Método trapezoidal

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El método trapezoidal es un método de integración numérica de una función de una variable, que consiste en sustituir el integrando de cada segmento elemental por un polinomio de primer grado, es decir, una función lineal. El área bajo la gráfica de la función se aproxima mediante trapecios rectangulares . El orden algebraico de precisión es 1.

Si el segmento es elemental y no se divide más, el valor de la integral se puede encontrar mediante la fórmula ${\ estilo de visualización \ izquierda [a, b \ derecha]}$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx={\frac {f(a)+f(b)}{2}}(ba)+E(f),\qquad E(f )=-{\frac {f''(\xi )}{12}}\left(ba\right)^{3}.

Esta es una aplicación simple de la fórmula para el área de un trapezoide: el producto de la mitad de la suma de las bases, que en este caso son los valores de la función en los puntos extremos del segmento, por la altura. (la longitud del segmento de integración). El error de aproximación para un segmento elemental se puede estimar a través del máximo de la segunda derivada

\left|E(f)\right|\leqslant {\frac {\left(ba\right)^{3}}{12}}\max _{x\in [a,b]}\left |f''(x)\derecha|

(para casos de división de un segmento en n partes, consulte las fórmulas compuestas a continuación).

Fórmula compuesta

Si el segmento se divide por nodos de integración , , de modo que y , y la fórmula trapezoidal se aplica a cada uno de los segmentos elementales , entonces la suma dará la fórmula trapezoidal compuesta ${\ estilo de visualización \ izquierda [a, b \ derecha]}$ $x_{yo}$ $i=0,1,\ldots,n$ ${\ estilo de visualización x_ {0} = un}$ ${\ estilo de visualización x_ {n} = b}$ ${\ estilo de visualización [x_{i},x_{i+1}]}$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{{i=0}}^{{n-1}}{\frac {f(x_{i})+f (x_{{i+1}})}{2}}(x_{{i+1}}-x_{{i}})=

={\frac {f(a)}{2}}(x_{1}-a)+{\frac {1}{2}}\sum_{i=1}^{n-1} {f(x_{i})}(x_{i+1}-x_{i-1})+{\frac {f(b)}{2}}(b-x_{n-1}).

Cotes fórmula

En el caso de una malla uniforme , donde es el paso de la malla, la fórmula trapezoidal compuesta se simplifica: ${\ estilo de visualización x_ {j} = a + jh}$ $h=(ba)/n$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=h\left({\frac {f_{0}+f_{n}}{2}}+\sum_{{i=1} }^{{n-1}}f_{i}\right)+E_{n}(f),

y para el error la siguiente estimación es verdadera:

E_{n}(f)=-{\frac {f''(\xi )}{12}}(ba)h^{2}.

Propiedades

El método trapezoidal converge rápidamente para funciones oscilantes porque el error del período se cancela.
El método se puede obtener calculando la media aritmética entre los resultados de aplicar las fórmulas del rectángulo derecho e izquierdo .

Véase también

Literatura

Demidovich B.P. , Marón I.A. Fundamentos de Matemática Computacional. - 2.- Phys-Mat. Lit., 1963. - S. 659.

Cálculo integral

Principal

Generalizaciones
de la integral de Riemann

Transformaciones integrales

Integración numérica

teoría de la medida

Temas relacionados

Listas de integrales