, mira hacia la derecha. Por lo general, se acostumbra usar sistemas de coordenadas de mano derecha (a menos que se especifique lo contrario o sea obvio, por ejemplo, de un dibujo; a veces, por alguna razón, es más conveniente usar un sistema de coordenadas de mano izquierda ). $Y'Y$ $X'X$
Los cuatro ángulos (I, II, III, IV) formados por los ejes coordenados y se denominan ángulos coordenados , cuartos o $X'X$ $Y'Y$
<plano> cuadrantes (ver Fig. 1).
- Puntos dentro del ángulo coordenado tengo abscisas y ordenadas positivas.
- Los puntos dentro del ángulo coordenado II tienen abscisas negativas y ordenadas positivas.
- Los puntos dentro del ángulo de coordenadas III tienen abscisas y ordenadas negativas
- Los puntos dentro del ángulo coordenado IV tienen abscisas positivas y ordenadas negativas.

Sistema de coordenadas rectangulares en el espacio

Un sistema de coordenadas rectangulares en el espacio (en este párrafo se entiende el espacio tridimensional; para más espacios multidimensionales, ver más abajo) está formado por tres ejes de coordenadas mutuamente perpendiculares , y . Los ejes de coordenadas se cortan en el punto , que se denomina origen de coordenadas, en cada eje se selecciona el sentido positivo indicado por las flechas, y la unidad de medida de los segmentos en los ejes. Las unidades suelen ser (no necesariamente [6] ) las mismas para todos los ejes. - eje de abscisas, - eje de ordenadas, - eje aplicado. $BUEY$ $OY$ $onz$ $O$ $BUEY$ $OY$ $onz$

La posición de un punto en el espacio está determinada por tres coordenadas , y . La coordenada es igual a la longitud del segmento , la coordenada es igual a la longitud del segmento , la coordenada es la longitud del segmento en las unidades de medida seleccionadas. Los segmentos , y están determinados por planos trazados desde un punto paralelo a los planos , y respectivamente. $A$ $X$ $y$ $z$ $X$ $transmisión exterior$ $y$ $jefe$ $z$ $sobredosis$ $transmisión exterior$ $jefe$ $sobredosis$ $A$ $YOZ$ $XOZ$ $XOY$

La coordenada se llama abscisa del punto ,

X

A

coordenada - punto de ordenadas ,

y

A

coordinar - aplicar ( lat. applicata - adyacente) [7] puntos .

z

A

Simbólicamente se escribe así:

A(x,\;y,\;z)

A = (x,\;y,\;z)

o vincule un registro de coordenadas a un punto específico usando un índice:

x_A,\;y_A,\;z_A

etc.

Cada eje se considera como una recta numérica , es decir, tiene una dirección positiva, y los valores de las coordenadas negativas se asignan a los puntos que se encuentran en el rayo negativo (la distancia se toma con un signo menos). Es decir, si, por ejemplo, el punto no está como en la figura, sobre la viga , sino sobre su continuación en la dirección opuesta del punto (en la parte negativa del eje ), entonces la abscisa del punto sería negativo (menos la distancia ). Del mismo modo para los otros dos ejes. $B$ $BUEY$ $O$ $BUEY$ $X$ $A$ $transmisión exterior$

Todos los sistemas de coordenadas rectangulares en el espacio tridimensional se dividen en dos clases: derecho (también se utilizan los términos positivo , estándar ) e izquierdo . Por lo general, por defecto, intentan utilizar sistemas de coordenadas diestros y, cuando se muestran gráficamente, también se colocan, si es posible, en una de varias posiciones habituales (tradicionales). (La figura 2 muestra el sistema de coordenadas correcto). Los sistemas de coordenadas derecho e izquierdo no pueden combinarse mediante rotaciones [8] para que los ejes correspondientes (y sus direcciones) coincidan. Puede determinar a qué clase pertenece un sistema de coordenadas en particular utilizando la regla de la mano derecha, la regla del tornillo , etc. (la dirección positiva de los ejes se elige de modo que cuando el eje se gira en sentido antihorario 90 °, su dirección positiva coincide con la dirección positiva del eje , si esta rotación se observa desde el lado de la dirección positiva del eje ). $BUEY$ $OY$ $onz$

Cualquiera de las ocho regiones en las que el espacio está dividido por tres planos de coordenadas perpendiculares entre sí se denomina octante .

Sistema de coordenadas rectangulares en espacio multidimensional

El sistema de coordenadas rectangulares también se puede usar en un espacio de cualquier dimensión finita de la misma manera que se hace para un espacio tridimensional. El número de ejes de coordenadas en este caso es igual a la dimensión del espacio (en esta sección lo denotaremos como ). $norte$

Las coordenadas generalmente se designan [9] no con letras diferentes, sino con la misma letra con un índice numérico. La mayoría de las veces es:

x_1, x_2, x_3,\puntos x_n.

Para designar una coordenada arbitraria de este conjunto, se usa un índice de letras: $i$

x_{i},

y, a menudo, la notación también se usa para denotar el conjunto completo, lo que implica que el índice recorre todo el conjunto de valores: . $x_{i},$ $yo = 1, 2, 3, \puntos n$

En cualquier dimensión del espacio, los sistemas de coordenadas rectangulares se dividen en dos clases, derecho e izquierdo (o positivo y negativo). Para espacios multidimensionales, uno de los sistemas de coordenadas se denomina arbitrariamente (condicionalmente) derecho, y el resto son derecho o izquierdo, dependiendo de si tienen la misma orientación o no [10] .

Una generalización de los conceptos de un cuadrante bidimensional y un octante tridimensional para el espacio euclidiano bidimensional es un ortante o hiperoctante. $norte$

Coordenadas vectoriales rectangulares

Para determinar las coordenadas rectangulares de un vector (utilizado para representar vectores de cualquier dimensión), se puede partir del hecho de que las coordenadas de un vector (segmento dirigido), cuyo comienzo está en el origen, coinciden con las coordenadas de su fin [11] .

Así, por ejemplo, las coordenadas de la Fig. 1 son las coordenadas del vector . $(x,y)$ $\vec{OA}$

Para vectores (segmentos dirigidos) cuyo origen no coincide con el origen, las coordenadas rectangulares se pueden determinar de una de dos maneras:

El vector se puede mover para que su origen coincida con el origen). Luego se determinan sus coordenadas de la manera descrita al principio del párrafo: las coordenadas de un vector trasladado de manera que su origen coincida con el origen son las coordenadas de su extremo.
En su lugar, puede simplemente restar de las coordenadas del final del vector (segmento dirigido) las coordenadas de su comienzo.

Para coordenadas rectangulares, el concepto de coordenada vectorial coincide con el concepto de proyección ortogonal de un vector sobre la dirección del eje de coordenadas correspondiente.

En coordenadas rectangulares, todas las operaciones sobre vectores se escriben de manera muy simple:

Suma y multiplicación por un escalar:

\mathbf a + \mathbf b = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3, \dots, a_n + b_n)

(\mathbf a + \mathbf b)_i = a_i + b_i,

c\ \mathbf a = (c\ a_1, c\ a_2, c\ a_3, \dots, c\ a_n)

(c\ \mathbf a)_i = c\ a_i.

y de ahí la resta y división por un escalar:

\mathbf a - \mathbf b = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3, \dots, a_n - b_n)

(\mathbf a - \mathbf b)_i = a_i - b_i,

\frac{\mathbf a}{\lambda} = \Big(\frac{a_1}{\lambda}, \frac{a_2}{\lambda}, \frac{a_3}{\lambda}, \dots, \frac {a_n}{\lambda}\grande)

\Big(\frac{\mathbf a}{\lambda}\Big)_i = \frac{a_i}{\lambda}.

(Esto es cierto para cualquier dimensión n e incluso, junto con coordenadas rectangulares, para coordenadas oblicuas).

Producto escalar :

\mathbf a \cdot \mathbf b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 + \dots + a_n b_n

\mathbf a \cdot \mathbf b = \sum\limits_{i=1}^n a_i b_i,

(Solo en coordenadas rectangulares con escala unitaria en todos los ejes).

Mediante el producto escalar se puede calcular la longitud del vector

|\mathbf a| = \sqrt{\mathbf a\cdot\mathbf a}

y el ángulo entre los vectores

\angle{(\mathbf a, \mathbf b)} = \mathrm{arccos}\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{|\mathbf a|\cdot|\mathbf b|}

Trabajo externo :

(\mathbf a \y \mathbf b)_{ij} = a_i b_j - a_j b_i

para cualquier dimensión del espacio,

Producto vectorial (solo para el mismo espacio tridimensional sobre el que se define):

(\mathbf a \times \mathbf b)_x = a_y b_z - a_z b_y

(\mathbf a \times \mathbf b)_y = a_z b_x - a_x b_z

(\mathbf a \times \mathbf b)_z = a_x b_y - a_y b_x

Obviamente, todo esto permite, si es necesario, reducir todas las operaciones sobre vectores a operaciones bastante simples sobre números.

Hort

Un sistema de coordenadas rectangulares [12] (de cualquier dimensión) también se describe [13] mediante un conjunto de orts (vectores unitarios) codireccionales con los ejes de coordenadas. El número de orts es igual a la dimensión del sistema de coordenadas y todos son perpendiculares entre sí. Tales orts constituyen una base , además, ortonormal [14] .

En el caso tridimensional, dichos vectores generalmente se denotan

\mathbf{i}

, y

\matemáticas {j}

\matemáticas {k}

\mathbf{e}_x

, y .

\mathbf{e}_y

\mathbf{e}_z

También se puede utilizar la notación de flechas ( , y o , y ) u otra notación de acuerdo con la forma habitual de notar vectores en una u otra literatura. $\vec{yo}$ $\vec{j}$ $\vec{k}$ $\vec{e}_x$ $\vec{e}_y$ $\vec{e}_z$

Además, en el caso de un sistema de coordenadas recto, son válidas las siguientes fórmulas con productos vectoriales de vectores:

$[\mathbf{i}\,,\mathbf{j}]=\mathbf{k};$
$[\mathbf{j}\,,\mathbf{k}]=\mathbf{i};$
$[\mathbf{k}\,,\mathbf{i}]=\mathbf{j}.$

Para dimensiones superiores a 3 (o para el caso general en el que la dimensión puede ser cualquiera), es común que los vectores unitarios utilicen la notación con índices numéricos, muy a menudo [15] es

\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3,\puntos \mathbf{e}_n,

donde n es la dimensión del espacio.

Un vector de cualquier dimensión se descompone según la base (las coordenadas sirven como coeficientes de expansión):

\mathbf a = a_1\mathbf e_1 + a_2\mathbf e_2 + a_3\mathbf e_3 + \dots + a_n\mathbf e_n

\mathbf a = \sum\limits_{i=1}^n a_i\mathbf e_i,

y para una base ortonormal, las coordenadas también son muy fáciles de encontrar a través de productos escalares con orts:

a_i = \mathbf a \cdot \mathbf e_i.

Véase también

Notas

↑ Bix, Robert A.; D'Souza, Harry J. Geometría analítica . Encyclopædia Britannica . Consultado el 6 de agosto de 2017. Archivado desde el original el 6 de agosto de 2017. (indefinido)
↑ Kent, Alexander J. The Routledge Handbook of Mapping and Cartography : [ eng. ] / Alexander J. Kent, Peter Vujakovic. — Routledge, 2017-10-04. — ISBN 9781317568216 . Archivado el 24 de noviembre de 2021 en Wayback Machine .
↑ Un recorrido por el cálculo, David Berlinski
↑ Axler, Sheldon. Álgebra lineal bien hecha - Springer. - 2015. - Pág. 1. - ISBN 978-3-319-11079-0 . -doi : 10.1007 / 978-3-319-11080-6 .
↑ 1 2 Diccionario de palabras extranjeras. — M.: Rus. yaz., 1989. - 624 p. ISBN 5-200-00408-8
↑ A veces es simplemente fundamentalmente imposible si los valores de diferentes dimensiones físicas se trazan a lo largo de los ejes; sin embargo, desde un punto de vista geométrico, esta observación no es muy significativa, ya que entonces uno puede considerar que las escalas a lo largo de los ejes son condicionalmente iguales (por ejemplo, escalas para que las unidades coincidan cuando se representan en un plano geométrico).
↑ Diccionario de palabras extranjeras. - M .: " idioma ruso ", 1989. - 624 p. ISBN 5-200-00408-8
↑ Puede convertir un sistema de coordenadas derecho en uno izquierdo y viceversa utilizando la duplicación.
↑ Pero no necesariamente: la cuestión de la notación está determinada en última instancia por la aplicación particular.
↑ Esto se puede averiguar en función de si es posible mediante algunas rotaciones (y traslaciones, si los orígenes de las coordenadas no coinciden) combinar un sistema de coordenadas dado con uno cuya orientación es derecha por definición. Si es así, entonces este sistema se considera correcto, si no, entonces izquierdo. Es incluso más fácil técnicamente averiguarlo a través del signo del determinante de la matriz de transformación de la base correcta a la dada.
↑ El final del segmento dirigido es un punto; Las coordenadas rectangulares de un punto se analizan en el artículo anterior.
↑ En este párrafo, nos referiremos al sistema de coordenadas cartesiano habitual, es decir, un sistema de coordenadas rectangulares con la misma escala en todos los ejes; la consideración de sistemas de coordenadas con diferentes escalas a lo largo de diferentes ejes introduciría aquí complicaciones formales injustificadas con una ganancia de contenido bastante pequeña.
↑ Obviamente, esta descripción es completamente equivalente a la configuración habitual de los ejes de coordenadas, solo necesita especificar el origen de las coordenadas (este último suele ser obvio de forma predeterminada).
↑ Si rechaza la condición de igual escala de los ejes de coordenadas, solo una base ortogonal .
↑ Sin embargo, a menudo se pueden usar otras letras en lugar de la letra e . Por regla general, esto se establece explícitamente.

Enlaces

V. I. Gervids. Modelo de sistema de coordenadas cartesianas (flash). NRNU MEPhI (03.10.2011). Recuperado: 3 de mayo de 2011. (indefinido)

Sistemas coordinados
Nombre de las coordenadas	Abscisa ordenada Apliques
Tipos de sistemas de coordenadas	Sistema de coordenadas rectilíneas Sistema de coordenadas curvilíneas
coordenadas 2D	Coordenadas biangulares Coordenadas bicéntricas Coordenadas hiperbólicas Coordenadas polares Coordenadas bipolares Coordenadas parabólicas Coordenadas elípticas Coordenadas tetracíclicas Coordenadas trilineales
coordenadas 3D	Coordenadas cilíndricas Coordenadas esféricas Coordenadas bisféricas Coordenadas toroidales Coordenadas cilíndricas parabólicas Coordenadas bicilíndricas Coordenadas elipsoidales Coordenadas cónicas Coordenadas pentasféricas Sistema de coordenadas dipolares
$norte$ -coordenadas dimensionales	Coordenadas cartesianas Coordenadas afines Coordenadas proyectivas Coordenadas de Plucker coordenadas baricéntricas
Coordenadas físicas	Coordenadas de Rindler Coordenadas de nacimiento Sistema de coordenadas celestes Coordenadas geográficas Sistema de coordenadas ortodrómico principal
Definiciones relacionadas	Método de coordenadas Origen eje de coordenadas Vector Orth sistema de referencia Punto de referencia Coeficientes cojos tensor métrico