Criterio de convergencia para series de signo positivo

El criterio de convergencia de series positivas es el principal signo de convergencia de series numéricas positivas . Afirma que una serie positiva converge si y solo si la sucesión de sus sumas parciales está acotada superiormente. $\sum _{{k=1}}^{\infty}a_{k}$ $S(n)=\sum_{{k=1}}^{n}a_{k}$

Prueba

Por un lado, como la serie converge, la sucesión de sumas parciales tiene un límite. Por lo tanto, es limitado. Por lo tanto, está limitado tanto desde abajo como desde arriba.

A la inversa, démosle una serie positiva y una sucesión de sumas parciales acotada superiormente. Tenga en cuenta que la secuencia de sumas parciales no es decreciente:

S_{n+1}-S_{n}=a_{n+1}\geqslant 0

Ahora usamos la propiedad del teorema de la secuencia monótona . Obtenemos que la sucesión de sumas parciales converge (no decrece monótonamente y está acotada superiormente), y por tanto la serie converge por definición.

Literatura

Yu. S. Bogdanov — Conferencias sobre análisis matemático — Parte 2 — Minsk — Editorial BSU. VI Lenin - 1978.

Signos de convergencia de series.
Para todas las filas	Condición necesaria criterio de Cauchy	$\sum _{n=1}^{\infty}a_{n}$
Para series de signo positivo	Criterio principal Signo de comparación signo de kummer signo de Gauss signo radical de Cauchy característica integral Signo de D'Alembert signo de poder signo logarítmico Signo de Raabe Signo de Bertrand Signo de Jamet Signo de Schlömilch Signo de Ermakov Signo de Lobachevsky señal telescópica Signo de Sapogov
Para series alternas	signo de leibniz
Para filas de la forma $\sum _{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n}$	signo de abel Signo de Dedekind Signo de Dubois-Reymond signo de dirichlet
Para series funcionales	Signo de Weierstrass
Para la serie de Fourier	signo dini Signo de de la Vallée Poussin Signo de Jordania signo de jung signo de salem signo de lebesgue Signo de Lebesgue-Gergen Signo de Martsinkevich