Análisis vectorial

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El análisis vectorial es una rama de las matemáticas que extiende los métodos de análisis matemático a los vectores , generalmente en dos o tres dimensiones.

Alcance

Los objetos de la aplicación de análisis vectorial son:

Los campos vectoriales son asignaciones de un espacio vectorial a otro.
Los campos escalares son funciones en un espacio vectorial .

El análisis vectorial encuentra su mayor aplicación en la física y la ingeniería . Las principales ventajas de los métodos vectoriales sobre los métodos tradicionales de coordenadas:

Compacidad. Una ecuación vectorial combina varias coordinadas y, en la mayoría de los casos, su estudio se puede realizar directamente, sin reemplazar los vectores con su notación de coordenadas.
Invariancia. La ecuación vectorial no depende del sistema de coordenadas y se puede traducir fácilmente a una notación de coordenadas en cualquier sistema de coordenadas conveniente.
visibilidad. Los operadores diferenciales del análisis vectorial y las relaciones que los conectan suelen tener una interpretación física sencilla y clara.

Operadores vectoriales

Los operadores vectoriales más utilizados son:

Rotor y divergencia - para campos vectoriales.
Gradiente : para campos escalares.
Laplaciano : para campos escalares y vectoriales.

Operador	Designacion	Descripción	Tipo de
Degradado	$\operatorname {graduado}(f)=\nabla f$	Determina la dirección y la velocidad del aumento más rápido del campo escalar.	vector escalar $\Flecha correcta$
Divergencia	$\operatorname {div}({\mathbf {F}})=\nabla \cdot {\mathbf {F}}$	Caracteriza la divergencia, fuentes y sumideros del campo vectorial.	Escalar vectorial $\Flecha correcta$
Rotor	$\operatorname {rot}({\mathbf {F}})=\nabla \times {\mathbf {F}}$	Caracteriza el componente de vórtice del campo vectorial.	vectores de vectores $\Flecha correcta$
laplaciano	$\Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f$	Combinación de divergencia con un gradiente.	escalar escalar $\Flecha correcta$
vector laplaciano	${\displaystyle \Delta \mathbf {A} ={\Delta }A_{x}\mathbf {i} +{\Delta }A_{y}\mathbf {j} +{\Delta }A_{z} \mathbf {k} }$ [una]		vectores de vectores $\Flecha correcta$

$\operatorname {grad} (f)=\nabla f={\frac {\parcial f}{\parcial x))\mathbf {i} +{\frac {\parcial f}{\parcial y)) \mathbf {j} +{\frac {\f parcial}{\z parcial}}\mathbf {k}$

$\operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\parcial F_{x}}{\parcial x}}+{\frac {\parcial F_{y}}{\parcial y}}+{\frac {\parcial F_{z}}{\parcial z}}$

$\operatorname {rot} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \ \{\frac {\parcial }{\parcial x))&{\frac {\parcial }{\parcial y))&{\frac {\parcial }{\parcial z))\\F_{x}&F_{ y}&F_{z}\end{vmatriz}}=\left({\frac {\parcial F_{z}}{\parcial y}}-{\frac {\parcial F_{y}}{\parcial z} }\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\parcial F_{x}}{\parcial z}}-{\frac {\parcial F_{z}}{\parcial x}}\right )\mathbf {j} +\left({\frac {\parcial F_{y}}{\parcial x}}-{\frac {\parcial F_{x}}{\parcial y}}\right)\mathbf {k}$

$\Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f={\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial x^{2))}+{\frac { \parcial ^{2}f}{\parcial y^{2}}}+{\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial z^{2}}}$

$\Delta \mathbf {A} ={\Delta }A_{x}\mathbf {i} +{\Delta }A_{y}\mathbf {j} +{\Delta }A_{z}\mathbf { k} ={\biggl (}{\frac {\parcial ^{2}A_{x}}{\parcial x^{2}}}+{\frac {\parcial ^{2}A_{x}}{ \parcial y^{2))}+{\frac {\parcial ^{2}A_{x)){\parcial z^{2))}{\Biggr )}\mathbf {i} +{\biggl ( }{\frac {\parcial ^{2}A_{y}}{\parcial x^{2}}}+{\frac {\parcial ^{2}A_{y}}{\parcial y^{2} ))+{\frac {\parcial ^{2}A_{y)){\parcial z^{2))}{\Biggr )}\mathbf {j} +{\biggl (}{\frac {\parcial ^{2}A_{z}}{\parcial x^{2}}}+{\frac {\parcial ^{2}A_{z}}{\parcial y^{2}}}+{\frac { \parcial ^{2}A_{z}}{\parcial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {k}$

Operaciones diferenciales de segundo orden

	campo escalar ${\ estilo de visualización f = f (x, y, z)}$	campo vectorial $\mathbf {A} =A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k}$
	$\operatorname {graduación}$	${\ estilo de visualización \ nombre del operador {div}}$	${\ estilo de visualización \ nombre del operador {rot}}$
$\operatorname {graduación}$		$\operatorname {grado} \operatorname {div} (\mathbf {A} )=\nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {A} )$
${\ estilo de visualización \ nombre del operador {div}}$	$\operatorname {div} \operatorname {grado} (f)=\nabla \cdot \nabla f=\nabla ^{2}f=\Delta f$		$\operatorname {div} \operatorname {rot} (\mathbf {A} )=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0$
${\ estilo de visualización \ nombre del operador {rot}}$	$\operatorname {rot} \operatorname {graduado} (f)=\nabla \times (\nabla f)=0$		$\operatorname {rot} \operatorname {rot} (\mathbf {A} )=\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )=\nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {A } )-(\nabla \cdot \nabla )\cdot \mathbf {A} =\operatorname {grad} \operatorname {div} \mathbf {A} -\Delta \mathbf {A}$

Estas operaciones se denominan operaciones diferenciales de segundo orden porque se reducen a una doble diferenciación de funciones escalares o vectoriales (formalmente: en su notación simbólica, el operador de Hamilton aparece dos veces). [2] ${\ estilo de visualización \ Delta}$

Razones básicas

Presentemos un resumen de los teoremas de importancia práctica del análisis multivariado en notación vectorial.

Teorema	Grabación	Explicaciones
teorema del gradiente	$\varphi \left({\mathbf {q}}\right)-\varphi \left({\mathbf {p}}\right)=\int _{L}\nabla \varphi \cdot d{\mathbf {r }}.$	La integral curvilínea del gradiente de campo escalar es igual a la diferencia entre los valores de campo en los puntos límite de la curva.
teorema de verde	$\oint \limits_{{C}}L\,dx+M\,dy=\iint \limits_{{D}}\left({\frac {\parcial M}{\parcial x}}-{\ frac {\parcial L}{\parcial y}}\derecha)\,dA$	La integral curvilínea sobre un contorno plano cerrado se puede convertir en una integral doble sobre la región delimitada por el contorno.
teorema de Stokes	$\int \limits _({\Sigma }}\nabla \times {\mathbf {F}}\cdot d{\mathbf {\Sigma }}=\oint \limits _({\parcial \Sigma }}{\mathbf {F}}\cdot d{\mathbf {r}},$	La integral de superficie del rotacional del campo vectorial es igual a la circulación a lo largo del límite de esta superficie.
Teorema de Ostrogradsky-Gauss	$\iiiint \limits _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dV=\iint \limits _{\parcial V}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S } ,$	La integral de volumen de la divergencia de un campo vectorial es igual al flujo de este campo a través de la superficie límite.

Reseña histórica

W. Hamilton fue el primero en introducir los vectores en relación con el descubrimiento en 1843 de los cuaterniones (como su parte imaginaria tridimensional). En dos monografías (1853, 1866 póstumamente), Hamilton introdujo el concepto de vector y función vectorial , describió el operador diferencial (" nabla ", 1846) y muchos otros conceptos de análisis vectorial. Definió como operaciones sobre nuevos objetos los productos escalares y vectoriales , que para los cuaterniones se obtenían puramente algebraicamente (con su habitual multiplicación). Hamilton también introdujo los conceptos de colinealidad y coplanaridad de vectores, la orientación de un vector triple, etc. $\nabla$

La compacidad e invariancia del simbolismo vectorial utilizado en los primeros trabajos de Maxwell (1873) interesó a los físicos; Pronto apareció Elements of Vector Analysis (1880) de Gibbs , y luego Heaviside ( 1903 ) le dio al cálculo vectorial un aspecto moderno. Es de destacar que ya en los trabajos de Maxwell, la terminología de cuaterniones está casi ausente, de hecho, reemplazada por una terminología puramente vectorial. El término "análisis vectorial" fue propuesto por Gibbs (1879) en su curso de conferencias.

Véase también

Literatura

Alexandrova NV Formación de los conceptos básicos del cálculo vectorial. // Investigación histórica y matemática . - M. : Nauka , 1982. - Nº 26 . - S. 205-234 .
Borisenko AI, Tarapov IE Análisis vectorial y principios del cálculo tensorial. Moscú: Escuela superior, 1966, 251 p.
Krasnov M. L., Kisilev A. I., Makarenko G. I. Análisis vectorial. Nauka, 1978, 160 págs. (2ª ed. URSS, 2002)
Kumpyak D. E. Análisis vectorial y tensorial. Archivado el 27 de febrero de 2014 en Wayback Machine . Tver: Estado de Tver. universidad , 2007, 158 p.
McConnel A. J. Introducción al análisis tensorial con aplicaciones a la geometría, la mecánica y la física. Archivado el 27 de febrero de 2014 en Wayback Machine M.: Fizmatlit , 1963, 411 p.
Fikhtengolts G. M. Curso de cálculo diferencial e integral, volumen III. — M .: Nauka , 1966.
V.G.Vodnev, A.F.Naumovich, N.F.Naumovich "Diccionario matemático de educación superior". Editorial MPI 1984.

Notas

↑ V.G. Vodnev, A.F. Naumovich, N.F. Naumovich "Diccionario matemático de la escuela superior". MPI Publishing House 1984. Artículo "Operador de Laplace" y "Rotor de campo vectorial".
↑ V.G. Vodnev, A.F. Naumovich, N.F. Naumovich "Diccionario matemático de la escuela superior". MPI Publishing House 1984. Artículo "Operaciones diferenciales de segundo orden".

Enlaces

L. I. Kovalenko, Elementos de análisis vectorial - MIPT 2001 (pdf) Archivado el 23 de mayo de 2006 en Wayback Machine .
Artículo de análisis de vectores de Astronet Archivado el 16 de mayo de 2005 en Wayback Machine .

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