Establecer categoría

Una categoría de conjuntos  es una categoría cuyos objetos son conjuntos y los morfismos entre los conjuntos A y B  son funciones de A a B. Denotado por Set . En la axiomática de Zermelo-Fraenkel no existe “el conjunto de todos los conjuntos”, y no es muy conveniente trabajar con el concepto de clase ; Se han propuesto varias soluciones diferentes para este problema. [1] [2] [3]

Propiedades de la categoría de conjuntos

• Todos los epimorfismos en Set son sobreyectivos , todos los monomorfismos  son inyectivos y todos los isomorfismos  son biyectivos .
• El conjunto vacío  es el objeto inicial de la categoría de conjuntos, cualquier singleton  es el objeto terminal .
• La categoría Set  es una categoría completa y cocompleta . Por ejemplo, contiene productos ( productos cartesianos de conjuntos ) y coproductos ( uniones disjuntas de conjuntos ).
• Conjunto  es el prototipo del concepto de una categoría específica , una categoría es específica si es "similar a" Conjunto de alguna manera estrictamente definida.
• Cualquier subconjunto de dos elementos especifica un clasificador de subobjetos en Set , el objeto de potencia del conjunto A es su booleano y la exponencial de los conjuntos A y B  es el conjunto de funciones de A a B . Por tanto , Set es un topos , en particular, una categoría cerrada cartesiana .
• El conjunto no es abeliano , aditivo o preaditivo . Sus morfismos cero  son las funciones vacías ∅ → X [4] .
• Cada objeto Set no inicial es inyectivo y (asumiendo que el axioma de elección es verdadero ) proyectivo .

Notas

1. ↑ Mac Lane, 1969 .
2. ↑ Fefermann, 1969 .
3. ↑ Blas, 1984 .
4. ↑ Pareigis, 1970 , Sección I.7.

Literatura

• McLane S. Capítulo 1. Categorías, funtores y transformaciones naturales // Categorías para el matemático en activo / Per. De inglés. edición V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - S. 17-42. — 352 págs. — ISBN 5-9221-0400-4 .

• Blass, A. La interacción entre la teoría de categorías y la teoría de conjuntos  // Matemáticas contemporáneas. - 1984. - Nº 30 .
• Feferman, S. Fundamentos teóricos de conjuntos de la teoría de categorías . - Springer, 1969. - vol. 106. - Pág. 201-247. — (Apuntes de clase en Matemáticas).
• Lawvere, FW Una teoría elemental de la categoría de conjuntos (versión larga) con comentario  // Reimpresiones en Teoría y aplicaciones de categorías. - 2005. - Nº 11 . - S. 1-35 .
• Mac Lane, S. Fundamentos para categorías y conjuntos . - Springer, 1969. - vol. 92. - Pág. 146-164. — (Apuntes de clase en Matemáticas).
• Mac Lane, S. Un universo como base para la teoría de categorías . - Springer, 1969. - vol. 106. - Pág. 192-200. — (Apuntes de clase en Matemáticas).
• Pareigis, Bodo. Categorías y funtores . - Academic Press, 1970. - (Matemáticas puras y aplicadas). — ISBN 978-0-12-545150-5 .