Una integral dependiente de un parámetro es una expresión matemática que contiene una integral definida y depende de una o más variables (“parámetros”).
Sea un dominio dado en un espacio euclidiano bidimensional sobre el que se define una función de dos variables.
Dejar más, .
La función y se llama integral dependiendo del parámetro.
Sea la función continua en el dominio como función de dos variables. Entonces la función es continua en el segmento .
PruebaConsidere el incremento de la integral dependiendo del parámetro.
.
Por el teorema de Cantor , una función continua en un conjunto compacto es uniformemente continua en él, es decir
.
Por tanto, para , que significa la continuidad de la función
Diferenciación bajo el signo integralSea ahora no sólo la función continua en el dominio , sino también su derivada parcial .
Entonces , o, lo que es lo mismo,
PruebaEstas transformaciones se realizaron utilizando el teorema de la media de Lagrange . Considere ahora la expresión .
Usando nuevamente el teorema de Cantor , pero para la función obtenemos eso para , lo que prueba este teorema
Integración bajo el signo integralSi la función es continua en el dominio , entonces
, o, lo que es lo mismo:
Prueba
Considere dos funciones:
en , por lo tanto .
Dado que , entonces Na . Sustituyendo obtenemos la condición del teorema.
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