Excluir

La excircunferencia de un triángulo es una circunferencia tangente a un lado del triángulo y las prolongaciones de los otros dos lados. Cualquier triángulo tiene tres excírculos (a diferencia de un solo incírculo ).

La existencia y unicidad de un excírculo se debe al hecho de que las bisectrices de dos ángulos externos de un triángulo y la bisectriz de un ángulo interno no adyacente a estos dos se cortan en un punto, que es el centro de tal círculo.

Propiedades

Aquí se utiliza la siguiente notación: - radios de círculos con centros , tangentes respectivamente a los lados del triángulo; - semiperímetro del triángulo; - radio del círculo inscrito ; es el radio del círculo circunscrito . ${\displaystyle r_{a},r_{b},r_{c))$ ${\displaystyle J_{A},J_{B},J_{C))$ $a B C$ $pags$ $r$ $R$

La longitud del segmento de la tangente trazada a la excircunferencia desde el vértice opuesto es igual a la mitad del perímetro del triángulo.
El área de un triángulo es la última igualdad por la fórmula de Heron . [una] $S=r_{a}(pa)=r_{b}(pb)=r_{c}(pc)={\frac {r_{a}r_{b}r_{c}}{p}} ={\raíz cuadrada {rr_{a}r_{b}r_{c}}},$
${\frac {1}{r}}={\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{b}}}+{\frac {1}{r_ {C}}}$
$4R=r_{a}+r_{b}+r_{c}-r$
El triángulo original es el ortotriángulo del triángulo . ${\displaystyle \Delta I_{1}I_{2}I_{3))$
coordenadas baricéntricas $J_{A}=(-a,b,c)$
Teorema de Euler para excircunferencias: , donde O es el centro de la circunferencia circunscrita. ${\displaystyle OI_{i}^{2}=R^{2}+2Rr_{i))$
$r_{a}r_{b}=p(pc);rr_{a}=(pb)(pc)$
El centro radical de los excírculos es el centro de Spieker (el centro del círculo inscrito del triángulo mediano).
Los centros de los círculos inscritos y excírculos son los puntos fijos de la conjugación isogonal .
El centro de la circunferencia que pasa por los centros de las excircunferencias es el punto de Bevan .
Los tres centros de las tres excircunferencias de un triángulo dado forman un triángulo de tres bisectrices externas .
Tres perpendiculares a los lados de un triángulo, trazadas en los puntos de su intersección con tres excírculos, se cortan en un punto (consecuencia de los teoremas sobre los vértices de un triángulo subdérmico [2] ).
En una recta que pasa por los puntos de contacto de dos excircunferencias de un triángulo con sus lados, estas excircunferencias cortan segmentos iguales.
Este último se puede formular de la siguiente manera. Si 2 excircunferencias de un triángulo tocan 2 de sus diferentes lados y 2 de sus extensiones en 4 puntos tangentes, entonces el cuadrilátero formado por los últimos 4 puntos como vértices es un trapezoide isósceles con 2 lados laterales iguales, y también 2 diagonales (tangente a 2 círculos).

Nota

En la literatura inglesa, 4 centros de 4 círculos: 1 inscrito y 3 excírculos con centros, respectivamente , tocando respectivamente 3 lados diferentes del triángulo o sus extensiones, se denominan 4 centros tritangentes del triángulo ( los centros tritangentes ) [3] . Hay muchos teoremas sobre los 4 centros tritangentes de un triángulo : ${\displaystyle I,J_{A},J_{B},J_{C))$ $a B C$
Los 4 centros de tres tangentes del triángulo forman un sistema ortocéntrico de puntos .
Los 4 centros de tres tangentes del triángulo se encuentran en las mediatrices interiores del triángulo o en sus extensiones. Al mismo tiempo, 2 centros de tres tangentes dividen armónicamente la bisectriz en la que se encuentran y en su continuación. [4] . Es decir, el cuatro armónico está formado por 4 puntos: , donde es la base de la bisectriz interna trazada desde el vértice del ángulo del triángulo . $A,I,A',J_{A}$ $A'$ $A$ $A B C$
El punto de Feuerbach para un inscrito o excírculo dado (círculo de tres tangentes - en inglés "un círculo tritangente") es el punto de intersección de 2 líneas de Simson , construido para los extremos del diámetro del circuncírculo que pasa por el centro correspondiente del inscrito o excluir. Así, los puntos de Feuerbach se pueden construir sin utilizar la circunferencia inscrita o excircunferencia correspondiente y la circunferencia de Euler tangente a ella [5] .

Construcción de la excircunferencia de un triángulo

Para construir la excircunferencia de un triángulo, necesitas [6] :

Construir esquinas externas para las esquinas de un triángulo.
Dibuja las bisectrices de los ángulos externos construidos hasta el punto de su intersección. El punto de intersección de las bisectrices será el centro de la excircunferencia.
Construye el radio del círculo. Para ello, dibuja una perpendicular desde el punto de intersección de las bisectrices hasta la continuación de uno de los lados.
Dibuja un círculo centrado en el punto de intersección de las bisectrices y con un radio igual a la longitud de la perpendicular construida.

La excircunferencia de un cuadrilátero

Cuadrilátero no circunscrito

Un cuadrilátero no circunscrito es un cuadrilátero convexo cuyas extensiones de los cuatro lados son tangentes al círculo (fuera del cuadrilátero) [7] . El círculo se llama excírculo . El centro de la excircunferencia se encuentra en la intersección de seis bisectrices.
comentario _ No se pueden dibujar inscritos , circunscritos ni excírculos para todos los cuadriláteros. Si los lados opuestos de un cuadrilátero convexo ABCD se intersecan en los puntos E y F , entonces la condición para que no se describa es cualquiera de las dos condiciones siguientes:

AB+BC=AD+DC\quad \Leftrightarrow \quad AE+EC=AF+FC.

Literatura

Geometría según Kiselyov , §144.
Ponarin Ya. P. Geometría elemental. En 2 tomos - M. : MTSNMO , 2004. - S. 44-48. — ISBN 5-94057-170-0 .
Mirko Radic, Zoran Kaliman, Vladimir Kadum. Condición de que un cuadrilátero tangencial sea también cordal // Comunicaciones Matemáticas. - 2007. - Edición. 12 _

Notas

↑ Pathan, Alex y Tony Collyer, "Revisión de las propiedades del área de los triángulos", Mathematical Gazette 89, noviembre de 2005, 495-497.
↑ Zetel SI Nueva geometría triangular. Una guía para profesores. 2ª edición .. - M . : Uchpedgiz, 1962. - S. 137-138, p.126, teorema.
↑ Geometría universitaria: una introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo. Nathan Altshiller-Court. Mineola, Nueva York: Dover Publication, Inc., 2012. - §b. Los centros tritangentes. P.73-78// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ# v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Archivado el 30 de junio de 2020 en Wayback Machine .
↑ Geometría universitaria: una introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo. Nathan Altshiller-Court. Mineola, Nueva York: Dover Publication, Inc., 2012. - §120. Teorema (Fig. 51). P.74-75// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ# v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Archivado el 30 de junio de 2020 en Wayback Machine .
↑ Geometría universitaria: una introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo. Nathan Altshiller-Court. Mineola, Nueva York: Dover Publication, Inc., 2012. - §648. Observación. P.273// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v= onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Archivado el 30 de junio de 2020 en Wayback Machine .
↑ Excírculos. edificio _ Matvok. Enciclopedia de Matemáticas . mathvox.ru. Consultado el 6 de noviembre de 2018. Archivado desde el original el 7 de noviembre de 2018. (indefinido)
↑ Radic, Kaliman, Kadum, 2007 , pág. 33-52.