Operador inverso

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Un operador inverso a un operador es un operador que asigna a cada uno del conjunto de valores del operador un solo elemento del dominio del operador , que es una solución a la ecuación . Si el operador tiene inversa, es decir, la ecuación tiene solución única para cualquiera de , entonces se llama reversible . El operador inverso se denota [1] . $A$ $y$ $\mbox{Im}\,A$ $A$ $X$ ${\mathcal {D}}(A)$ $A$ $Ax=y$ $A$ $Ax=y$ $y$ $\mbox{Im}\,A$ $A$ $A^{{-1}}$

Definición y condiciones de existencia

Otra definición: el operador se llama el inverso del operador si , donde es el operador de identidad . Si solo se cumple la relación o solo entonces el operador se llama inverso izquierdo o inverso derecho , respectivamente. Si un operador tiene un inverso a la izquierda y un inverso a la derecha, entonces son iguales entre sí y el operador es invertible [2] . Si existe un operador inverso, se define de forma única [3] . $B$ $A$ $BA=I,\,AB=I$ $yo$ ${\ Displaystyle BA = yo}$ $AB=I,$ $B$ $A$ $A$

Un operador es invertible si mapea a uno a uno, es decir, toma diferentes valores para diferentes . [4] Si el operador es lineal , entonces para la existencia del operador inverso es suficiente que se cumpla solo cuando [5] . $A$ ${\mathcal {D}}(A)$ ${\mbox{Soy}}\,A$ $x\in {\mathcal {D}}(A)$ $y$ $A$ $A x = 0$ $x=0$

Un operador lineal (incluso uno limitado ) puede tener un operador inverso definido no en todo el espacio . Por ejemplo, en el espacio el $\ell _{2}$ operador lineal

A(x_{1},x_{2},x_{3},\puntos)=(0,x_{1},x_{2},\puntos)

tiene una inversa, que se define para vectores con la primera coordenada igual a cero: [5] . $x_{1}=0$

Propiedades

${\ estilo de visualización (A^{-1})^{-1}=A.}$ [6]
${\ estilo de visualización (A_{1}A_{2})^{-1}=A_{2}^{-1}A_{1}^{-1}.}$ [3]
El operador , inverso al operador lineal , también es lineal. [una] $A^{{-1}}$
${\ estilo de visualización (A^{-1})^{*}=(A^{*})^{-1))$ , es un operador adjunto [7] . $un^{*}$

Teoremas del operador inverso

Teorema de Banach

Sea un operador lineal acotado que mapea un espacio de Banach en un espacio de Banach de una manera uno a uno . Entonces el operador inverso está acotado. $A$ $mi$ $E_1$ $A^{{-1}}$

El teorema de Banach es uno de los principios básicos del análisis lineal [8] . De ahí se sigue el teorema de mapeo abierto : un mapeo lineal continuo de un espacio de Banach en (todos) un espacio de Banach es abierto [9] . $A$ $mi$ $E_1$

Condiciones suficientes para la existencia de un operador inverso

Deje que un operador lineal mapee un espacio lineal normado en un espacio lineal normado para cualquier condición $A$ $mi$ $E_1$ ${\ estilo de visualización x \ en E}$

\|Ax\|\geq m\|x\|,

donde es alguna constante . Entonces hay un operador lineal acotado inverso [10] . $m>0$ $A^{{-1}}$

Sea un operador lineal acotado invertible que actúa desde un espacio de Banach en un espacio de Banach y sea un operador lineal acotado de a tal que . Entonces el operador tiene un inverso acotado, y $A$ $mi$ $E_1$ $\Delta A$ $mi$ $E_1$ $\|\Delta A\|<1/\|A^{-1}\|$ $B=A+\Delta A$

\|B^{-1}-A^{-1}\|\leq {\frac {\|\Delta A\|}{1-\|A^{-1}\|\|\ Delta A\|}}\|A^{-1}\|^{2}

[11] [12] .

Sea un espacio de Banach , sea el operador de identidad en , y sea un operador lineal acotado mapeándose en sí mismo tal que . Entonces el operador existe, está acotado y se representa como una serie $mi$ $yo$ $mi$ $A$ $mi$ ${\ estilo de visualización \|A\|<1}$ ${\ estilo de visualización (IA) ^ {-1}}$

{\displaystyle (IA)^{-1}=\sum \limits _{k=0}^{\infty}A^{k))

[13] .

Ejemplos

Transformada de Fourier

g(\lambda )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\lambda t}dt

puede verse como un operador lineal acotado que actúa desde el espacio $L_{2}(-\infty,\infty)$ hacia sí mismo. Su operador inverso es la transformada inversa de Fourier

f(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }g(\lambda )e^{i\lambda t}d\ lambda

[14] .

Operadores de integración y diferenciación

Para el operador de integración

Ax=\int \limits _{0}^{t}x(\tau )\,d\tau ,

actuando en el espacio de funciones continuas , el inverso será el operador de diferenciación : ${\ estilo de visualización C [0,1]}$

A^{-1}y={\frac {d}{dt}}y(t),

definida en una variedad lineal de funciones continuamente diferenciables tales que [15] . $y(0) = 0$

Operador Sturm-Liouville

Para un operador diferencial de Sturm-Liouville definido en una variedad lineal de funciones dos veces continuamente diferenciables tal que , el operador inverso es el operador integral $Ax={\frac {d}{dt}}\left\{p(t){\frac {dx}{dt}}\right\}+q(t)x,$ ${\ estilo de visualización x (0) = x (1) = 0}$

A^{-1}y=\int \limits _{0}^{1}G(t,\tau )y(\tau )\,d\tau ,

donde es la función de Green . es un operador lineal acotado en [15] . ${\ Displaystyle G (t, \ tau)}$ $A^{{-1}}$ ${\ estilo de visualización C [0,1]}$

Operador integral

Dejar

Ax=\int \limits _{0}^{1}K(t,s)x(s)\,ds

es un operador integral en el espacio de funciones continuas . Para valores suficientemente pequeños del parámetro, el operador (donde es el operador identidad ) tiene un inverso acotado ${\ estilo de visualización C [0,1]}$ $\lambda$ $(I-\lambda A)$ $yo$

(I-\lambda A)^{-1}y=y(t)+\lambda \int \limits _{0}^{1}R(t,s,\lambda )y(s)\ ds

donde está el resolvente del kernel . Conociendo el solvente, se puede encontrar una solución a la ecuación integral ${\ Displaystyle R (t, s, \ lambda)}$ $K(t, s)$

x(t)=y(t)+\lambda \int \limits _{0}^{1}K(t,s)x(s)\,ds

para cualquier término libre [16] . ${\ estilo de visualización y (t)}$

Operador inverso en un espacio de dimensión finita

Un operador en un espacio de dimensión finita es invertible si y solo si su rango coincide con la dimensión del espacio . En otras palabras, el determinante de su matriz es distinto de cero. El operador inverso corresponde a la matriz inversa [17] .

Véase también

Notas

↑ 1 2 Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional, 1976 , p. 225.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elementos de análisis funcional, 1965 , p. 128.
↑ 1 2 Riess F., Sökefalvi-Nagy B. Conferencias sobre análisis funcional, 1979 , p. 168.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elementos de análisis funcional, 1965 , p. 351.
↑ 1 2 Riess F., Sökefalvi-Nagy B. Conferencias sobre análisis funcional, 1979 , p. 319.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elementos de análisis funcional, 1965 , p. 154.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elementos de análisis funcional, 1965 , p. 207.
↑ Helemsky A. Ya. Operador lineal // Enciclopedia matemática : [en 5 volúmenes] / Cap. edición I. M. Vinogradov . - M. : Enciclopedia soviética, 1982. - T. 3: Koo - Od. - 1184 libras esterlinas. : enfermo. — 150.000 copias.
↑ Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional, 1976 , capítulo IV, §5, página 4.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elementos de análisis funcional, 1965 , p. 155.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elementos de análisis funcional, 1965 , p. 157.
↑ Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional, 1976 , p. 229.
↑ Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional, 1976 , p. 230.
↑ Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional, 1976 , capítulo VIII.
↑ 1 2 Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elementos de análisis funcional, 1965 , p. 161.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elementos de análisis funcional, 1965 , p. 163.
↑ Ilyin V. A. , Poznyak E. G. Álgebra lineal. proc. para universidades. - 5ª ed. - M. : Fizmatlit, 2002. - 320 p. — ISBN 5-9221-0129-3 .

Literatura

Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional. — Ciencia, cap. edición Phys.-Math. iluminado.. - M. , 1976.
Lyusternik L. A. , Sobolev V. I. Elementos de análisis funcional. - Ed. 2º, revisado.. - M. : Nauka, 1965. - 520 p.
Riess F. , Sökefalvi-Nagy B. Conferencias sobre análisis funcional. — M .: Mir, 1979. — 592 p.
Sobolev VI Mapeo inverso // Enciclopedia matemática : [en 5 volúmenes] / Ch. edición I. M. Vinogradov . - M. : Enciclopedia soviética, 1982. - T. 3: Koo - Od. - 1184 libras esterlinas. : enfermo. — 150.000 copias.