Integral dependiente de parámetros

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Una integral dependiente de un parámetro es una expresión matemática que contiene una integral definida y depende de una o más variables (“parámetros”).

Autointegral dependiente de parámetros

Sea un dominio dado en un espacio euclidiano bidimensional sobre el que se define una función de dos variables. $\overline{G}=\left\{\left (x,y\right )|a \leq x \leq b, c \leq y \leq d \right\}$ $f(x,y)$

Dejar más, . $\forall y\in \left[c;d\right]\, \exists I\left(y\right)=\int\limits_a^bf\left(x,y\right )\, dx$

La función y se llama integral dependiendo del parámetro. ${\ estilo de visualización yo (y)}$

Propiedades de una integral en función de un parámetro

Continuidad

Sea la función continua en el dominio como función de dos variables. Entonces la función es continua en el segmento . $f(x,y)$ $\overline{G}$ $I\left(y\right)=\int\limits_a^bf\left(x,y\right )\, dx$ ${\ estilo de visualización [c; d]}$

Prueba

Considere el incremento de la integral dependiendo del parámetro. $\Delta I\izquierda(y\derecha) = I\izquierda(y+\Delta y\derecha)-I\izquierda(y\derecha)=\int\limits_a^bf\izquierda(x,y+\Delta y\derecha) \,dx-\int\limits_a^bf\left(x,y\right)\,dx=$

$=\int\limits_a^b \left(f\left(x,y+\Delta y\right)-f\left(x,y\right)\right)\,dx$ .

Por el teorema de Cantor , una función continua en un conjunto compacto es uniformemente continua en él, es decir $\forall \epsilon >0 \, \exists \delta = \delta\left(\epsilon\right )>0\, \forall M_1(x_1,y_1),M_2(x_2,y_2)\in \overline{G}:$

$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}<\delta \, \left|f(M_1)-f(M_2)\right|<\epsilon$ .

Por tanto, para , que significa la continuidad de la función $\Delta I(y) < \epsilon(ba)$ $\Delta y < \delta$

Diferenciación bajo el signo integral

Sea ahora no sólo la función continua en el dominio , sino también su derivada parcial . $\overline{G}$ $f(x,y)$ $\frac {\f parcial} {\y parcial} \left (x,y\right )$

Entonces , o, lo que es lo mismo, $\frac {d} {dy} I(y) = \int\limits_a^b \frac {\f parcial} {\y parcial} \left(x,y\right) \, dx$ $\frac {d} {dy} \int\limits_a^bf(x,y)\,dx = \int\limits_a^b \frac {\parcial f} {\parcial y} \left(x,y\right) \, dx$

Prueba

$\frac {\Delta I(y)} {\Delta y} = \frac {1} {\Delta y} \int\limits_a^b (f(x,y+\Delta y) - f(x,y)) dx = \int\limits_a^b \frac {\parcial f} {\parcial y} (x,\eta ) dx = \int\limits_a^b \frac {\parcial f} {\parcial y} (x,y+ \Theta \Delta y)dx$ $( \eta \in [y;y+\Delta y], \Theta \in [0;1])$ Estas transformaciones se realizaron utilizando el teorema de la media de Lagrange . Considere ahora la expresión . $\frac {\Delta I(y)} {\Delta y} - \int\limits_a^b \frac {\parcial f} {\parcial y} \left(x,y\right) \, dx = \int\ límites_a^b \left(\frac {\f parcial} {\y parcial} \left(x,y+\Theta \Delta y \right) - \frac {\f parcial} {\y parcial} \left(x, y\derecha) \derecha) \, dx$

Usando nuevamente el teorema de Cantor , pero para la función obtenemos eso para , lo que prueba este teorema $\frac {\f parcial} {\y parcial}$ $\frac {\Delta I(y)} {\Delta y} - \int\limits_a^b \frac {\parcial f} {\parcial y} \left(x,y\right) \, dx = o(1 )$ $\Delta(y) \a 0$

Integración bajo el signo integral

Si la función es continua en el dominio , entonces $f(x,y)$ $\overline{G}$

$\int\limits_c^d I(y)\,dy = \int\limits_a^b \left (\int\limits_c^df(x,y)\, dy \right )\, dx$ , o, lo que es lo mismo:

$\int\limits_c^d \left (\int\limits_a^bf(x,y) \, dx \right )\, dy = \int\limits_a^b \left(\int\limits_c^df(x,y) \, dy\right )\,dx$

Prueba

Considere dos funciones:

$F(x)=\int\limits_a^x \left(\int\limits_c^df(x,y)\, dy\right )\,dx$

$G(x)=\int\limits_c^d \left (\int\limits_a^xf(x,y) \, dx \right )\, dy$

$\frac {dF} {dx} = \int\limits_c^df(x,y)\, dy$

$\frac {dG} {dx} = \int\limits_c^d \left(\frac{d}{dx}\int\limits_a^xf(x,y) \, dx \right) \, dy = \int\ limites_c^df(x,y)\,dy$

$\frac {dF} {dx} \equiv \frac {dG} {dx}$ en , por lo tanto . $[a;b]$ $F(x) \equiv G(x)+C$

Dado que , entonces Na . Sustituyendo obtenemos la condición del teorema. $F(a)=0, \; G(a)=\int\limits_c^d 0 \; dy=0$ $C=0$ $F(x) \equiv G(x)$ $[a;b]$ $x=b$

Cálculo integral

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