Polinomios de Chebyshev

Polinomios de Chebyshev de primera clase
información general
Fórmula	$T_{n}(x)=\sum_{{k=0}}^{{\lpiso n/2\rpiso}}{\binom {n}{2k}}(x^{2}-1)^ {k}x^{{n-2k}}$
producto escalar	$(f,g)=\int _{{-1}}^{{1}}{{\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2}}}}}f(x)g( x)dx}$
Dominio	$[-1,1]$
características adicionales
Lleva el nombre de	Chebyshev, Pafnuty Lvovich

Polinomios de Chebyshev de segunda clase
información general
Fórmula	$U_{n}(x)=\sum_{{k=0}}^{{\lpiso n/2\rpiso}}{\binom {n+1}{2k+1}}(x^{2} -1)^{k}x^{{n-2k}}$
producto escalar	$(f,g)=\int _{{-1}}^{{1}}{{\sqrt {1-x^{2}}}f(x)g(x)dx}$
Dominio	$[-1,1]$
características adicionales
Lleva el nombre de	Chebyshev, Pafnuty Lvovich

Polinomios de Chebyshev : dos secuencias de polinomios ortogonales y nombradas en honor a Pafnuty Lvovich Chebyshev : $T_{n}(x)$ $U_{n}(x),n=\{0,1,\puntos \},$

El polinomio de Chebyshev del primer tipo se caracteriza como un polinomio de grado con el coeficiente más alto , que se desvía menos de cero en el intervalo . Considerado por primera vez por el propio Chebyshev. $T_{n}(x)$ $norte$ $2^{{n-1}}$ $[-1,1]$

El polinomio de Chebyshev de segunda clase se caracteriza por ser un polinomio de grado con el coeficiente más alto , cuya integral de valor absoluto sobre el segmento toma el valor más pequeño posible. Por primera vez considerado en el trabajo conjunto de dos estudiantes de Chebyshev - Korkin y Zolotarev . $U_{n}(x)$ $norte$ $2^{n}$ $[-1,1]$

Los polinomios de Chebyshev juegan un papel importante en la teoría de la aproximación , ya que las raíces de los polinomios de Chebyshev del primer tipo se utilizan como nodos en la interpolación de polinomios algebraicos .

Definiciones

Fórmulas recurrentes

Los polinomios de Chebyshev del primer tipo se pueden definir utilizando la relación recursiva : $T_{n}(x)$

{\ estilo de visualización T_ {0} (x) = 1}

T_{1}(x)=x

T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x).

Los polinomios de Chebyshev del segundo tipo se pueden definir utilizando la relación recursiva: $U_{n}(x)$

{\ estilo de visualización U_ {0} (x) = 1}

U_{1}(x)=2x

U_{n+1}(x)=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x).

Fórmulas explícitas

Los polinomios de Chebyshev son soluciones a la ecuación de Pell :

T_{n}(x)^{2}-(x^{2}-1)U_{n-1}(x)^{2}=1

en el anillo de polinomios con coeficientes reales y satisfacen la identidad:

T_{n}(x)+U_{{n-1}}(x){\raíz cuadrada {x^{2}-1}}=(x+{\raíz cuadrada {x^{2}-1}})^ {norte}.

La última identidad también implica fórmulas explícitas:

T_{n}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1)))^{n}+(x-{\sqrt {x^{2}-1))) ^{n}}{2}}=\sum_{{k=0}}^{{\lpiso n/2\rpiso}}{\binom {n}{2k}}(x^{2}-1 )^{k}x^{{n-2k}};

U_{n}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{{n+1}}-(x-{\sqrt {x^{2}- 1)))^{{n+1}}}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}}=\sum_{{k=0}}^{{\lpiso n/2\ rpiso }}{\binom {n+1}{2k+1}}(x^{2}-1)^{k}x^{{n-2k}}.

Proporciones

$U_{n+m}(x)=U_{n}(x)U_{m}(x)-U_{n-1}(x)U_{m-1}(x)$

$m=n+1,\quad U_{2n+1}(x)=2U_{n}(x)[xU_{n}(x)-U_{n-1}(x)]$

$m=n,\quad U_{2n}(x)=[U_{n}(x)+U_{n-1}(x)]\centerdot [U_{n}(x)-U_{n -1}(x)].$

$U_{n+1}(x)\cdot U_{n-1}(x)=[U_{n}(x)+1]\cdot [U_{n}(x)-1].$

$T_{n+1}(x)=xU_{n}(x)-U_{n-1}(x).$

$T_{n\cdot m}(x)=T_{n}(T_{m}(x))=T_{m}(T_{n}(x))$

aquellos. Los polinomios de Chebyshev del primer tipo, con la regla de la multiplicación , forman un semigrupo isomorfo al semigrupo multiplicativo de los enteros no negativos. $T_{n\cdot m}(x)=T_{n}(x)\times T_{m}(x){\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}} T_{n}(T_{m}(x))=T_{m}(T_{n}(x))$

Definición trigonométrica

Los polinomios de Chebyshev del primer tipo también se pueden definir usando la igualdad $T_{n}(x)$

T_{n}(\cos \theta)=\cos(n\theta)

o, casi equivalentemente,

T_{n}(z)=\cos {\big (}n\arccos(z){\big )}.

Los polinomios de Chebyshev del segundo tipo también se pueden definir usando la igualdad $U_{n}(x)$

U_{n}(\cos \theta )={\frac {\sin {\big (}(n+1)\theta {\big ))){\sin \theta )).

Ejemplos

Varios primeros polinomios de Chebyshev del primer tipo

T_{0}(x)=1\;

T_{1}(x)=x\;

T_{2}(x)=2x^{2}-1\;

T_{3}(x)=4x^{3}-3x\;

T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1\;

T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x\;

T_{6}(x)=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\;

T_{7}(x)=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\;

T_{8}(x)=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\;

Varios primeros polinomios de Chebyshev del segundo tipo

U_{0}(x)=1\;

U_{1}(x)=2x\;

U_{2}(x)=4x^{2}-1\;

U_{3}(x)=8x^{3}-4x\;

U_{4}(x)=16x^{4}-12x^{2}+1\;

U_{5}(x)=32x^{5}-32x^{3}+6x\;

U_{6}(x)=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1\;

U_{7}(x)=128x^{7}-192x^{5}+80x^{3}-8x\;

Propiedades

Los polinomios de Chebyshev tienen las siguientes propiedades:

Los polinomios de grados pares son funciones pares, impares - funciones impares.
La suma de los coeficientes de los polinomios de Chebyshev del primer tipo es 1, y los coeficientes de los polinomios del segundo tipo es . $T_{k}(x)$ $U_{k}(x)$ $k+1$
Ortogonalidad con respecto al producto interior correspondiente (con peso para polinomios de primera especie y para polinomios de segunda especie). ${\ estilo de visualización 1/{\ sqrt {1-x^{2))))$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {1-x^{2}}}}$
Entre todos los polinomios cuyos valores en el intervalo no superan 1 en valor absoluto, el polinomio de Chebyshev tiene: $[-1,1]$
- el mayor coeficiente senior,
- valor más grande en cualquier punto fuera , $[-1,1]$
- si , entonces , donde es el coeficiente de un polinomio de Chebyshev de primera clase, es el coeficiente de cualquiera de los polinomios considerados. $n\equiv k{\pmod {2}}$ $|a_{k-1}|+|a_{k}|\leqslant |t_{k}|$ $gracias$ $Alaska}$
Los ceros de los polinomios de Chebyshev son nodos óptimos en varios esquemas de interpolación. Por ejemplo, en el método de características discretas, que se utiliza a menudo en el estudio de ecuaciones integrales en electrodinámica y aerodinámica.
En los extremos y en el medio del segmento, se cumplen las siguientes relaciones: ${\begin{alineado}T_{n}(1)&=1,&T_{n}(-1)&=(-1)^{n},&T_{2n}(0)&=(- 1)^{n},&T_{2n+1}(0)&=0,\\U_{n}(1)&=n+1,&U_{n}(-1)&=(-1)^ {n}\cdot (n+1),&U_{2n}(0)&=(-1)^{n},&U_{2n+1}(0)&=0.\end{alineado}}$
El polinomio de Chebyshev de primera clase de grado N es un caso especial de figuras de Lissajous con una relación de frecuencia igual a N y una amplitud de ambas señales igual a 1.
Los polinomios de Chebyshev de primera y segunda especie corresponden a un par de sucesiones de Lucas y con parámetros : ${\tilde {V}}_{n}(P,Q)$ ${\tilde {U}}_{n}(P,Q)$ ${\ estilo de visualización (P, Q) = (2x, 1)}$ ${\tilde {V}}_{n}(2x,1)=2\cdot T_{n}(x),$ ${\tilde {U}}_{n}(2x,1)=U_{n-1}(x).$
El polinomio de Chebyshev de primer tipo de grado tiene la mayor longitud de arco en un segmento de la clase de todos los polinomios de grado como máximo tal que el máximo de su módulo en este segmento no excede y no es idénticamente igual a una constante [1 ] $norte$ $[-1,1]$ $norte$ $una$

Aplicaciones

teoría de la aproximación

Los polinomios de Chebyshev del primer tipo se utilizan para la aproximación mediante una función (serie de Chebyshev), si otros métodos para calcular la función requieren mucho tiempo o se desconoce su forma analítica (por ejemplo, si la función está dada por una tabla compilada en el base de datos experimentales). Para ello, el dominio de definición de la función aproximada debe ser de una forma bastante sencilla, por ejemplo, mapeada linealmente al intervalo de ortogonalidad de los polinomios aproximados, en este caso es . Por ejemplo, para una función definida por una tabla: $[-1,1]$

l\dos puntos X_{i}\a [-1,1],

donde es una aplicación lineal, es el dominio de definición de puntos. $yo$ $X_{yo}$

Una aproximación de funciones dadas de forma continua se obtiene descartando los términos de la serie de Chebyshev, cuyo valor es menor que el error deseado del resultado. La función de aproximación también se puede escribir como un polinomio en . A diferencia de las aproximaciones obtenidas utilizando otras series de potencias, esta aproximación minimiza el número de términos necesarios para aproximar una función mediante un polinomio con una precisión determinada. Relacionado con esto también está la propiedad de que la aproximación basada en la serie de Chebyshev resulta bastante cercana a la mejor aproximación uniforme (entre polinomios del mismo grado), pero es más fácil de encontrar. $X$

Un ejemplo de un mapeo que mapea un intervalo dado al área de ortogonalidad de polinomios, $yo$

l\colon [x_{\text{min)),x_{\text{max))]\to [-1,1],

podría ser una función

l(x)={\frac {2x-(x_{\text{max}}+x_{\text{min}})}{x_{\text{max}}-x_{\text{min }}}}.

Cálculo de arreglos de antenas

Los polinomios de Chebyshev se utilizan para calcular el conjunto de antenas . La potencia de radiación de cada antena se calcula utilizando polinomios de Chebyshev. Esto le permite controlar la forma del patrón de radiación , o más bien la relación de la amplitud de los lóbulos principal y lateral.

Aplicaciones en la teoría de la filtración

Los polinomios de Chebyshev también se utilizan en la construcción teórica de filtros . En la fórmula general para la característica de amplitud-frecuencia

$\left|H_{n}(j\omega )\right|={\frac {1}{\sqrt {1+f_{n}^{2}\left({\dfrac {\omega }{ \omega _{0}}}\derecha)}}}$

como expresión de la forma o se sustituye , donde es el índice de ondulación, obteniendo, respectivamente, la respuesta en frecuencia de los filtros Chebyshev del tipo I o II de orden . $f(x)$ $\varepsilonT_{n}(x)$ ${\displaystyle \left(\varepsilon T_{n}(x)\right)^{-1))$ $\varepsilon$ $norte$

Variaciones y generalizaciones

La cuestión de los polinomios de la norma mínima con coeficientes fijos en dos grados más altos fue considerada más tarde por Zolotarev , los polinomios que encontró se llaman polinomios de Zolotarev .
Polinomios de Faber

Notas

↑ Bakan A. Sobre una propiedad extrema de los polinomios de Chebyshev // Matemáticas hoy. Colección científica / Ed. profe. A. Ya. Dorogovtseva . - Kyiv, escuela Vishcha, 1982. - S. 167-172.

Literatura

Vasil'ev, N. Polinomios de Chebyshev y relaciones recurrentes / Vasil'ev, N., Zelevinsky, A. // Kvant . - 1982. - Nº 1. - S. 12-19.
Campe de Ferrier, J. Funciones de la física matemática / Campe de Ferrier, J. , Campbell, R., Petiot, G. … [ et al. ] . — M .: Fizmatlit, 1963.
Khovansky, A. G. Polinomios de Chebyshev y sus inversiones // Educación matemática . - 2013. - Edición. 17. - S. 93-106.
Conferencia 7 en Tabachnikov S. L., Fuchs D. B. Diversión matemática . - MTSNMO, 2011. - 512 págs. - 2000 copias. - ISBN 978-5-94057-731-7 .

polinomios ortogonales
Polinomios de Bessel Polinomios de Gegenbauer Polinomios de Kravchuk Polinomios de Laguerre Polinomios de Legendre Polinomios de Polachek Polinomios de Rogers Polinomios de Zernike Polinomios de Chebyshev Polinomios de Charlier Polinomios de Hermite Polinomios de Jacobi