Lema de Schreier

El lema de Schreier es un teorema de la teoría de grupos utilizado en el algoritmo de Schreier-Sims . El teorema fue probado por Otto Schreyer en 1927 [1] .

Del teorema se deduce que cualquier subgrupo de un grupo finitamente generado con un índice finito también es finitamente generado [2] .

Redacción

Sea algún subgrupo de un grupo finitamente generado con conjunto generador , es decir, . $H$ $GRAMO$ $S$ $G=\langle S\rangle$

Sea una transversal de clases laterales izquierdas . Denotar por el representante de la clase lateral que contiene . ${\ estilo de visualización R = G/H}$ ${\ estilo de visualización hH}$ $\overline{x}$ ${\ estilo de visualización x \ en G}$

En tal notación, el subgrupo es generado por el conjunto . $H$ ${\textstyle \{({\overline {sg)))^{-1}sg:g\en R,s\en S\}}$

Prueba

Formulación de órbitas

En el algoritmo de Schreier-Sims, el teorema se aplica al caso específico cuando actúa sobre un conjunto y es el estabilizador de algún elemento . $GRAMO$ $\Omega$ ${\displaystyle H=G_{\omega ))$ $\omega \en \Omega$

Existe una correspondencia biunívoca entre los elementos de la órbita y la transversal . Es decir, todos los elementos de una clase adyacente se transfieren al mismo elemento de la órbita. $G\omega$ ${\displaystyle G/G_{\omega ))$ $\omega$

Por lo tanto, denotamos por el elemento que se traduce en , es decir, . En tal notación, el lema se puede escribir de la siguiente manera: . $\overline {\alfa}$ ${\displaystyle G/G_{\omega ))$ $\omega$ $\alfa$ ${\overline {\alfa}}\omega =\alfa$ ${\textstyle G_{\omega }=\langle \{({\overline {s\alpha }})^{-1}s{\overline {\alpha }}|\alpha \in G_{\omega },s \in S\}\rangle}$

Véase también

Algoritmo de Schreier-Sims

Notas

↑ Otto Schreier. Die Untergruppen der freien Gruppen // Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. — 1927-12. - T. 5 , núm. 1 . — S. 161–183 . — ISSN 1865-8784 0025-5858, 1865-8784 . -doi : 10.1007/ bf02952517 .
↑ Hall, Marshall 1910-1990 Verfasser. La teoría de los grupos . — ISBN 9780486816906 , 0486816907.

teoría de grupos
Conceptos básicos	Subgrupo subgrupo normal Grupo de factores Trabajar directo semidirecto libre
Propiedades algebraicas	grupo conmutativo grupo cíclico grupo ordenado Transformar grupo Grupo solucionable Lema de Schreier teorema de lagrange teoremas de Sylow Clasificación de grupos finitos simples
grupos finitos	Grupo cíclico finito C n Grupo simétrico S n Grupo diedro D n Grupo alternado A n Grupo Cuádruple Klein grupos de Mathieu M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Grupos Conway Co 1 Co2_ _ Co3 _ grupos janko J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Grupos de pescadores F22 _ F 23 F24 _ Monstruo (M)
Grupos topológicos	grupos de mentiras Grupo ortogonal O(n) Grupo ortogonal especial SO(n) Grupo unitario U(n) Grupo unitario especial SU(n) Grupo simpléctico Sp(n) Simple excepcional grupo lorentz grupo de poincaré
Algoritmos en grupos	Schreier - Los Sims Todd - Coxeter Transformada de Fourier