Cibrario forma normal

La forma normal de Cibrario es la forma normal de una ecuación diferencial que no se resuelve con respecto a la derivada en la vecindad del punto singular más simple. El nombre fue propuesto por V. I. Arnold en honor a la matemática italiana Maria Cibrario , quien estableció esta forma normal para una clase de ecuaciones [1] [2] [3] .

Definiciones relacionadas

Puntos singulares

Sea la ecuación diferencial de la forma

${\ estilo de visualización F (x, y, p) = 0, \ }$ dónde $p={\frac{dy}{dx}}.$

Se supone que la función es real, de clase suave (o analítica ) en la totalidad de las tres variables. Los puntos singulares de tal ecuación son puntos del espacio tridimensional con coordenadas que se encuentran en la superficie dada por la ecuación , en la que la derivada se anula, es decir, la proyección de la superficie sobre el plano de variables a lo largo de la dirección del eje es irregular. En el caso general, el conjunto de puntos singulares forma una curva sobre la superficie, denominada criminante . La proyección de un criminante sobre un plano se denomina curva discriminante , sus puntos también suelen denominarse puntos singulares de la ecuación, aunque es posible la inexactitud: al proyectar diferentes puntos de la superficie , el mismo punto del plano de variables puede corresponder [ 1] [4] [5] . $F$ ${\displaystyle C^{\infty ))$ ${\ estilo de visualización (x, y, p)}$ $F=0$ $F_{p}$ $\Pi$ ${\ estilo de visualización \ {F = 0 \}}$ $x, y$ $pags$ ${\ estilo de visualización \ {F = 0 \}}$ $(x,y)$ $\Pi$ ${\ estilo de visualización \ {F = 0 \}}$ $(x,y)$

Levantando la Ecuación

La relación diferencial define el campo de los planos de contacto en el espacio . La intersección de los planos de contacto con los planos tangentes a la superficie define un campo de direcciones sobre esta última (definido en todos los puntos donde los planos de contacto y tangente no coinciden entre sí). Las curvas integrales del campo construidas de esta manera son 1-gráficas de soluciones a la ecuación original, y sus proyecciones sobre el plano son las gráficas de soluciones [4] [5] $p=dy/dx$ ${\ estilo de visualización (x, y, p)}$ $pdx-dy=0$ ${\ estilo de visualización \ {F = 0 \}}$ $(x,y)$

La construcción descrita del estudio de ecuaciones que no se resuelven con respecto a la derivada se remonta a la tercera memoria de A. Poincaré "Sobre curvas definidas por ecuaciones diferenciales" (1885); en la literatura matemática moderna, a menudo se le llama llevar una ecuación a la superficie [3] .

El teorema de la forma normal

Los puntos singulares más simples de la ecuación son los llamados puntos singulares regulares , en los que la proyección tiene una singularidad llamada pliegue de Whitney y el plano de contacto no toca la superficie, lo que equivale al cumplimiento de las siguientes condiciones en un Punto dado: ${\ estilo de visualización F (x, y, p) = 0}$ $\Pi$ ${\ estilo de visualización F = 0.}$

F=0,\quad F_{p}=0,\quad F_{pp}\neq 0,\quad F_{x}+pF_{y}\neq 0.

teorema _ En una vecindad de un punto singular regular, una ecuación con una función suave (o analítica) es equivalente suave (analítica, respectivamente) a la ecuación ${\ estilo de visualización F (x, y, p) = 0}$ $F$

p^{2}-x=0,

llamada forma normal de Cibrario [1] [4] [5] .

En 1932, Cibrario obtuvo esta forma normal investigando las características de una ecuación diferencial parcial de segundo orden de tipo mixto [2] .

Ejemplos

La forma normal de Cibrario es la ecuación característica de la ecuación de Tricomi

$u_{xx}-xu_{yy}=0$ ,

pertenecientes al tipo elíptico en el semiplano y al tipo hiperbólico en el semiplano . $x<0$ $x>0$

La ecuación se integra fácilmente: las gráficas de sus soluciones forman una familia de parábolas semicúbicas [4] [5] $p^{2}-x=0$

$y=\pm {\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}+{\rm {const,}}$

llenando el semiplano , cuyos puntos de cúspide se encuentran en la curva discriminante - el eje . $x>0$ $y$

Las líneas asintóticas de una superficie bidimensional en el espacio euclidiano se ven similares en la vecindad de un punto parabólico típico . La forma normal de Cibrario también corresponde a las características más simples del campo de cámara lenta en sistemas dinámicos rápido-lento [6] .

Literatura

Arnold V. I. Capítulos adicionales de la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias, - Cualquier edición.
Arnold V. I. Métodos geométricos en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias, - Cualquier edición.
Arnold'd V. I., Ilyashenko Yu. S. Ecuaciones diferenciales ordinarias, Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Moderno problema estera. Fundam. dirección, 1985, volumen 1.
Arnold V. I., Afraimovich V. S., Ilyashenko Yu. S., Shilnikov L. P. Teoría de las bifurcaciones, — Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Moderno problema estera. Fundam. dirección, 1986, volumen 5.
Cibrario M. Sulla reduzione a forma canonica delle equazioni lineari alle derivada parzialy di secondo ordine di tipo misto, - Rend. Lombardo 65 (1932), págs. 889–906.

Notas

↑ 1 2 3 Arnold V. I., Ilyashenko Yu. S. Ecuaciones diferenciales ordinarias, Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Moderno problema estera. Fundam. dirección, 1985, volumen 1. - cap. 1, párr. 7.
↑ 1 2 Cibrario M. Sulla reduzione a forma canonica delle equazioni lineari alle derivada parzialy di secondo ordine di tipo misto, - Rend. Lombardo 65 (1932), págs. 889-906.
↑ 1 2 Remizov A.O. Construcción multidimensional de Poincaré y singularidades de campos elevados para ecuaciones diferenciales implícitas, CMFD, 19 (2006), 131–170.
↑ 1 2 3 4 Arnold VI Capítulos adicionales de la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias. - cap. 1, párr. cuatro
↑ 1 2 3 4 Arnold V. I. Métodos geométricos en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. - cap. 1, párr. cuatro
↑ Arnold V. I., Afraimovich V. S., Ilyashenko Yu. S., Shilnikov L. P. Teoría de la bifurcación, - Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Moderno problema estera. Fundam. dirección, 1986, volumen 5

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