Función zeta de Hasse-Weil

La función zeta de Hasse-Weyl es análoga a la función zeta de Riemann , que se construye de una manera más compleja a partir del número de puntos de la variedad en un campo finito. Esta es una función analítica compleja, para curvas elípticas su comportamiento cerca del punto 1 está estrechamente relacionado con el grupo de puntos racionales de esta curva elíptica.

La función zeta de Hasse-Weyl como una función L global

La función zeta de Hasse-Weyl, adjunta a una variedad algebraica definida sobre un campo numérico algebraico , es uno de los dos tipos más importantes de funciones L. Estas funciones L se denominan globales , ya que se definen como el producto de Euler de las funciones zeta locales . Forman una de las dos clases principales de funciones L globales , y la otra son las funciones L asociadas con representaciones automórficas . Se supone hipotéticamente que solo hay un tipo esencial de función L global con dos descripciones (una de ellas proviene de una variedad algebraica, la otra de una representación automórfica); esta sería una amplia generalización de la conjetura de Taniyama-Shimura , el resultado más profundo y reciente (a partir de 2009) en teoría de números . $V$ $k$

La descripción de la función zeta de Hasse-Weil hasta un número finito de factores de su producto de Euler es relativamente sencilla. Esto partió de las consideraciones iniciales de Hasse y Weyl , motivadas por el caso donde es el único punto y la función zeta de Riemann. $V$

Tomando el caso de que u es una variedad proyectiva no singular , podemos considerar la reducción de módulo para casi todos los números primos , es decir, una variedad algebraica sobre un cuerpo finito . Para casi todo el mundo será no especial. Definimos la serie de Dirichlet como una variable compleja que es el producto infinito de todos los números primos de las funciones zeta locales . Entonces , según nuestra definición, está bien definida sólo hasta la multiplicación por una función racional de to en un número finito de argumentos de la forma . $K=\mathbb {Q}$ $V$ $pags$ $V$ $pags$ $V_{p}$ $\mathbb {F} _{p}$ $pags$ $V_{p}$ $Z_{V/\mathbb {Q} }(s)$ $s$ ${\ estilo de visualización \ zeta _ {V, p} (p ^ {-s})}$ ${\ estilo de visualización Z (s)}$ ${\displaystyle pag^{-s))$

Dado que esta indeterminación es relativamente inofensiva y tiene una extensión meromórfica en todas partes, hay un sentido en el que las propiedades son esencialmente independientes de ella. En particular, aunque la forma exacta de la ecuación funcional para , definitivamente dependerá de los factores faltantes , la existencia de tal ecuación funcional no dependerá de estos factores. ${\ estilo de visualización Z (s)}$ ${\ estilo de visualización Z (s)}$

Una definición más clara de la función zeta de Hasse-Weil fue posible gracias al desarrollo de la cohomología étale ; explican claramente qué hacer con los factores que faltan con una reducción deficiente. De acuerdo con los principios generales vistos en la teoría de la ramificación , los números primos con reducción deficiente llevan buena información ( teoría del conductor ). Esto se manifiesta en la teoría de los étales en el criterio de Ogg-Neron-Shafarevich para una buena reducción , a saber, que en cierto sentido hay una buena reducción en todos los números primos para los que la representación de Galois en la cohomología étale del grupo no está ramificada . Para ellos, la definición de la función zeta local puede restaurarse en términos del polinomio característico donde es el endomorfismo de Frobenius para . Lo que sucede cuando se ramifica es algo que no es trivial en el grupo de inercia . Para tales primos, la definición debe corregirse tomando el mayor cociente de la representación sobre la que actúa el grupo de inercia por la representación trivial . Con este refinamiento, la definición se puede actualizar con éxito de casi todos a todos los involucrados en el producto de Euler. Serre y Deligne desarrollaron las consecuencias de la ecuación funcional a fines de la década de 1960; la ecuación funcional en sí no ha sido probada en absoluto. $pags$ $\rho$ $V$ ${\ estilo de visualización \ rho (\ nombre del operador {Frob} (p)),}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Frob} (p)}$ $pags$ $pags$ $\rho$ $yo (pag)$ $\rho$ ${\ estilo de visualización Z (s)}$ $pags$ $pags$

Ejemplo: curva elíptica sobre el campo de los números racionales

Sea una curva elíptica sobre c conductor y sea un número primo arbitrario. Entonces tiene una buena reducción para todo , no divide , tiene reducción multiplicativa si divide pero no divide , y tiene reducción aditiva en los demás casos (es decir, si divide ). Entonces la función zeta de Hasse-Weil de toma la forma $mi$ $\matemáticas {Q}$ $norte$ $pags$ $mi$ $pags$ $norte$ $pags$ $norte$ $p^{2}$ $norte$ $p^{2}$ $norte$ $mi$

Z_{E/\mathbb {Q} }(s)={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{L(s,E))).\,

Aquí está la función zeta de Riemann habitual, y se llama L - la función , que tiene la forma $\zeta (s)$ ${\ estilo de visualización L (s, E)}$ $E/\mathbb {Q}$

L(s,E)=\prod \limits _{p}L_{p}(s,E)^{-1}\,

donde para dado , $pags$

L_{p}(s,E)={\begin{casos}(1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}),&{\text{si )) p\nmid N\\(1-a_{p}p^{-s}),&{\text{ if }}p\mid N{\text{ and }}p^{2}\nmid N\\ 1,&{\text{si}}p^{2}\mid N\end{casos}}

donde, en el caso de una buena reducción , y en el caso de una reducción multiplicativa , dependiendo de si o está separado por una reducción multiplicativa no dividida en . $a_{p}=p+1-{\text{número de puntos en }}E{\bmod {p}}$ $a_{p}=\pm 1$ $mi$ $pags$

Hipótesis de Hasse-Weyl

La conjetura de Hasse-Weil establece que la función zeta de Hasse-Weil debe extenderse analíticamente a una función meromórfica en todo el plano complejo y debe satisfacer una ecuación funcional similar a la ecuación funcional de la función zeta de Riemann. Para curvas elípticas sobre números racionales, la conjetura de Hasse-Weil se deriva del teorema de modularidad .

Véase también

Función zeta aritmética

Literatura

Koblitz N. Introducción a las Curvas Elípticas y Formas Modulares. - Novokuznetsk: IO NFMI, 2000. - S. 99. - 312 p. - ISBN 5-8032-3325-0 .
[Se sentó. obras editadas por J. Berstein y St. Gelbart Introducción al Programa Langlands] = Introducción al Programa Langlands. - Moscú, Izhevsk: Centro de Investigación "Dinámica Regular y Caótica", 2008. - P. 118. - 368 p. — ISBN 978-5-93972-697-9 .

Funciones L en teoría de números
Ejemplos analíticos	Función zeta de Riemann L -Funciones de Dirichlet L -funciones de los caracteres Hecke Funciones L automórficas Clase Selberg
Ejemplos algebraicos	Funciones zeta de Dedekind Artin L -funciones Funciones L de Hasse-Weyl Motivo L -funciones
teoremas	Fórmula analítica para el número de clases Fórmula de Riemann-von Mangoldt Las hipótesis de Weil
Hipótesis analíticas	hipótesis de Riemann Hipótesis de Riemann generalizadas Hipótesis de Lindelöf hipótesis de Ramanujan la hipótesis de Artin
conjeturas algebraicas	Hipótesis de Birch-Swinnerton-Dyer La conjetura de Deligne Las hipótesis de Beilinson Conjetura de Bloch-Kato Hipótesis de Langlands
p - funciones L ádicas	La principal hipótesis de la teoría de Iwasawa Grupo Selmer sistema de Euler