Holonomía

La holonomía es una de las invariantes de conexión en un paquete sobre una variedad uniforme , que combina las propiedades de curvatura y monodromía , y es importante tanto en geometría como en áreas geometrizadas de las ciencias naturales, como la teoría de la relatividad y la teoría de cuerdas . Se suele hablar de la holonomía de las conexiones en un haz vectorial , aunque igualmente tiene sentido hablar de la holonomía de una conexión en un haz principal o incluso de la holonomía de una conexión de Ehresmann en un haz topológico localmente trivial.

Recuerde que una conexión en un conjunto de vectores es un operador que asigna a cada camino una transformación de traslación . Sin embargo, a diferencia de la situación que se encuentra a menudo en la topología, la transformación de traducción paralela cambia si la ruta en sí cambia, incluso si sus extremos no cambian (no depende de pequeños cambios en la ruta solo en un caso muy especial, aunque muy importante). de conexiones planas ). La holonomía es una medida de cómo la traducción paralela puede depender de pequeñas perturbaciones del camino. Es decir, un camino compuesto recorrido de a lo largo y luego de regreso a lo largo de su variación puede percibirse como un camino cerrado desde un punto hacia sí mismo. El conjunto de todas las transformaciones de capas obtenidas por traslaciones a lo largo de caminos cerrados que comienzan y terminan en , forma un grupo llamado grupo de holonomía en un punto y se denota por . Si consideramos solo las traslaciones paralelas a lo largo de esos caminos que son contráctiles a un punto, obtenemos su subgrupo normal , llamado grupo local , u holonomía restringida , denotado por . Los grupos de holonomía en diferentes puntos pueden identificarse conectando estos puntos con un camino, pero esta identificación, en términos generales, dependerá de la elección del camino. Sin embargo, todos estos grupos son isomorfos, lo que nos permite hablar simplemente del grupo de holonomía y del grupo de holonomía local, independientemente de la elección del punto. El grupo de holonomía en un punto tiene, por su construcción, una representación natural en el espacio denominada representación de holonomía . ${\ estilo de visualización E \ a X}$ ${\ estilo de visualización \ gamma \ dos puntos [0; 1] \ a X}$ ${\displaystyle p_{\gamma }\colon E_{\gamma (0)}\to E_{\gamma (1)))$ ${\ estilo de visualización \ gamma (0)}$ ${\ estilo de visualización \ gamma (1)}$ $\gama$ $\gamma '$ ${\ estilo de visualización \ gamma (0) = x}$ ${\ Displaystyle E_ {x}}$ $X$ $X$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Hol} _ {x} (\ nabla)}$ $\operatorname {Hol} _{x}^{0}(\nabla )$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Hol} (\ nabla)}$ $\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla)$ $X$ ${\ Displaystyle E_ {x}}$

Para una conexión plana, el grupo de holonomía local es, por definición, trivial, y el grupo de holonomía es el grupo monodrómico de esta conexión plana. En el caso general, la monodromía de una conexión no plana se define en términos de holonomía, como un grupo cociente . $\operatorname {Vacaciones} (\nabla)/\operatorname {Vacaciones} ^{0}(\nabla)$

El ejemplo más simple: la suma de los ángulos de un triángulo esférico

Considere el caso de vectores tangentes a una esfera bidimensional. La conectividad ( Levi-Civita ) en este caso se puede determinar de forma elemental. Es decir, cualquier camino suave por partes puede aproximarse arbitrariamente bien mediante una línea discontinua cuyos enlaces son geodésicos (es decir, pequeños arcos de grandes círculos). Definamos la traslación paralela a lo largo de la geodésica con la condición de que el vector tangente se convierta en el vector , mientras que los ángulos y la orientación en el plano tangente se conservan. ${\displaystyle p_{\gamma }\colon T_{\gamma (0)}S^{2}\to T_{\gamma (1)}S^{2))$ ${\displaystyle \gamma \colon [0;1]\to S^{2))$ ${\displaystyle {\frac {\parcial \gamma}{\parcial t))(0)\in T_{\gamma (0)}S^{2))$ ${\displaystyle {\frac {\parcial \gamma}{\parcial t))(1)\in T_{\gamma (1)}S^{2))$

La figura muestra el proceso de mover un vector tangente a lo largo de una geodésica de un punto a otro , de un punto a otro y de un punto a otro . Tenga en cuenta que cuando se mueve a lo largo de un lado, el ángulo formado por el vector transferido con el vector tangente a este lado no cambia, y en el vértice, se le suma el valor del ángulo externo en este vértice. Por lo tanto, el ángulo se acumula en total por , donde denota un defecto esférico (desviación de la suma de los ángulos de un triángulo esférico de ), y dado que el vector tangente al límite también se desplaza por , la desviación acumulada del vector tangente encerrado de su vector tangente original es . Como es bien sabido, el defecto esférico es proporcional al área del triángulo, por lo que el grupo de holonomía en este caso será simplemente un grupo de rotaciones por todos los ángulos posibles. $A$ $norte$ $norte$ $B$ $B$ $A$ ${\ estilo de visualización \ pi - \ alfa _ {i))$ $3\pi -(\alpha +\beta +\gamma )=2\pi -\delta$ $\delta$ $\Pi$ $2\pi$ $\delta$

Este efecto se puede observar en la vida real, por ejemplo, cuando los giroscopios se desvían de su posición después de pasar por un camino que incluye un área suficientemente grande de la superficie terrestre. Otras manifestaciones más o menos clásicas del fenómeno de la holonomía son la fase Berry y el efecto Aharonov-Bohm .

Holonomía y curvatura

En el caso de una dimensión superior, por supuesto, la transformación de la holonomía a lo largo del camino no puede describirse con un solo número, porque las rotaciones ortogonales del espacio bidimensional requieren coeficientes para su asignación única. Sin embargo, todavía forman un grupo. En el caso de una conexión Levi-Civita (o una conexión métrica en general) en una variedad orientable, este será un subgrupo de , generalmente la totalidad. Se llama el grupo de holonomía de Riemann . $norte$ $n(n-1)/2$ $G=\mathrm {SO} (n)$

Si el camino se contrae en un punto , entonces la transformación de la holonomía tiende a la transformación idéntica . Si tendemos a un paralelogramo infinitamente pequeño con lados , entonces la transformación de holonomía tiende a una transformación infinitamente cercana a la identidad. Pero por definición, si , where es insignificante (o, formalmente hablando, sobre un anillo nilpotente ), entonces , where es el álgebra de Lie del grupo . En este caso, esta álgebra se llama álgebra de holonomía y se denota por . Por otro lado, el operador "paralelo que encierra alrededor de un paralelogramo infinitamente pequeño" , que muestra hasta qué punto los operadores de transferencia paralelos no conmutan a lo largo de dos vectores, es simplemente curvatura . $\gama$ $X$ $p_{\gamma}$ $\mathrm {Id}_{E_{x}}$ $\gama$ ${\ estilo de visualización u, v \ en T_ {x}}$ $\mathrm {Id} _{E_{x}}+\varepsilon \Theta _{u,v}$ $\mathrm {Id} _{E_{x}}+\varepsilon \Theta _{u,v}\in G$ $\varepsilon$ $\mathbb {R} [\varepsilon]/(\varepsilon^{2})$ $\Theta _{u,v}\in {\mathfrak {g))$ $\mathfrak{g}$ $GRAMO$ ${\mathfrak {hol}}(\nabla)$ ${\ estilo de visualización \ Theta _ {u, v}}$

Teorema ( Ambrose , Singer ): El álgebra de holonomía se genera a partir de los valores del tensor de curvatura sobre todos los pares posibles de vectores tangentes.

El principio de holonomía

Si hay un paquete vectorial con conexión y un cierto tensor definido en el punto , entonces se puede intentar extenderlo a todos los demás puntos de la variedad mediante traslación paralela usando la conexión de . El campo tensorial resultante será automáticamente paralelo con respecto a la conexión . Sin embargo, para que esta operación sea correcta, debe ser independiente de la elección del camino; en otras palabras, no importa qué camino cerrado tomemos desde dentro de nosotros mismos, una transferencia paralela a lo largo de él debe volver a sí mismo. Esto significa que hay un vector invariante en la representación tensorial del grupo de holonomía. ${\ estilo de visualización E \ a X}$ $\nabla$ ${\displaystyle \eta _{x}\in E_{x}^{\otimes k}\otimes (E_{x}^{*})^{\otimes l))$ $X$ $\nabla$ $X$ $\nabla$ $X$ $\eta _{x}$ $\eta _{x}$

Principio de holonomía : los campos tensoriales paralelos con respecto a la conectividad corresponden uno a uno a los invariantes en el poder tensorial de la representación de holonomía $\nabla$ $\nabla$

Por ejemplo, considere el subgrupo de matrices unitarias . Este grupo tiene un tensor invariante en , a saber, el operador de multiplicación por en ( esta es una rotación de 90°). Por tanto, si una variedad riemanniana bidimensional tiene un grupo de holonomía riemanniana en , admite un campo de rotaciones de 90° (es decir, un endomorfismo de fibra tangente con la propiedad ), que puede percibirse como una estructura casi compleja . Además, dado que la conexión Levi-Civita es libre de torsión , del teorema de Newlander-Nirenberg se deduce que esta estructura es integrable, es decir, admite aplicaciones holomorfas locales en . De manera similar, la representación del grupo tiene un vector fijo, la parte simétrica oblicua del producto escalar hermitiano . Por lo tanto, en una variedad riemanniana bidimensional con holonomía contenida en , hay un paralelo de 2 formas degenerado en ninguna parte con respecto a la conexión Levi-Civita (que se puede expresar en términos de la métrica y el operador descritos anteriormente mediante la fórmula estándar para Espacios hermitianos Las formas diferenciales paralelas con respecto a la conexión sin torsión son cerradas, de modo que , y tal variedad es simpléctica . La forma más corta de definir una variedad Kähleriana es decir que es una variedad riemanniana- dimensional, un grupo riemanniano cuya holonomía está contenida en .Todas las estructuras geométricas se obtienen a partir de esto usando el principio de holonomía. $\mathrm {U} (n)\subconjunto \mathrm {SO} (2n)$ $\mathbb {R} ^{2n}\otimes (\mathbb {R} ^{2n})^{*}$ ${\ sqrt {-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\simeq \mathbb {R} ^{2n))$ $\mathbb{R} ^{{2n}}$ $2n$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {U} (n)}$ $yo$ $I^{2}=-\mathrm {Id}_{TX}$ $\mathbb{C} ^{n}$ $\Lambda ^{2}(\mathbb {R} ^{2n})^{*}$ $\mathrm {U} (n)\subconjunto \mathrm {SO} (2n)$ $norte$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {U} (n)}$ $\omega$ $gramo$ $yo$ $\omega(x,y)=g(x,Iy)$ $d\omega =0$ $2n$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {U} (n)}$

El principio de holonomía tiene otra aplicación importante. Es decir, supongamos que la representación de la holonomía riemanniana es reducible . Entonces uno puede expandir la división correspondiente del espacio tangente a todos los demás puntos. Obtenemos dos subhaces que son mutuamente perpendiculares entre sí. Además, dado que estos subhaces se conservan mediante una conexión sin torsión, admiten láminas integrales, es decir, localmente la variedad se descompone en un producto directo ortogonal. Dos foliaciones densas mutuamente perpendiculares en todas partes en el toro dejan claro que, en general, no existe tal descomposición globalmente; sin embargo, lo siguiente $T_{x}=T'_{x}\oplus T''_{x}$ $T',T''\subconjunto T$

Teorema ( J. de Ram ). En una variedad simplemente conexa con una representación de holonomía riemanniana reducible, las foliaciones paralelas definen una descomposición en un producto cartesiano ortogonal.

tabla de Berge

En virtud del teorema de descomposición de De Rham, cualquier métrica en una variedad compacta simplemente conexa se combina a partir de métricas con una representación irreducible de la holonomía de Riemann, por lo que son de interés para los geómetras.

Las métricas invariantes en espacios homogéneos hacen posible organizar muchos grupos de holonomía diferentes. La descripción de tales métricas es un problema no trivial en la teoría de las álgebras de Lie. Sin embargo, si estamos interesados en cuestiones de geometría que no son reducibles al álgebra, es importante para nosotros que para una métrica que no es homogénea, tenemos $G/H$

Alternativa Simons . Un grupo de Lie con su representación ortogonal puede surgir como un grupo de holonomía riemanniana y una representación de holonomía riemanniana para una métrica que no es localmente simétrica , siempre que ese grupo actúe transitivamente sobre vectores de longitud unitaria.

Así, el grupo de holonomía riemanniana de una métrica asimétrica actúa transitivamente sobre la esfera. Dichos grupos están completamente clasificados. No todos ellos se pueden realizar como un grupo de holonomía de una métrica no simétrica: por ejemplo, una métrica con holonomía , como lo muestra D.V. Alekseevskii , debe tener un tensor de curvatura covariantemente constante, y una métrica con esta propiedad es localmente simétrica por el teorema de Cartan-Ambrose-Hicks . El grupo no puede surgir en absoluto como un grupo de holonomía. Los grupos restantes se resumen en una tabla descrita por primera vez por M. Berger : $\mathrm {Girar} (9)\subconjunto \mathrm {SO} (16)$ $T\cdot \mathrm {Sp} (n)\subconjunto \mathrm {SO} (4n)$

$\mathrm {Hol}$	$\oscuro$	geometría	notas
${\ matemáticas {SO}} (n)$	$norte$	variedad general de Riemann
${\ estilo de visualización \ mathrm {U} (n)}$	$2n$	Colector Kähler	Riemanniano, simpléctico, complejo
${\ matemáticas {SU}} (n)$	$2n$	Colector de Calabi-Yau	ricci-flat , kähler
$\mathrm {Esp} (1)\mathrm {Esp} (n)$	${\ estilo de visualización 4n}$	variedad cuaternion-kähleriana	Einsteiniano , pero no Kähleriano
$\mathrm {Esp} (n)$	${\ estilo de visualización 4n}$	colector de hiperkähler	Ricci-flat, Kählerian (para tres estructuras complejas diferentes)
${\ estilo de visualización \ mathrm {G} _ {2}}$	7	${\ estilo de visualización \ mathrm {G} _ {2}}$ -colector	ricci-flat
$\mathrm {Girar} (7)$	ocho	Spin(7)-manifold	ricci-flat

La información listada en la última columna también se deriva del principio de holonomía y la desaparición de los invariantes de algunas potencias tensoriales de las representaciones de holonomía correspondientes. No es posible excluir las variedades de cuaterniones-Kähler de esta tabla con el mismo espíritu con el que Alekseevsky excluyó las variedades (que estaban en la primera versión de la tabla de Berger); sin embargo, hipotéticamente, todos ellos son localmente simétricos. Para todos los demás casos, hay ejemplos de métricas no simétricas localmente. $\mathrm {Girar} (9)$

Relación entre la holonomía de conexiones y sistemas con conexiones no holonómicas

En geometría, la palabra "holonomía" fue utilizada por primera vez por Eli Cartan en 1926 cuando clasificó espacios simétricos. Sin embargo, la palabra en sí es mucho más antigua, y en su significado original ha sobrevivido hasta nuestros días en el término " mecánica no holonómica ". Poinsot lo introdujo para describir sistemas mecánicos en los que las ecuaciones para las derivadas de las cantidades pueden reducirse a ecuaciones para las cantidades mismas o, reduciendo la mecánica a la geometría, distribuciones de planos tangentes en el espacio de fase, para los cuales las superficies niveladas de las funciones pueden ser encontrado que tienen la misma dimensión. Ahora tales distribuciones se denominan integrables (tanto las raíces enteras como ὅλος significan "totalidad"). En consecuencia, los sistemas no holonómicos son aquellos en los que, moviéndose a lo largo de campos vectoriales admisibles, uno puede eventualmente moverse en una dirección que no satisface la ecuación para cambios instantáneos en cantidades. Las conexiones que tienen una curvatura distinta de cero (y, por lo tanto, holonomía) determinan tal distribución en el espacio total de los paquetes en los que se dan: un camino cerrado en la variedad se eleva a un camino horizontal en el espacio total que comienza en el punto y terminando en el punto . Este es precisamente el cambio en la dirección transversal cuando el grupo de holonomía no es trivial; si es trivial (es decir, el sistema es holonómico), entonces determina el ascenso de todos los caminos posibles sobre la subvariedad integral en el espacio total para cada valor inicial; estas subvariedades (más precisamente, las funciones cuyas superficies de nivel son) corresponden en mecánica a las leyes de conservación de los sistemas holonómicos. $\gama$ $v\en E_{x}$ ${\displaystyle p_{\gamma}(v)\in E_{x))$

Curiosamente, así como históricamente el término "monodromía" se refería a una situación en la que desaparecía lo que ahora llamamos el grupo monodrómico (y sería etimológicamente más correcto usar la palabra alodromía ), el término "holonomía" significaba originalmente una situación en la que la holonomía es trivial. Esto, sin embargo, es una injusticia general en matemáticas: por ejemplo, la característica de Euler para Euler siempre fue igual a dos y no caracterizó nada; como invariante topológica, debería llamarse con razón la característica de Lhuillier .

Enlaces

Paquetes de vectores, conferencia 8: grupo de holonomía , Misha Verbitsky , 18 de noviembre de 2013
Golwala, S. (2007), Lecture Notes on Classical Mechanics for Physics 106ab , < http://www.astro.caltech.edu/~golwala/ph106ab/ph106ab_notes.pdf >