El axioma de paralelismo de Euclides

El axioma de paralelismo de Euclides , o el quinto postulado , es uno de los axiomas que subyacen en la planimetría clásica . Dado por primera vez en " Principios " por Euclides [1] :

Y si una recta que cae sobre dos rectas forma interior y por un lado forma ángulos menores que dos rectas , entonces estas rectas extendidas indefinidamente se encontrarán en el lado donde los ángulos son menores que dos rectas.

Texto original  (griego antiguo)[ mostrarocultar] Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ' ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ' ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες. — ΣTOIXEIA EΥKΛEI∆OΥ

Euclides utiliza los conceptos de postulado y axioma sin explicar sus diferencias; en diferentes manuscritos de los "Principios" de Euclides, la división de enunciados en axiomas y postulados es diferente, así como su orden no coincide. En la edición clásica de Geiberg de los Principia , la declaración establecida es el quinto postulado.

En lenguaje moderno, el texto de Euclides se puede reformular de la siguiente manera [2] :

Si [en el plano] en la intersección de dos líneas de la tercera, la suma de los ángulos unilaterales internos es menor que 180 °, entonces estas líneas se cortan con suficiente continuación, y, además, en el lado del cual esta suma es inferior a 180°.

La aclaración de qué lado se cortan las líneas, agregó Euclides, probablemente para mayor claridad, es fácil de probar que se sigue del hecho mismo de la existencia de la intersección [2] .

El quinto postulado es extremadamente diferente de los otros postulados de Euclides, que son más simples y obvios (ver Elementos de Euclides ). Por eso, durante dos milenios, no cesaron los intentos de excluirlo de la lista de axiomas y deducirlo como un teorema . Todos estos intentos terminaron en fracaso. "Probablemente sea imposible encontrar una historia más emocionante y dramática en la ciencia que la historia del quinto postulado de Euclides" [3] . A pesar del resultado negativo, estas búsquedas no fueron en vano, ya que finalmente condujeron a una revisión de las ideas científicas sobre la geometría del Universo [4] .

Formulaciones equivalentes del postulado de las paralelas

En las fuentes modernas se suele dar otra formulación del postulado de las paralelas, equivalente al postulado V y perteneciente a Proclo [5] (a veces se le llama axioma de Playfair ):

En un plano , a través de un punto que no está en una línea dada , se puede trazar una y solo una línea paralela a la línea dada.

En esta formulación, las palabras "uno y solo uno" a menudo se reemplazan por "solo uno" o "no más de uno", ya que la existencia de al menos uno de esos paralelos se sigue inmediatamente de los Teoremas 27 y 28 de los Elementos de Euclides.

En general, el quinto postulado tiene un gran número de formulaciones equivalentes, muchas de las cuales en sí mismas parecen bastante obvias. Éstos son algunos de ellos [6] [7] [8] .

Su equivalencia significa que todos ellos pueden probarse si aceptamos el postulado V, y viceversa, reemplazando el postulado V con cualquiera de estos enunciados, podemos probar el postulado V original como un teorema.

Si, en lugar del postulado V, asumimos que para un par de puntos, una línea recta, el postulado V es incorrecto, entonces el sistema de axiomas resultante describirá la geometría de Lobachevsky . Está claro que en la geometría de Lobachevsky todas las declaraciones equivalentes anteriores son falsas.

El quinto postulado se destaca claramente de los demás, bastante obvio, parece más un teorema complejo, no obvio. Euclides probablemente estaba al tanto de esto y, por lo tanto, las primeras 28 oraciones de los Elementos se prueban sin su ayuda.

"Euclides ciertamente debe haber conocido las diversas formas del postulado paralelo" [5] . ¿Por qué eligió reducido, complejo y engorroso? Los historiadores han especulado sobre las razones de esta elección. V.P. Smilga creía que Euclides con tal formulación indicaba que esta parte de la teoría estaba incompleta [10] . M. Kline llama la atención sobre el hecho de que el quinto postulado de Euclides tiene un carácter local , es decir, describe un evento en un área limitada del plano, mientras que, por ejemplo, la formulación de Proclo afirma el hecho del paralelismo, que requiere consideración. de toda la línea infinita [11] . Debe quedar claro que los matemáticos antiguos evitaban usar el infinito real ; por ejemplo, el segundo postulado de Euclides no afirma el infinito de la línea, sino sólo que "la línea puede extenderse continuamente". Desde el punto de vista de los matemáticos antiguos, los equivalentes anteriores del postulado de las paralelas podrían parecer inaceptables: o se refieren al infinito real o al concepto (todavía no introducido) de medida, o tampoco son muy obvios. El historiador Imre Toth [12] presentó otra versión : la formulación euclidiana puede haber sido un teorema (probado erróneamente) de uno de los predecesores de Euclides, y cuando se convencieron de que no se podía probar, el estado de el teorema se elevó a postulado, sin cambiar la redacción.

Geometría absoluta

Si el postulado V se excluye de la lista de axiomas, entonces el sistema de axiomas resultante describirá la llamada geometría absoluta . En particular, los primeros 28 teoremas de los "Principios" de Euclides se prueban sin usar el postulado V y por lo tanto se refieren a la geometría absoluta. Para lo que sigue, notamos dos teoremas de geometría absoluta:

Intentos de probar

Los matemáticos han intentado durante mucho tiempo "mejorar a Euclides", ya sea para excluir el quinto postulado del número de declaraciones iniciales, es decir, para demostrarlo, basándose en el resto de los postulados y axiomas, o para reemplazarlo con otro, como es obvio. como otros postulados. La esperanza de la posibilidad de alcanzar este resultado se vio respaldada por el hecho de que el postulado IV de Euclides ( todos los ángulos rectos son iguales ) resultó realmente superfluo: se demostró rigurosamente como un teorema y se excluyó de la lista de axiomas [6] .

A lo largo de dos milenios, se propusieron muchas demostraciones del quinto postulado, pero tarde o temprano se descubrió un error lógico en cada una de ellas (“un círculo vicioso en la demostración ”): resultó que entre las premisas explícitas o implícitas había era una afirmación que no podía probarse sin usar el mismo quinto postulado.

Proclo ( siglo V dC) en su "Comentario sobre el Libro I de los Elementos de Euclides" informa que Claudio Ptolomeo ofreció tal prueba , critica su prueba y ofrece la suya propia [13] . En una forma un tanto simplificada, puede describirse como sigue: pase la línea por un punto dado paralelo a la línea ; probaremos que cualquier otra recta que pasa por el mismo punto interseca a la recta . Como se mencionó anteriormente, la distancia entre las líneas desde el punto de su intersección aumenta indefinidamente (resaltamos una vez más que la demostración de este teorema no se basa en el postulado V). Pero entonces, al final, la distancia entre y excederá la distancia entre las líneas paralelas, es decir, las líneas y se intersecarán.

La prueba anterior se basa en la suposición de que la distancia entre dos líneas paralelas es constante (o al menos limitada). Posteriormente, resultó que esta suposición es equivalente al quinto postulado.

Posidonio (siglo I aC) propuso definir las paralelas como líneas rectas, equidistantes entre sí en toda su longitud. De esta definición se deduce fácilmente el quinto postulado. Sin embargo, la definición de Posidonio es incorrecta: de ninguna parte se sigue que una línea equidistante de una línea dada sea una línea [14] .

Después del declive de la cultura antigua, el postulado V fue adoptado por los matemáticos de los países del Islam. La prueba de al-Yawhari , estudiante de al-Khwarizmi ( siglo IX ) [15] , implícitamente implicaba: si en la intersección de dos líneas de cualquier tercera, los ángulos que se cruzan son iguales, entonces ocurre lo mismo cuando la Dos mismas líneas se cruzan con cualquier otra. Y esta suposición es equivalente al quinto postulado.

Thabit ibn Qurra ( siglo IX ) dio dos pruebas; en el primero se basa en la suposición de que si dos líneas se alejan por un lado, necesariamente se acercan por el otro lado. En el segundo, como Posidonio, parte de la existencia de líneas rectas equidistantes, e Ibn Kurra trata de derivar este hecho del concepto de “movimiento simple”, es decir, movimiento uniforme a una distancia fija de la línea recta (parece obvio para él que la trayectoria de tal movimiento es también una línea recta) [16] . Cada una de las dos declaraciones mencionadas de Ibn Qurra es equivalente al quinto postulado.

Ibn al-Haytham cometió un error similar , pero primero consideró la figura, que luego se conoció como el " cuadrilátero de Lambert ", un cuadrilátero con tres ángulos internos que son rectos. Formuló tres opciones posibles para el cuarto ángulo: agudo, recto, obtuso. La discusión de estas tres hipótesis, en diferentes versiones, ha surgido repetidamente en estudios posteriores.

El poeta y matemático Omar Khayyam criticó los intentos de introducir el movimiento mecánico en la geometría. Propuso reemplazar el postulado V por otro más simple: dos rectas convergentes se cortan, y es imposible que dos rectas convergentes diverjan en la dirección de la convergencia. Cada una de las dos partes de este enunciado equivale al postulado de Euclides [17] .

Al-Abhari ofreció una prueba similar a la de al-Yawhari . Al-Samarkandi cita esta prueba en su libro , y varios investigadores consideraron que era el autor del propio al-Samarkandi. La prueba procede de la afirmación, verdadera en geometría absoluta, de que para toda recta que corta los lados de un ángulo dado, se puede construir una recta más que corta los lados del mismo ángulo y está más alejada de su vértice que la primera. Pero de esta afirmación el autor saca la conclusión lógicamente infundada de que a través de cualquier punto dentro de un ángulo dado es posible trazar una línea que interseque ambos lados de este ángulo, y se basa en esta última afirmación, que es equivalente al postulado V, todo más allá. prueba.

Nasir ad-Din at-Tusi propuso una construcción similar a la de Omar Khayyam [18] . Tenga en cuenta que las obras de at-Tusi se hicieron conocidas por John Vallis y, por lo tanto, desempeñaron un papel en el desarrollo de la investigación sobre la geometría no euclidiana en Europa.

El primer intento en Europa que conocemos para demostrar el axioma del paralelismo de Euclides fue propuesto por Gersonides (también conocido como Levi ben Gershom, siglo XIV ), que vivía en Provenza (Francia ). Su prueba se basó en la afirmación de la existencia de un rectángulo [19] .

El testimonio del científico jesuita Christopher Clavius ​​se remonta al siglo XVI . Su prueba, como la de ibn Qurra, se basó en la afirmación de que una línea equidistante de una línea recta también es una línea recta [20] .

Wallis en 1693 en una de sus obras reproduce la traducción de la obra de al-Tusi y ofrece una formulación equivalente, pero más sencilla: hay figuras parecidas pero no iguales [21] . Claude Clairaut en sus " Principios de Geometría " ( 1741 ), como Gersonides, en lugar del postulado V tomó su equivalente "hay un rectángulo".

En general, se puede decir que todos los intentos anteriores han traído beneficios considerables: se estableció una conexión entre el postulado V y otras declaraciones, se formularon claramente dos alternativas al postulado V: las hipótesis del ángulo agudo y obtuso.

Primeros bocetos de geometría no euclidiana

Un estudio profundo del quinto postulado, basado en un principio completamente original, fue realizado en 1733 por un monje jesuita italiano, el profesor de matemáticas Girolamo Saccheri . Publicó una obra titulada " Euclides, limpiado de todas las manchas, o un intento geométrico de establecer los primeros principios de toda geometría ". La idea de Saccheri era reemplazar el postulado V con la declaración opuesta, derivar tantas consecuencias como fuera posible del nuevo sistema de axiomas, construyendo así una "geometría falsa", y encontrar contradicciones o disposiciones obviamente inaceptables en esta geometría. Entonces la validez del postulado V se probará por contradicción [22] .

Saccheri considera las mismas tres hipótesis sobre el 4º ángulo del cuadrilátero de Lambert. Rechazó la hipótesis del ángulo obtuso inmediatamente por razones formales. Es fácil mostrar que en este caso, en general, todas las líneas se intersecan, y entonces podemos concluir que el postulado V de Euclides es verdadero; después de todo, él simplemente establece que bajo ciertas condiciones las líneas se intersecan. De aquí se concluye que “la hipótesis del ángulo obtuso es siempre completamente falsa, ya que se autodestruye ” [23] .

Después de eso, Saccheri procede a refutar la "hipótesis del ángulo agudo", y aquí su estudio es mucho más interesante. Admite que es verdad y, uno por uno, prueba toda una serie de corolarios. Sin saberlo, se está moviendo bastante lejos en la construcción de la geometría de Lobachevsky . Muchos de los teoremas demostrados por Saccheri parecen intuitivamente inaceptables, pero continúa la cadena de teoremas. Finalmente, Saccheri demuestra que en la "geometría falsa" dos líneas cualesquiera se cortan o tienen una perpendicular común, a ambos lados de la cual se alejan entre sí, o se alejan entre sí por un lado y se aproximan indefinidamente por el otro. En este punto, Saccheri llega a una conclusión inesperada: "la hipótesis de un ángulo agudo es completamente falsa, ya que contradice la naturaleza de una línea recta " [24] .

Aparentemente, Saccheri sintió la falta de fundamento de esta "prueba", porque el estudio está en curso. Considera lo equidistante  - el lugar geométrico de los puntos del plano, equidistante de la línea recta; a diferencia de sus predecesores, Saccheri entiende que en este caso no se trata en absoluto de una línea recta. Sin embargo, al calcular la longitud de su arco, Saccheri se equivoca y llega a una verdadera contradicción, tras lo cual finaliza el estudio y declara con alivio que " arrancó de raíz esta hipótesis maliciosa ". Desafortunadamente, el trabajo pionero de Saccheri, publicado póstumamente, no atrajo la atención de los matemáticos que merecía, y solo 150 años después ( 1889 ) su compatriota Beltrami descubrió este trabajo olvidado y apreció su significado histórico.

En la segunda mitad del siglo XVIII se publicaron más de 50 trabajos sobre la teoría de las paralelas. En una revisión de esos años ( G. S. Klugel ), se examinan más de 30 intentos de probar el quinto postulado y se prueba su falacia. El famoso matemático y físico alemán J. G. Lambert , con quien Klugel mantuvo correspondencia, también se interesó por el problema; su "Teoría de las Líneas Paralelas" fue publicada (como la obra de Saccheri, póstumamente) en 1786 .

Lambert fue el primero en descubrir que la "geometría de ángulo obtuso" se realiza en una esfera , si por líneas rectas entendemos círculos máximos . Él, como Saccheri, dedujo muchas consecuencias de la “hipótesis del ángulo agudo”, y avanzó mucho más que Saccheri; en particular, encontró que la suma de la suma de los ángulos de un triángulo a 180° es proporcional al área del triángulo.

En su libro, Lambert señaló astutamente [25] :

Me parece muy notable que la segunda hipótesis [de un ángulo obtuso] se justifica si en lugar de triángulos planos tomamos triángulos esféricos. Casi tendría que sacar una conclusión de esto: la conclusión de que la tercera hipótesis se sostiene en alguna esfera imaginaria . En cualquier caso, debe haber una razón por la cual está lejos de ser tan fácilmente refutable en el plano como podría serlo con respecto a la segunda hipótesis.

Lambert no encontró ninguna contradicción en la hipótesis del ángulo agudo y llegó a la conclusión de que todos los intentos por probar el postulado V eran inútiles. No expresó ninguna duda sobre la falsedad de la "geometría de un ángulo agudo", sin embargo, a juzgar por su otro comentario perspicaz, Lambert estaba pensando en la posible realidad física de la geometría no euclidiana y en las consecuencias de esto para la ciencia [ 26] :

Hay algo admirable en esto que hace desear que la tercera hipótesis sea cierta. Y sin embargo me gustaría <…> que esto no fuera así, porque estaría asociado a una serie de <…> inconvenientes. Las tablas trigonométricas se volverían infinitamente voluminosas, la similitud y la proporcionalidad de las figuras no existirían en absoluto <...>, la astronomía habría sido mala.

La notable obra de Lambert, como el libro de Saccheri, se adelantó mucho a su tiempo y no despertó el interés de los matemáticos de entonces. El mismo destino corrió la " geometría astral " de los matemáticos alemanes F.K.

Mientras tanto, continuaron los intentos de "lavar las manchas" de Euclid (Louis Bertrand, Legendre , Semyon Guryev y otros). Legendre dio hasta tres pruebas del quinto postulado, cuya falacia fue rápidamente demostrada por sus contemporáneos [27] . Publicó su última "prueba" en 1823, tres años antes del primer informe de Lobachevsky sobre la nueva geometría.

Descubrimiento de la geometría no euclidiana

En la primera mitad del siglo XIX , K. F. Gauss , J. Bolyai , N. I. Lobachevsky y F. K. Schweikart siguieron el camino trazado por Saccheri . Pero su objetivo ya era diferente: no exponer la geometría no euclidiana como imposible, sino, por el contrario, construir una geometría alternativa y descubrir su posible papel en el mundo real. En ese momento era una idea completamente herética; ninguno de los científicos dudaba previamente de que el espacio físico es euclidiano. Es interesante que Gauss y Lobachevsky fueron enseñados en su juventud por el mismo maestro: Martin Bartels , quien, sin embargo, no estudió geometría no euclidiana.

El primero fue Schweikart. En 1818, envió una carta a Gauss con un análisis serio de los fundamentos de la geometría no euclidiana, pero se abstuvo de llevar sus puntos de vista a la discusión pública. Gauss tampoco se atrevió a publicar un trabajo sobre este tema, pero sus borradores de notas y varias cartas confirman claramente una comprensión profunda de la geometría no euclidiana. Aquí hay algunos extractos característicos de las cartas de Gauss, donde el término " geometría no euclidiana " aparece por primera vez en la ciencia [28] :

La suposición de que la suma de los tres ángulos de un triángulo es menor que 180° conduce a una geometría peculiar, muy diferente de nuestra [euclidiana]; esta geometría es perfectamente consistente, y la he desarrollado por mí mismo bastante satisfactoriamente; Tengo la oportunidad de resolver cualquier problema en esta geometría, excepto la determinación de cierta constante [29] , cuyo valor no se puede establecer a priori.

Cuanto más valor le damos a esta constante, más nos acercamos a la geometría euclidiana, y su valor infinitamente grande hace que ambos sistemas coincidan. Las propuestas de esta geometría parecen en parte paradójicas y hasta absurdas para una persona no acostumbrada; pero con una reflexión estricta y tranquila resulta que no contienen nada imposible. Entonces, por ejemplo, los tres ángulos de un triángulo pueden hacerse arbitrariamente pequeños, si solo se toman los lados suficientemente grandes; el área de un triángulo no puede exceder, ni siquiera alcanzar un cierto límite, por grandes que sean sus lados. Todos mis esfuerzos por encontrar una contradicción o inconsistencia en esta geometría no euclidiana han sido infructuosos, y lo único que se opone a nuestra razón en este sistema es que en el espacio, si este sistema fuera válido, tendría que haber algún autodeterminado. (aunque desconocido para nosotros) es una cantidad lineal. Pero me parece que, aparte de la sabiduría verbal de los metafísicos que no expresa nada, sabemos muy poco o nada sobre la esencia del espacio. (De una carta a Taurino , 1824 )

En 1818, en una carta al astrónomo austríaco Gerling, Gauss expresó su preocupación [30] :

Me alegro de que tengas el coraje de hablar como si estuvieras admitiendo la falsedad de nuestra teoría de las paralelas, y al mismo tiempo de toda nuestra geometría. Pero las avispas cuyo nido perturbas volarán sobre tu cabeza.

Habiéndose familiarizado con el trabajo de Lobachevsky "Investigaciones geométricas en la teoría de los paralelos", Gauss solicita enérgicamente la elección del matemático ruso como miembro correspondiente extranjero de la Royal Society de Göttingen (lo que sucedió en 1842 ).

Lobachevsky y Bolyai mostraron más coraje que Gauss, y casi simultáneamente (Lobachevsky - en el informe de 1826 y la publicación de 1829 ; Bolyai - en la carta de 1831 y la publicación de 1832 ), independientemente el uno del otro, publicaron una presentación de lo que Ahora se llama geometría de Lobachevsky . Lobachevsky avanzó más lejos en el estudio de la nueva geometría, y actualmente lleva su nombre. Pero su principal mérito no está en esto, sino en el hecho de que creyó en la nueva geometría y tuvo el coraje de defender su convicción (incluso sugirió verificar experimentalmente el postulado V midiendo la suma de los ángulos de un triángulo) [31 ] .

En la introducción a su libro Nuevos Principios de la Geometría, Lobachevsky afirma contundentemente [32] :

Todo el mundo sabe que en geometría la teoría de las paralelas ha permanecido hasta ahora imperfecta. Vanos esfuerzos desde la época de Euclides, a lo largo de dos mil años, me hicieron sospechar que los mismos conceptos aún no contienen la verdad que querían probar y que, como otras leyes físicas, sólo puede ser verificada mediante experimentos, como como, por ejemplo, las observaciones astronómicas.< …> La conclusión principal <…> admite la existencia de la geometría en un sentido más amplio que el que nos presentó el primer Euclides. En esta forma extendida, le di a la ciencia el nombre de Geometría Imaginaria, donde entra Geometría Utilizable como un caso especial.

El trágico destino de Lobachevsky, que fue condenado al ostracismo en el mundo científico y el entorno oficial por pensamientos demasiado audaces, demostró que los temores de Gauss no fueron en vano. Pero su lucha no fue en vano. Irónicamente, el triunfo de las audaces ideas de Lobachevsky fue asegurado (póstumamente) por el cauteloso Gauss. En la década de 1860, se publicó la correspondencia de Gauss, incluidas varias reseñas entusiastas de la geometría de Lobachevsky, y esto llamó la atención sobre las obras del matemático ruso. En 1868, se publicó un artículo de E. Beltrami , quien demostró que el plano de Lobachevsky tiene una curvatura negativa constante (el plano euclidiano tiene curvatura cero, la esfera tiene curvatura  positiva); muy rápidamente, la geometría no euclidiana adquirió un estatus científico legal, aunque todavía se la consideraba puramente especulativa [33] .

A finales del siglo XIX-principios del siglo XX, primero los matemáticos ( Bernhard Riemann , William Kingdon Clifford ), y luego los físicos ( Relatividad general , Einstein ), acabaron finalmente con el dogma de la geometría euclidiana del espacio físico [4 ] .

Sobre la prueba de la independencia

La independencia del quinto postulado significa que su negación no contradice el resto de los axiomas de la geometría (siempre que la geometría de Euclides sea consistente). Al mismo tiempo, esto significa la consistencia de la geometría de Lobachevsky . De hecho, el siguiente teorema es cierto [34] .

Teorema. La geometría de Lobachevsky es consistente si y solo si la geometría euclidiana es consistente.

Para probar este teorema en las matemáticas modernas, se utilizan modelos de una geometría en otra. En el modelo de puntos, líneas y otros objetos de la primera geometría, los objetos se construyen en el marco de la segunda geometría de modo que los axiomas de la primera se cumplan para los objetos construidos. Así, si se encontrara una contradicción en el primer sistema de axiomas, entonces se encontraría en el segundo.

Es difícil especificar exactamente quién y cuándo demostró este teorema.

En cierto sentido, podemos suponer que esto ya lo hizo Lobachevsky. De hecho, Lobachevsky notó que la geometría de la orosfera en el espacio de Lobachevsky no es más que el plano euclidiano; así, la existencia de una contradicción en la geometría euclidiana implicaría una contradicción en la geometría de Lobachevsky [35] . En lenguaje moderno, Lobachevsky construyó un modelo del plano euclidiano en el espacio de Lobachevsky. En la dirección opuesta, su construcción procedió analíticamente, y la consistencia de la geometría de Lobachevsky siguió a la consistencia del análisis real.

A pesar de tener estas herramientas, Lobachevsky no enunció el teorema de consistencia en sí . Para su formulación rigurosa se necesitó un análisis lógico de los fundamentos de la geometría , que luego fue realizado por Pash , Hilbert y otros [34] .

La aparición del concepto del modelo se la debemos a Beltrami . En 1868 construyó un modelo proyectivo , un modelo euclidiano conforme , y también un modelo local sobre la llamada pseudoesfera . Beltrami también fue el primero en ver la conexión entre la geometría de Lobachevsky y la geometría diferencial.

Los modelos construidos por Beltrami fueron desarrollados posteriormente por Klein y Poincaré , gracias a ellos se simplificó enormemente la construcción, y también se descubrieron conexiones y aplicaciones de la nueva geometría a la geometría proyectiva y al análisis complejo . Estos modelos prueban convincentemente que la negación del quinto postulado no contradice el resto de los axiomas de la geometría; de ahí se sigue que el postulado V es independiente de los demás axiomas y es imposible demostrarlo [33] .

Quinto postulado y otras geometrías

Como se muestra arriba, agregar el quinto postulado o su negación al resto de los axiomas de Euclides forma la geometría de Euclides o la geometría de Lobachevsky , respectivamente. Para otras geometrías homogéneas comunes, el papel del quinto postulado no es tan grande.

El sistema de axiomas de la geometría esférica requiere una reelaboración más significativa de los axiomas de Euclides, ya que no hay líneas paralelas en él [36] . En geometría proyectiva , se pueden definir líneas paralelas como líneas que se cruzan solo en un punto en el infinito; entonces el quinto postulado se convierte en una simple consecuencia del axioma: " a través de dos puntos se puede trazar una y sólo una línea recta ". De hecho, si especificamos una línea y un punto fuera de ella y luego aplicamos el axioma anterior para un punto en el infinito, entonces la línea resultante será paralela y, obviamente, determinada de forma única [37] .

Notas

  1. ↑ Comienzos de Euclides / Traducción del griego y comentarios de D. D. Mordukhai-Boltovsky con la participación editorial de M. Ya. Vygodsky e I. N. Veselovsky. - M. - L .: GTTI, 1948. - T. I. - S. 15. Copia archivada (enlace inaccesible) . Consultado el 25 de abril de 2008. Archivado desde el original el 6 de abril de 2008. 
  2. ↑ 1 2 Kagan. Lobachevski, 1948 , pág. 164-165.
  3. ↑ Smilga, 1988 , pág. cuatro
  4. ↑ 1 2 Zakharov V. D. Gravedad: de Aristóteles a Einstein . Recuperado: 28 de mayo de 2020.
  5. ↑ 1 2 Historia de las matemáticas / Editado por A. P. Yushkevich , en tres volúmenes. - M. : Nauka, 1970. - T. I. - S. 110.
  6. ↑ 1 2 Mordukhai-Boltovskoy D. D. Comentarios sobre "Comienzos" de Euclides, libros I-VI. Decreto. Op. - S. 241-244.
  7. ↑ Quinto postulado de Euclides . Consultado el 17 de marzo de 2008. Archivado desde el original el 13 de mayo de 2008.
  8. ↑ Kagan. Lobachevski, 1948 , pág. 167-175.
  9. ↑ 1 2 3 Lelon-Ferrand J., 1989 , p. 255-256.
  10. ↑ Smilga, 1988 , pág. 59-61.
  11. ↑ Kline M. Matemáticas. Pérdida de certeza . - M. : Mir, 1984. - S. 94-95. Copia archivada (enlace no disponible) . Fecha de acceso: 13 de marzo de 2010. Archivado desde el original el 12 de febrero de 2007. 
  12. ↑ Tóth I. Das Parallelenproblem im Corpus Aristotelicum // Archivo de historia de las ciencias exactas . - Berlín-Heidelberg-Nueva York, 1967. - Vol. 3 , núm. 4.5 . - S. 249-422 .
  13. ↑ 1 2 Smilga, 1988 , p. 72.
  14. ↑ Laptev B. L. N. I. Lobachevsky y su geometría. - M. : Educación, 1976. - S. 71. - 112 p.
  15. ↑ Historia de las matemáticas / Editado por A.P. Yushkevich , en tres volúmenes. - M. : Nauka, 1970. - T. I. - S. 231.
  16. ↑ Ibn Korra. El libro que dos líneas dibujadas en un ángulo menor que dos líneas rectas se encuentran / Traducción y notas de B. A. Rosenfeld. - M. : IMI, 1963. - T. XV. - S. 363-380.
  17. ↑ Jayam. Tratados / Traducido por B. A. Rosenfeld. Editado por V. S. Segal y A. P. Yushkevich. Artículo y comentarios de B. A. Rosenfeld y A. P. Yushkevich. - M. , 1962.
  18. ↑ At-Tusi. Un tratado que cura dudas sobre líneas paralelas / Traducción de B. A. Rosenfeld, notas de B. A. Rosenfeld y A. P. Yushkevich. - M. : IMI, 1960. - T. XIII. - S. 483-532.
  19. ↑ Rosenfeld B. A. Pruebas del quinto postulado de Euclides por los matemáticos medievales Hassan ibn al-Khaytham y Leo Gersonides. - M. : IMI, 1958. - T. XI. - S. 733-742.
  20. ↑ Clavius ​​​​C. Euclidis Elementorum, libri XV. — Romae, 1574.
  21. ↑ Wallis. Ópera matemática, v. II. - Oxoniae, 1693. - S. 665.
  22. ↑ Historia de las matemáticas / Editado por A.P. Yushkevich , en tres volúmenes. - M. : Nauka, 1972. - T. III. - S. 215-217.
  23. ↑ G. Saccheri. Euklid von jedem Makel befreit. En: F. Engel, P. Stackel. Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gauss, eine Urkundensammlung zur Vorgeschichte der Nicht-Euklidischen Geometrie. - Leipzig, 1895. - S. 100.
  24. ↑ G. Saccheri. Euklid von jedem Makel befreit. En: F. Engel, P. Stackel. Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gauss, eine Urkundensammlung zur Vorgeschichte der Nicht-Euklidischen Geometrie. - Leipzig, 1895. - S. 105.
  25. ↑ Lambert J. H. Deutscher Gelehrter Briefwechsel. bd. 1-5. Herausg. von J. Bernoulli. - Berlín, 1781-1784. - S. 202-203.
  26. ↑ Smilga, 1988 , pág. 121.
  27. ↑ Historia de las Matemáticas, Volumen III, página 218.
  28. ↑ Sobre los fundamentos de la geometría, págs. 101-120.
  29. ↑ De otra letra se deduce que la constante es , donde denota la curvatura .
  30. ↑ Sobre los fundamentos de la geometría, p. 119-120.
  31. ↑ Lobachevsky N. I. Obras sobre geometría (Colección completa de obras, vols. 1-3). - M. - L.: GITTL, 1946-1949.
  32. ↑ Sobre los fundamentos de la geometría, p. 61-62.
  33. ↑ 1 2 Arcozzi, Nicola. Modelos de Beltrami de geometría no euclidiana  (inglés) . Consultado el 16 de julio de 2016. Archivado desde el original el 7 de enero de 2017.
  34. ↑ 1 2 Pogorelov A.V. Fundamentos de geometría. - Ed. 4to. - M. : Nauka, 1979. - S. 18-21. — 152 págs.
  35. ↑ ver ítem 34 en Lobachevsky, NI Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien  (alemán) . — Berlín: F. Fincke, 1840.
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Literatura

Enlaces

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