Paradoja "Gran Hotel"

La paradoja del Grand Hotel es un experimento mental que ilustra las propiedades de los conjuntos infinitos . Muestra un hotel con un número infinito de habitaciones, cada una de las cuales es un huésped. Al mismo tiempo, siempre puede agregar más visitantes al hotel, incluso si hay un número infinito de ellos. La paradoja fue formulada por primera vez por el matemático alemán David Hilbert en 1924 y popularizada en el libro de Georgy Gamow One, Two, Three... Infinity en 1947 [1] [2] .

Paradoja

Imagine un hotel con un número contable de habitaciones, cada una de las cuales tiene un huésped. A primera vista, es imposible alojar nuevos visitantes en el hotel, como si fuera un hotel común con un número finito de habitaciones.

Nuevo Visitante

Para acomodar a una nueva persona, tendremos que desocupar una habitación. Para ello, moveremos al huésped de la habitación número 1 a la habitación número 2, el huésped de la habitación número 2 se moverá a la habitación número 3, y así sucesivamente. En general, un huésped de la habitación n se trasladará a la habitación n+1. Así, liberaremos la primera habitación en la que será posible alojar a un nuevo huésped.

Número infinito de nuevos visitantes

En este caso tendremos que liberar una infinidad de habitaciones: moveremos al huésped de la habitación 1 a la habitación 2, de la habitación 2 a la habitación 4, en el caso general, pasaremos de la habitación n a la habitación 2n. Así, liberaremos todas las habitaciones impares, cuyo número también es un conjunto contable.

Un número infinito de autobuses con un número infinito de pasajeros

Hay varias formas de acomodar un número infinito de pasajeros de un número infinito de autobuses. La mayoría de los métodos asumen que cada pasajero tiene un número de asiento donde se sienta en su autobús. En lo que sigue, denotamos el número del asiento con la variable n, y el número del autobús en el que está sentado el pasajero con la variable c.

Método de potencia principal

Para empezar, moveremos a todos los invitados de sus habitaciones a habitaciones de grado 2. Así, la persona de la habitación ahora estará en la habitación . Acomodaremos a todos los pasajeros del primer autobús en habitaciones con el número , del segundo autobús en habitaciones con el número . Los pasajeros del autobús se alojarán en habitaciones , donde es un número primo impar . Según el teorema fundamental de la aritmética (ver el artículo Teorema fundamental de la aritmética ), los números no coincidirán. Esta solución deja libres habitaciones cuyos números no son potencia de un número primo , es decir, la mayoría de los números no primos: 6, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 22, etc. $i$ $2^yo$ $3^n$ $5^n$ $C$ $pag^{n}$ $pags$ $C$

Método de factorización de enteros

Cada huésped que se siente en un asiento en el autobús puede acomodarse en una habitación (el hotel puede designarse como un autobús cero). Por ejemplo, el huésped de la habitación 2592 ( ) estaba en el cuarto autobús y se sentó en el quinto asiento. Dado que cada número tiene una expansión única en un producto de factores primos, ninguno de los invitados se quedará sin una habitación y nadie se ubicará en una habitación ocupada. Como en el método anterior, en este caso hay habitaciones libres. $norte$ $C$ $2^n3^c$ ${\ estilo de visualización 2 ^ {5} \ veces 3 ^ {4}}$

Método de alternancia

Para cada huésped, se comparan las longitudes de sus números de autobús y los lugares en cualquier sistema de numeración posicional . Si uno de los números es más corto, se le agregan ceros iniciales hasta que ambos números tengan el mismo número de dígitos. Alternando los números de estos números, obtenemos el número de habitación. Por ejemplo, un pasajero en el asiento 6917 del autobús 843 recibirá el número de habitación 6 0 9 8 1 4 7 3 , que es 60981473.

A diferencia de la solución con potencias de números primos, el método de alternancia llena el hotel por completo, sin dejar habitaciones vacías.

El método del número triangular

Al principio, cada ocupante del hotel será trasladado de una habitación a otra (es decir, el -ésimo número triangular , ). Además, los huéspedes que estén sentados en el autobús se alojarán en una habitación . De esta manera todas las habitaciones estarán ocupadas y habrá un solo ocupante en cada habitación. $norte$ $Tennesse}$ $norte$ ${\ estilo de visualización {\ frac {n (n + 1)} {2}}}$ $norte$ $C$ $T_{c+n-1}+n$

Niveles más altos de infinito

Digamos que el hotel está en la playa. Un número infinito de transbordadores de automóviles llegan a la costa, cada uno con un número infinito de autobuses, cada uno con un número infinito de pasajeros. Esta situación, que involucra tres "niveles" de infinito, se resuelve extendiendo cualquiera de los métodos anteriores. En este caso, también se supone que los transbordadores tienen números de serie.

Además, se utilizará la designación de la dirección del pasajero en la forma "asiento-autobús-ferry". Por ejemplo, 768-85-7252 es la dirección del pasajero en el asiento 768 del autobús 85 del ferry 7252.

El método de factorización de enteros se puede aplicar agregando un nuevo número primo: un pasajero sentado en un asiento en un autobús transbordador se ubicará en una habitación . Este método devuelve números muy grandes para entradas pequeñas. Por ejemplo, un pasajero con la dirección 10-45-26 ocupará la habitación 4507923441392263334111022949218750000000000 ( ). Como se señaló anteriormente, el método deja una gran cantidad de habitaciones vacías. $norte$ $C$ $F$ ${\ estilo de visualización 2^{n}3^{c}5^{f))$ ${\ estilo de visualización 2 ^ {10} \ veces 3 ^ {45} \ veces 5 ^ {26}}$

El método de alternancia se puede utilizar alternando no dos dígitos, sino tres. Entonces, un pasajero con dirección 1-2-3 ocupará la habitación 123, y un pasajero con dirección 42609-233-7092 ocupará la habitación 400207620039932.

Anticipándose a la posibilidad de cualquier nivel de infinito, la gerencia del hotel querrá asignar habitaciones de tal manera que los residentes no necesiten ser reubicados cuando lleguen nuevos huéspedes. Una posible solución es dar a los huéspedes un número binario , donde los unos separan grupos de ceros, en cada grupo el número de ceros es igual al número correspondiente de la dirección del huésped, para cada nivel de infinito. Por ejemplo, un huésped con la dirección 2-5-4-3-1 se ubicará en la habitación 10010000010000100010, que corresponde al número decimal 590882.

Como complemento a este método, se elimina un cero de cada grupo de ceros. Así, un huésped con la dirección 2-5-4-3-1 será asignado a la habitación 101000010001001, que corresponde al decimal 10308. Esta adición asegura que cada habitación esté poblada por huéspedes.

Análisis

La paradoja de Hilbert es de hecho una paradoja. Las expresiones "cada habitación tiene un huésped" y "ya no se pueden alojar huéspedes" pierden su equivalencia cuando se trata de un número infinito de habitaciones.

Las propiedades de los conjuntos finitos e infinitos son esencialmente diferentes. La paradoja del "Gran Hotel" se puede entender utilizando la teoría de los números transfinitos de Cantor . En un hotel normal (no infinito) con más de una habitación, el número de habitaciones impares es obviamente menor que el número total de habitaciones. Sin embargo, en el Grand Hotel Gilbert, el número de habitaciones impares no es menor que el número total de habitaciones. En términos matemáticos, la cardinalidad de un subconjunto que contiene habitaciones impares es igual a la cardinalidad del conjunto de todas las habitaciones. De hecho, los conjuntos infinitos se caracterizan como conjuntos que tienen subconjuntos propios de la misma cardinalidad.

Véase también

Notas

↑ Kragh, Helge. La verdadera (?) Historia del Hotel Infinito de Hilbert (neopr.) . — 2014.
↑ Gamow, George. Uno, dos, tres... Infinito: hechos y especulaciones de la ciencia (inglés) . - Nueva York: Viking Press , 1947. - Pág. 17.

La contribución de David Hilbert a la ciencia
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